数字信号处理课后第三章习题答案

第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
题3解图
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
4． 证明DFT的对称定理， 即假设X(k)=DFT［x(n)］， 证明 DFT［X(n)］=Nx(N－k) 证： 因为
kn X (k ) x(n)WN n 0 N 1
1 x(n) N
所以
DFT[ X (n)] X (n)W
n 0
N 1
N 1
kn N
N 1 mn kn x(m)WN WN n 0 m 0
N 1
n ( m k ) x(m)WN m 0 n 0
N 1
第３章
由于
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)

n 0
N 1
n( m k ) WN
N 0
m N k m N k , 0≤ m ≤ N 1
k=0, 1, …, N－1
所以 DFT［X(n)］=Nx(N－k)
5． 如果X(k)=DFT［x(n)］， 证明DFT的初值定理
证: 由IDFT定义式
1 N 1 x(0) X (k ) N k 0
- j mn - j kn 1 j N mn 2π kn (6) X (k ) cos mn WN (e e N )e N 2 N n 0 n 0

N 1

N 1
2π
2π
2π
1 e 2 n 0
N 1
j
2π ( mk ) n N
1 e 2 n 0
1knnknnnnknnnnknnwkx2j2j102j10e1e1e1??????????????????????12100nkkn?离散傅里叶变换dft及其快速算法fft第3章211001011nnknnnnxknwnkn????????????30010010011nknnnnknknnnxknnwwnnwkn?????????????00nnn??1j10sin1e1sinkmmmkknnnnnknnmkwnxkwrkwkn??????????????????????4离散傅里叶变换dft及其快速算法fft第3章52j2j102j102je1eekmnkmnnnnkmnknnnnmnnwkx??????????????je1kmn?????????mkmkn00kn1离散傅里叶变换dft及其快速算法fft第3章6knnnnnnmnnmnnknnwmnnkx2j10102j2jeee212cos????????????????2211jj0011ee22nnmknmknnnnn?????????????????????????????????2j2j2j2je1e1e1e121kmnnkmnkmnnkmn离散傅里叶变换dft及其快速算法fft第3章20nkmknmkmknm????????????0kn170002j211jj71eeeknnnnknnknnnxkw?????????????072j00ee1enknnnxkw???????0210j202sin2e0112sin2nknnknknkn???????????????????????离散傅里叶变换dft及其快速算法fft第3章或110e1e12jj700??????nkkxknn????8解法一直接计算
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
2π 2π j ( mn ) j ( mn ) 1 e N e N 2
2π cos mn N
n=0, 1, …, N－1
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)

N 1
j
2π kn N
1 1 e j0 N 1 e j0 N 2π 2π j(0 k ) j(0 k ) 2 N N 1 e 1 e
第３章
解法二
因为
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
由DFT共轭对称性可得同样结果。
N ( N 1) 2
这样， X(k)可写成如下形式：
N ( N 1) 2 X (k ) N k 1 W N,
k 0 k 1, 2, , N 1
第３章
解法二 k=0时，
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
X (k ) n
N 2 0
(7)
k m, k N m k m, k N m
0≤k≤N－1
X 7 (k ) e
n 0
N 1
j0n
W e
kn N n 0
N 1
j(0
2π k )n N

1 e
j(0
2π k)N N 2π k) N
1 e
j(0
1 e j 0 N
2 j(0 k ) N 1 e
k 0, 1, , N 1
（8） 解法一
直接计算：
1 j 0 n x8 (n) sin(0 n) RN (n) [e e j 0 n ] R N ( n ) 2j
X 8 (n)

n 0
N 1
kn x8 (n)WN
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
（10） 解法一
X (k )

n 0
N 1
kn nWN
k 0, 1, , N 1
上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为x(n)=nRN(n)， 所
以
x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式两边进行DFT， 得到
2π N k) 2π N 1 sin (0 j(0 k )( ) N 2 N 2 e 2π sin (0 k ) / 2 N
k 0, 1, , N 1
第３章
或
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
X 7 (k )
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
3． 已知长度为N=10的两个有限长序列：
1 0 ≤ n ≤ 4 x1 (n) ≤ ≤ 0 5 n 9
1 x2 ( n) 1
0 ≤ n≤ 4 5 ≤ n≤ 9
做图表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循环卷积区间长度L=10。 解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分别如题3解图（a）、 （b）、 （c）所 示。
(2)
1 N j mn N j ( N m) n x(n) je WN je WN N 2 2
2π mn ) N 2π mn ) N ]
1 [e 2j
j(
e
j(
2π sin mn N
n=0, 1, …, N－1
1 [e j0 n e j0 n ] e 2 j n 0

N 1
j
2π kn N
1 N 1 j(0 2Nπ k ) n N 1 j(0 2Nπ k ) n e e 2 j n 0 n 0
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
k m k N m 其它k
其中， m为正整数， 0<m<N/2, N为变换区间长度。
第３章
解: （1）
1 N 1 kn x(n) IDFT[ X (k )] X (k )WN N k 0
1 N N j j 2 π mn N j j 2 π ( N m ) n e e N e e N 2 2
结果与解法一所得结果相同。 此题验证了共轭对称性。 (9) 解法一 直接计算:
1 j0n j0 n x9 (n) cos(0 n) RN (n) [e e ] 2
X 9 (k ) x9 (n)W
n 0
N 1
kn N
1 [e j0 n e j0 n ]e 2 n 0
x9 (n) cos(0 n) RN (n) Re[x7 (n)]
1 * X 9 (k ) X 7e (k ) [ X 7 (k ) X 7 ( N k )] 2
j 0 N j 0 N 1 1 e 1 e 2π 2π 2 j( 0 k ) j( 0 ) k N N 1 e 1 e
k≠0时，
n 0
N 1
N ( N 1) 2
k 2k 3k ( N 1) k X (k ) 0 WN 2WN 3WN ( N 1)WN
k 2k 3k 4k ( N 1) k WN X (k ) 0 WN 2WN 3WN ( N 2)WN ( N 1)
X (k ) W X (k ) WNkm ( N 1)
k N m 1
kn WN 1 ( N 1) N n 0 N 1
N 1
第３章
所以，
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
X (k )
N ，即 , k 0 k 1 WN N ( N 1) k 0 2 X (k ) N k 1, 2, , N 1 k 1 WN
j0 N j0 N 1 1 e 1 e 2 2π j(0 - k) j(ω0 k ) 2j N N 1 e 1 e
解法二 因为
由DFT的共轭对称性求解。
x7 (n) e j0n RN (n) [cos(0 n) j sin(0 n)]RN (n)
x(n) e
j
2π mn N ,0m
N

2π x(n) cos m n, 0 m N N
第３章
(7) (8) (9)
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
x(n)=ejω0nRN(n) x(n)=sin(ω0n)RN(n) x(n)=cos(ω0n)RN(N)
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
教材第3章习题与上机题解答
1． 计算以下序列的N点DFT， 在变换区间0≤n≤N－1内， 序列定义为 (1) x(n)=1 (2) x(n)=δ(n) (3) x(n)=δ(n－n0) 0<n0<N (4) x(n)=Rm(n) 0<m<N (5) (6)
所以
x8 (n) sin(0 n) RN (n) Im[x7 (n)]
所以
DFT[ j x8 (n)] DFT[ j Im[ x7 (n)]] X 7o (k )
第３章
即
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
1 * X 8 (k ) jX 7o (k ) j [ X 7 (k ) X 7 ( N k )] 2
N 1 j 2 π ( m k ) n N
2π 2π j (mk ) N j (m k ) N 1 1 e N 1 e N 2π 2π 2 j (mk ) j (mk ) 1 e N N 1 e

第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
kn N
（2）
X (k ) δ(n)W
N 1 n 0
δ( n ) 1
n 0
N 1
k 0, 1, , N 1
（3）
X (k ) δ(n n0 )WNkn W
kn0 N kn0 δ ( n n ) W 0 N n 0 N 1
(5)
X (k )

n 0
N 1 j 2 π mn e N
kn WN

n 0
N 1 j 2 π ( m k ) n e N

1 e
j
2π (mk ) N N 2π (mk ) N
1 e
ห้องสมุดไป่ตู้j
N 0
k m km
0≤k≤N－1
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
k 0, 1, , N 1
(4)
X (k ) WNkn
n 0
m1
π j ( m1) k 1 WNkm N e 1 WNk
π sin mk N R (k ) N π sin k N
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
2． 已知下列X(k)， 求x(n)=IDFT［X(k)］
(1)
N j 2e N j X (k ) e 2 0
k m k N m 其它k
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
(2)
N j j 2 e N j X (k ) j e 2 0
(10) x(n)=nRN(n) 解： (1)
X (k )

n 0
N 1
kn 1 WN


n 0
N 1 j 2 π kn e N

1 e 1 e
j j
2π kN N 2π kN N
N k 0 0 k 1, 2, , N 1
第３章
N 1 n 0
X(k)－X(k)WkN+N=Nδ(k)
第３章
故
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
N [δ(k ) 1] X (k ) k 1 WN
k 1, 2, , N 1
当k=0时， 可直接计算得出X(0)为
N 1 n 0 N 1 n 0
0 X (0) n WN n