三段式学案3：2.2.3独立重复试验与二项分布

2.2.3独立重复试验与二项分布
学习目标：
1：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。

2：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。

复习引入：
1． 互斥事件:___________________________________,互斥事件,A B 的概率计算公式________________ 一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此
互斥.
2．对立事件: ________________________________________________________________,
()___________________()____________________P A A P A +=⇒=
3．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,
,n A A A 彼此互斥，那么
12()n P A A A +++＝_______________________________.
13．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件，若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立.
14．相互独立事件同时发生的概率：()_____________________.P A B ⋅= 一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，12()_____________________________.n P A A A ⋅⋅⋅=
新知概念：
1.独立重复试验的定义：_________________________________________________.
2.独立重复试验的概率公式：
一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率()_______n P k =．它是[](1)n
P P -+展开式的第1k +项 3.离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件
发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是
()________________n P k ξ==，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
由于k
n k k n q p C -恰好是二项展开式
11100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，
记作ξ～____________________，其中n ，p 为参数，并记k
n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．
典型例题
例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，
(1)恰有 8 次击中目标的概率；
(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)
变式练习：
1.在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的．若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：
(1)恰有两道题答对的概率； (2)至少答对一道题的概率．
例2．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1
3
，遇到红灯时停留的时间都是2 min. (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列．
变式练习：
2.某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．
例3．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)．
(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率． (2)求按比赛规则甲获胜的概率．
变式练习：
3.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是2
3
，假设各局比赛结果相互独立．
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列．
小组竞学：
1. 已知一个射手每次击中目标的概率为p ＝3
5，求他在4次射击中下列事件发生的概率．
(1)命中一次；
(2)恰在第三次命中目标； (3)命中两次；
(4)刚好在第二次、第三次两次击中目标．
2. 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和3
4.假设两人射击是否击中目标，相互
之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
课后反思：______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
参考答案
例1.解 设X 为击中目标的次数，则X ～B (10,0.8)．
(1)在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为P (X ＝8)＝C 810
×0.88×(1－0.8)10－
8≈0.30. (2)在10次射击中，至少有8次击中目标的概率为P (X ≥8)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)
＝C 810×0.88×(1－0.8)10－
8＋C 910×0.89×(1－0.8)10－
9＋C 1010
×0.810×(1－0.8)10
－10
≈0.68. 变式练习：
1.【解】 视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复的试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为1
4.由独立重复试验的概率计算公式得，
(1)恰有两道题答对的概率为P 4(2)＝C 24(14)2(34)2＝27
128
. (2)法一：至少有一道题答对的概率为1－P 4(0)＝1－C 04(14)0(34)4＝1－81256＝175256.
法二：至少有一道题答对的概率为
C 14(14)(34)3＋C 24(14)2(34)2＋C 34(14)3(34)＋C 44
(14)4(34)0＝108256＋54256＋12256＋1256＝175256
例2. 【解析】(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A.因为事件A 等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为P (A)＝1
(1)3
-1(1)3
-×13
＝
427
. (2)由题意可得，ξ可能取的值为0,2,4,6,8(单位：min)，事件“ξ＝2X ”等价于事件“该学生在上学路上遇到X (X ＝0,1,2,3,4)次红灯”，易知X ～B 1(4,)3
. 故ξ的分布列是
变式练习
2．【解析】(1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且P (A )＝0．6，P (B )＝0．75． 所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是P(A B )＝P(A )·P(B )＝(1－0．6)(1－0．75)＝0．1． ∴该人参加过培训的概率为1－0．1＝0．9．
(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布B(3,0．9)，P (ξ＝k )＝33(0.9)(0.1)k k k C -⋅⋅，k ＝0,1,2,3， ∴ξ的分布列是
例3. 【解析】甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12
，乙获胜的概率为12
. (1)记事件A ＝“甲打完3局才能取胜”，记事件B ＝“甲打完4局才能取胜”，记事件C ＝“甲打完5局才能取胜”．
①甲打完3局才能取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜． ∴甲打完3局才能取胜的概率为P (A )＝3331
()2
C ＝
18
. ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负,∴甲打完4局才能取胜的概率为P (B )＝223111()2
22
C ⨯⨯＝
316
. ③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负,∴甲打完5局才能取胜的概率为P (C )＝2224111()()2
2
2
C ⨯⨯⨯＝
316
. (2)记事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D ＝A ＋B ＋C ，又因为事件A 、B 、C 彼此互斥， 故P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝18
＋316＋316＝12
. 即按比赛规则甲获胜的概率为1
2
.
变式练习：
3.【解】 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，
由题意，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝⎛⎭⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23×23＝827，
P (A 3)＝C 24
⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－232×12＝427
. 所以甲队以3∶0胜利，以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为4
27
.
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意，各局比赛结果相互独立，
所以P (A 4)＝C 24⎝⎛⎭⎫1－232⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－12＝427
. 由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3，
根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝16
27
.
又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝3
27，
故X 的分布列为
小组竞学
1.解 题中的4个问题都是在同一条件下事件发生的情况，所以均属独立重复试验．
(1)命中一次的概率为P ＝C 14·⎝⎛⎭⎫35⎝⎛⎭⎫1－353＝125·8125＝96625
； (2)恰在第三次命中目标的概率为P ＝35·⎝⎛⎭⎫1－353＝35·8125＝24
625
； (3)命中两次的概率为P ＝C 24·⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫1－352＝6·925·425＝216625
； (4)在第二次、第三次两次击中目标的概率为P ＝⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫1－352＝36
625.
2.解：设A ＝{甲射击一次击中目标}，B ＝{乙射击一次击中目标}，则A 、B 相互独立，且P (A )＝23，P (B )＝34
.
(1)设C ＝{甲射击4次，至少有1次未击中目标}则P (C )＝1－⎝⎛⎭⎫234＝6581. (2)设D ＝{两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次}，
∴P (D )＝C 24·⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫132·C 34·⎝⎛⎭⎫343·14＝18
. (3)甲恰好射击5次，被中止射击，说明甲第4、5次未击中目标，第3次击中目标，第1、2
两次至多一次未击中目标，故所求概率P ＝⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫132·23·⎝⎛⎭⎫132＝16243
.。