运筹学复习ppt课件

算
bj
3/0
88/5
4/0
6/1
列差 1 111115155 22222828 333332322
4
伏 用伏格尔法寻找初始基：
格
B1
B2
B3
B4
ai 行差
尔 A1 3 2 5 9 0 10 1 7 9/6 5 252 2
法 A2 0 1 0 3 0 4 5 2 5/0 1 11
计
A3 0 8 3 4 4 2 0 5 77/3/3/0 2 222 1
max w 4 y1 3 y2
y1 2 y2 2
y1
y2
3
2 y1 3 y2 5
y1
y2
2
3
y1
y2
3
y1 0, y2 0
min z 2 x1 3 x2 5 x3 2 x4 3 x5
x1
x2
2 x3
x4
3 x5
4
2 x1 x2 3 x3 x4 x5 3
算
bj
3/0
88/5
4/0
6/1
列差 1 1 115 5 2 228 3 332 2
5
得到产销平衡运输问题的一个初始方案.
B1
B2
A1 3 2 5 9
B3
B4
ai
10 1 7 9
A2
1
3
452 5
A3
8 3 442
57
bj
3
8
4
6
可以得到基可行解对应的位势方程组是：
u1 v1 2
u1
v2
9
增加如下割平面，
1 2
1 2
x3
1 2
x4
0
引入一个松弛变量，化割平面为：
例5： A、B、C三种计算机，在一条生产线上 装配。装配时间分别为5，8，12小时；利润分 别为每台1000元，1440元，2520元。生产线每 月正常运转170小时。该厂的经营目标为：
P1：充分利用现有工时，必要时可以加班； P2：A，B，C的最低产量分别为5，5，8台，并
依单位工时的利润比例确定权系数；
p2
(20d
2
18d 3
21d
4
)
p3d
5
x1
d
6
d
6
10
p4
(20d
6
18d
7
21d8 )
x2
d
7
d
7
12
x3 d8 d8 10
例6 厂址选择问题
在5个地点中选3处建生产同一产品的工厂，在这5 个地点建厂所需投资，占用农田，建成以后的生产 能力等数据如下表所示.
地点
3/0
8
4
66/1
列差 1
111 222 333
2
伏 用伏格尔法寻找初始基：
格
B1
B2
B3
B4
ai 行差
尔
A1 3 2
9 0 10
7 9/6 55 25 22
法 A2 0 1 0 3 0 4 5 2 5/0 11 1 1
计
A3 0 8
算
bj
3/0
442
8
44/0
5 77/3 22 2 22 6/1
B1
B2
B3
B4 产量
A1
2
9
10
7
9
A2
1
3
4
2
5
A3
8
4
2
5
7
销量 3
8
4
6
1
伏 用伏格尔法寻找初始基：
格
B1
B2
B3
尔
A1
2
9
10
法
A2
1
3
4
计
A3
算
bj
8
4
2
3
8
4
列差 1
1
2
B4
ai 行差
79 5
25 1
57 2
6 3
1
伏 用伏格尔法寻找初始基：
格
B1
B2
B3
尔
A1 3 2
9
10
法
A2 0 1
运筹学
Operational Research
复习
例1 求解如下线性规划问题
max z 2x1 3x2 x3
x1 3x2 x3 15
s.t.
2xx11
3 x2 x2
x3 x3
18 3
x1, x2 , x3 0
解：加入松弛变量，标准化得
max z 2x1 3x2 x3
x1 3x2 x3 x4 15
建立整数规划模型为
Max z= s.t.
70x1 320x1
20x1 x1 x1
+55x2 +280x2
+18x2 +x2
， x2
+42x3 +240x3
+15x3 +x3
， x3
+28x4 +210x4
+11x4 +x4
， x4
+11x5 +180x5
+8x5 +x5
， x5
800 60
=3 =0,1
它所对应的位势与检验数为：
B1
B2
B3
B4
ui
A1 3 2 (1) 9 (4) 10 6 7 0
A2 (4) 1 5 3 (3) 4 0 2 -5
A3 (10) 8 3 4 4 2 (2) 5 -4
vj
2
8
6
7
所有检验数都非负，迭代停止，运费为： 3×2 + 6×7 + 5×3 + 3×4 + 4×2 = 83
20 0 0 0 5/6 1/ 3 1/ 2
x1 5, x2 3, x3 1 解毕 max z 20
例2 用对偶单纯形法计算
min w 2x1 3x2 4x3
解：为了便于寻
x1 2x2 x3 3 2x1 x2 3x3 4
找初始正则解， 将问题变形为：
x1,
x2 ,
x3
0
y2*
3 5
代入对偶规划的约束条件得下列约
束是松约束，其对偶约束是紧约束
y1 2 y2 2
y1
y2
3
2 y1 3 y1 y2
y2
2
5
3
y1
y2
3
y1 0, y2 0
y1 y2 3
松约束
2 y1 3 y1 y2
y2
2
5
y1
0,
y2 0
x2 0
1
2
3
4
5
所需投资（万元） 320 280 240 210 180
占用农田（亩） 20 18 15 11
8
生产能力（万吨） 70 55 42 28 11
现在有总投资800万元，占用农田指标60亩，应如 何选择厂址，使建成后，x3，x4，x5，其中
0 表示在i地不建厂 xi 1 表示在i地建厂 i=1,2,3,4,5.
023 1 000
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x4 15 1 3 1 1 0 0 5 x5 18 2 3 1 0 1 0 6 x6 3 1 1 1 0 0 1
0 23 1 0 0 0
1
11
x2
5
1
3
3
3
0 0 15
x5 3 1 0 2 1 1 0 3
x6
8
40 4
3
3
1 3
01
6
15 1 0 0 1 0 0
x5 -4 [-2] 1 -3 0 1
0 -2 -3 -4
XB b
x4 -1 x1 2
4
-2 -3 -4
x1
x2
x3
x4
x5
0 -5/2 1/2 1 -1/2
1 -1/2 3/2 0 -1/2 0 -4 -1 0 -1
XB b
x4 -1 x1 2
4
-2 -3 -4
x1
x2
x3
x4
x5
0 -5/2 1/2 1 -1/2
L中有两个偶点x24, x12， min{ x24, x12} 5
取x12为换出变量，调整量为5.
伏格尔法的调整方案：
B1
B2
A1 3 2 05 9
B3
B4
ai
10 16 7 9
A2
1 50 3
4 50 2 5
A3
8 3442
57
bj
3
4
8
6
x22为换入变量, 取x12为换出变量. 在闭回路L上，偶点变量减5，奇点变量加5.
x3 x4
0 0
紧约束
x1
x2
2 x3
x4
3 x5
4
2x1 x2 3x3 x4 x5 3
x2 0
x3 x4
0 0
紧约束
设原问题的最优解为
x1
x2
2 x3
x4
3 x5
4
X * ( x1* , x2* , x3* , x4* , x5* )T , 2 x1 x2 3x3 x4 x5 3
xj
0,
j
1,
2, 3, 4, 5
min z 2 x1 3 x2 5 x3 2 x4 3 x5
max w 4 y1 3 y2
x1
x2
2 x3
x4
3 x5
4
2 x1 x2 3 x3 x4 x5 3
x
j
0,
j
1, 2, 3, 4, 5
利用松紧关系，将最优解 y1*
4 5
,
P3：生产线加班时每月不超过20小时； P4：A，B，C的月销售指标分别定为10，12，
10台，依单位工时利润比例确定权系数.
试建立目标规划模型.
5x1 8x2 12x3 d1 d1 170
x1
d
2
d
2
5
x2 d3 d3 5
x3
d
4
d
4
8
d1 d5 d5 20
min z p1d1
例3 试用对偶原理求解线性规划问题
min z 2 x1 3 x2 5 x3 2 x4 3 x5
x1
x2
2 x3
x4
3 x5
4
2 x1 x2 3 x3 x4 x5 3
x
j
0,
j
1, 2, 3, 4, 5
已知其对偶规划的最优解为
y1*
4 5
,
y2*
3 5
解：
该问题的对偶规划为
uu12
v4 v4
7 2
u3 v2 4 u3 v3 2
先在 u1,u2,u3, v1, v2, v3, v4 中任
意取定一个未知量的值。比如取
u1 0，从上述方程组中依次得 出 v1 2,v2 9,v3 7,v4 7,
u1 0,u2 5,u3 5
利用这些u、v则可以算出 ij
列差 1 11 1 15 22 2 28 33 3 32
3
伏 用伏格尔法寻找初始基：
格
B1
B2
B3
B4
ai 行差
尔
A1 3 2
9 0 10
7 9/6 555225222
法 A2 0 1 0 3 0 4 5 2 5/0 11111 1
计
A3 0 8 3 4 4 2 0 5 77/3/3/0 222222221
例7 利用割平面算法求解下面的规划问题
maxz 3x1 2x2
2x1 3x2 14
s.t.
x1 x1
0.5 , x2
x2 0
4.5
x1, x2是整数
解：将约束条件的系数化整；去掉“x1,x2是整数” 的条件，得到一个线性规划的标准型（LP1）为：
max z 3x1 2x2
2x1 3x2 x3 14
15 1 0 0 1 0 0
x2 4 0 1 1 2 / 3 1/ 3 0 4 x1 3 1 0 2 1 1 0 x6 4 0 0 4 5 / 3 4 / 3 1 1
18 0 0 2 0 1 0
x2 3 0 1 0 1/ 4 0 1/ 4 x1 5 1 0 0 1/ 6 1/ 3 1/ 2 x3 1 0 0 1 5 /12 1/ 3 1/ 4
2x1 x2
x4 9
x1, x2 , x3, x4 0
利用单纯形法求解这个线性规划问题，得出最终单纯 形表：
2300
x1 x2
x2 2.5 0 1
x1 3.25 1 0
σj
00
x3
x4
1/2 -1/2
-1/4 3/4
-1/4 -5/4
最优解不是整数解，由最终表得到变量之间的关系：
x2 0.5x3 0.5x4 2.5 x2 x4 2 0.5x3 0.5x4 0.5
1 -1/2 3/2 0 -1/2
0 -4 -1 0 -1
-2
XB b
x1
x2 2/5 0
-3 -4
x2
x3
x4
x5
1 -1/5 -2/5 1/5
x1 11/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5 28/5 0 0 -3/5 -8/5 -1/5
最优解 X*=(11/5，2/5，0，0，0)；z*=-28/5
3
4
计
A3 0 8
4
2
算
bj
33/0
8
4
列差 1
1
2
B4
ai 行差
7 99/6 5
25 1
57 2
6 3
伏 用伏格尔法寻找初始基：
格
B1
B2
B3
B4
ai 行差
尔
A1 3 2
9
10
7 9/6 5 5 2
法 A2 0 1 0 3 0 4 5 2 55/0 1 1 1
计
A3 0 8
4
2
5 7 222
算
bj
有
x2* x3* x4* 0;
x1* 3 x5* 4
2
x1*
x5*
3
求得 x1* 1, x5* 1 X * (1, 0, 0, 0,1)T , z* 5
例4
设某种物资有3个产地 A1，A2，A3， 生产量分别 为9，5，7;有4个销地B1，B2，B3，B4 ，销售量分 别为3，8，4，6 ;已知从Ai到Bj 物资的单位运价见 下表。求总运费最小的调运方案。
s.t.
建立单纯形表如下：
2xx11
3 x2 x2
x1, x2 , x3,
x3 x3 x4 , x5 ,
x5 x6
x6 0
18 3
023 1000
x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 x4 15 1 3 1 1 0 0 0 x5 18 2 3 1 0 1 0 0 x6 3 1 1 1 0 0 1
伏格尔法的初始方案及其检验数：
B1
B2
B3
B4
ui
A1 3 2 5 9 (3) 10 1 7 0