辽宁铁岭中考数学2012年试题精品word版答案或解析精编

2012年辽宁省铁岭市中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）3的相反数是（）
A．3 B．﹣3 C ．D ．﹣
2．（3分）下列图形中，不是中心对称的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（3分）计算（﹣2a3）2的结果是（）
A．2a5B．4a5C．﹣2a6D．4a6
4．（3分）如图，桌面上是由长方体的茶叶盒与圆柱体的茶叶盒组成的一个立体图形，其左视图是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（3分）为了解长城小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的40名居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如下表：
3 4 5 6 7
锻炼时间
（时）
人数（人） 6 13 14 5 2
这40名居民一周体育锻炼时间的中位数是（）
A．4小时B．4.5小时C．5小时D．5.5小时
6．（3分）在如图所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域内的概率为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．（3分）如图，⊙O中，半径OA＝4，∠AOB＝120°，用阴影部分的扇形围成的圆锥底面圆的半径长是（）
A．1 B．C．D．2
8．（3分）矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝8，将纸片沿EF折叠使点B与点D重合，折痕EF与BD相交于点O，则DF的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（3分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，分
别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（）
A．12 B．10 C．8 D．6
10．（3分）如图，▱ABCD的边长为8，面积为32，四个全等的小平行四边形对称中心分别在▱ABCD的顶点上，它们的各边与▱ABCD的各边分别平行，且与▱ABCD相似．若小平行四边形的一边长为x，且0＜x≤8，阴影部分的面积的和为y，则y与x之间的函数关系的大致图象是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）2011年10月20日，为更好地服务我国367 000 000未成年人，在团中央书记处领导下，团中央网络影视中心开通面向全国未成年人的专属网站﹣﹣未来网．将367 000 000用科学记数法表示为．
12．（3分）如果+|y﹣2|＝0，那么xy＝．
13．（3分）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝40°，则∠3＝．
14．（3分）从﹣2、1、这三个数中任取两个不同的数相乘，积是无理数的概率是．15．（3分）某城市进行道路改造，若甲、乙两工程队合作施工20天可完成；若甲、乙两工程队合作施工5天后，乙工程队再单独施工45天可完成．求乙工程队单独完成此工程需要多少天？设乙工程队单独完成此工程需要x天，可列方程为．
16．（3分）如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P 处，问乙货船每小时航行海里．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC经过平移后点A的对应点为点A′，则平移后点B的对应点B′的坐标为．
18．（3分）如图，点E、F、G、H分别为菱形A1B1C1D1各边的中点，连接A1F、B1G、
C
1H、D
1
E得四边形A
2
B
2
C
2
D
2
，以此类推得四边形A3B3C3D3…，若菱形A1B1C1D1的面积
为S，则四边形A n B n∁n D n的面积为．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中x＝3tan30°+1．
20．（12分）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32．连接BD，AE⊥BD垂足为E．
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）求线段AE的长．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）某中学对本校500名毕业生中考体育加试测试情况进行调查，根据男生1000米及女生800米测试成绩整理、绘制成如下不完整的统计图（图①、图②），请根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）该校毕业生中男生有人，女生有人；
（2）扇形统计图中a＝，b＝；
（3）补全条形统计图（不必写出计算过程）；
（4）若本校500名毕业生中随机抽取一名学生，这名学生该项测试成绩在8分以下的概率是多少？
22．（12分）如图，⊙O的直径AB的长为10，直线EF经过点B且∠CBF＝∠CDB．连接AD．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若点C是弧AB的中点，sin∠DAB＝，求△CBD的面积．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派生活委员小亮到文具店为获奖同学购买奖品．小亮发现，如果买1个笔记本和3支钢笔，则需要18元；如果买2个笔记本和5支钢笔，则需要31元．
（1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？
（2）班主任给小亮的班费是100元，需要奖励的同学是24名（每人奖励一件奖品），若购买的钢笔数不少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？
六、解答题（满分12分）
24．（12分）周末，王爷爷骑自行车随“夕阳红自行车队”到“象牙山”游玩．早上从市区出发，1小时50分钟后，到达“象牙山”，3小时后王爷爷的儿子小王打电话告诉王爷爷去接他，同时，小王驾车从市区同一地点出发沿相同路线去接王爷爷．王爷爷在接到电话10分钟后，随自行车队一起沿原路按原速返回．如图，是“自行车队”离市区的距离y（千米）和所用时间x（时）的函数图象及小王驾车出发到接到王爷爷时离市区的距离y（千米）和所用时间x（时）的函数图象，其解析式为y EC＝60x﹣290．
（1）王爷爷骑车的速度是千米∕时，点D的坐标为；
（2）求小王接到王爷爷时距“象牙山”有多远？
七、解答题（满分26分）
25．（12分）已知△ABC是等边三角形．
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．
①如图a，当θ＝20°时，△ABD与△ACE是否全等？（填“是”或“否”），∠
BOE＝度；
②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；
（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB＝AB′，AC＝AC′，连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD 和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
26．（14分）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y＝﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP＝S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．
2012年辽宁省铁岭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）3的相反数是（）
A．3 B．﹣3 C．D．﹣
【分析】根据相反数的意义，3的相反数即是在3的前面加负号．
【解答】解：根据相反数的概念及意义可知：3的相反数是﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（3分）下列图形中，不是中心对称的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项正确；
D、是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）计算（﹣2a3）2的结果是（）
A．2a5B．4a5C．﹣2a6D．4a6
【分析】根据积的乘方与幂的乘方的运算法则求解即可求得答案；注意幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
【解答】解：（﹣2a3）2＝（﹣2）2•（a3）2＝4a6．
故选：D．
【点评】此题考查了积的乘方与幂的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握（a m）n＝a mn （m，n是正整数）与（ab）n＝a n b n（n是正整数）的应用是解此题的关键．
4．（3分）如图，桌面上是由长方体的茶叶盒与圆柱体的茶叶盒组成的一个立体图形，其左视图是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】圆柱体形状的茶叶盒的左视图是圆，长方体的茶叶盒的左视图是矩形，且圆位于矩形的上方，由此可以得到结论．
【解答】解：圆柱体形状的茶叶盒的左视图是圆，长方体的茶叶盒的左视图是矩形，且圆位于矩形的上方，故选D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题时不但要具有丰富的数学知识，而且还应有一定的生活经验．
5．（3分）为了解长城小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的40名居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如下表：
锻炼时间
3 4 5 6 7
（时）
人数（人） 6 13 14 5 2
这40名居民一周体育锻炼时间的中位数是（）
A．4小时B．4.5小时C．5小时D．5.5小时
【分析】中位数是将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据或者最中间两个数据的平均数叫这组数据的中位数．本组数据中，把数据按照从大到小的顺序排列，最中间的两个数的平均数即为中位数．
【解答】解：由统计表可知：统计表中是按从小到大的顺序排列的，最中间两个人的锻炼时间都是5小时，故中位数是5小时．
故选：C．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数，则找中间两位数的平均数．
6．（3分）在如图所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域内的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】先根据矩形的性质求出矩形对角线所分的四个三角形面积相等，再根据旋转的性质求出阴影区域的面积即可．
【解答】解：根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三角形，故其面积相等，
根据旋转的性质易证阴影区域的面积＝正方形面积4份中的一份，
故针头扎在阴影区域的概率为；
故选：A．
【点评】此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．7．（3分）如图，⊙O中，半径OA＝4，∠AOB＝120°，用阴影部分的扇形围成的圆锥底面圆的半径长是（）
A．1 B．C．D．2
【分析】利用扇形的半径以及以及在圆中所占比例，得出圆心角的度数，再利用圆锥底面圆周长等于扇形弧长求出即可．
【解答】解：∵⊙O中，半径OA＝4，∠AOB＝120°，
∴扇形弧长为：l＝＝π，
则由圆锥的底面圆的周长为：c＝2πr＝π．
解得：r＝．
故选：B．
【点评】此题主要主要考查了扇形组成圆锥后各部分对应情况，根据题意得出圆锥底面圆周长等于扇形弧长是解决问题的关键．
8．（3分）矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝8，将纸片沿EF折叠使点B与点D重合，折痕EF与BD相交于点O，则DF的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】设DF＝x，则BF＝x，CF＝8﹣x，在RT△DFC中利用勾股定理可得出x的值，继而得出答案．
【解答】解：设DF＝x，则BF＝x，CF＝8﹣x，
在RT△DFC中，DF2＝CF2+DC2，即x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，即DF的长为5．
故选：C．
【点评】此题考查了翻折变换的知识，设出DF的长度，得出CF的长，然后在RT△DFC 中利用勾股定理是解答本题的关键．
9．（3分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（）
A．12 B．10 C．8 D．6
【分析】先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k的符号，再延长线段BA，交y轴于点E，由于AB∥x轴，所以AE⊥y轴，故四边形AEOD是矩形，由于点A在双曲线y ＝上，所以S矩形AEOD＝4，同理可得S矩形OCBE＝k，由S矩形ABCD＝S矩形OCBE﹣S矩形AEOD 即可得出k的值．
【解答】解：∵双曲线y＝（k≠0）在第一象限，
∴k＞0，
延长线段BA，交y轴于点E，
∵AB∥x轴，
∴AE⊥y轴，
∴四边形AEOD是矩形，
∵点A在双曲线y＝上，
∴S矩形AEOD＝4，
同理S矩形OCBE＝k，
∵S矩形ABCD＝S矩形OCBE﹣S矩形AEOD＝k﹣4＝8，
∴k＝12．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即反比例函数y＝图象中任取一
点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．10．（3分）如图，▱ABCD的边长为8，面积为32，四个全等的小平行四边形对称中心分别在▱ABCD的顶点上，它们的各边与▱ABCD的各边分别平行，且与▱ABCD相似．若小平行四边形的一边长为x，且0＜x≤8，阴影部分的面积的和为y，则y与x之间的函数关系的大致图象是（）
A．B．C．D．
【分析】根据平行四边形的中心对称性可知四块阴影部分的面正好等于一个小平行四边形的面积，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方列式求出y与x之间的函数关系式，然后根据二次函数图象解答．
【解答】解：∵四个全等的小平行四边形对称中心分别在▱ABCD的顶点上，
∴阴影部分的面积等于一个小平行四边形的面积，
∵小平行四边形与▱ABCD相似，
∴＝（）2，
整理得y＝x2，
又0＜x≤8，
纵观各选项，只有D选项图象符合y与x之间的函数关系的大致图象．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据平行四边形的对称性与相似多边形的面积的比等于相似比的平方求出y与x的函数关系是解题的关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）2011年10月20日，为更好地服务我国367 000 000未成年人，在团中央书记处领导下，团中央网络影视中心开通面向全国未成年人的专属网站﹣﹣未来网．将367 000 000用科学记数法表示为 3.67×108．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值是易错点，由于367 000 000有9位，所以可以确定n＝9﹣1＝8．
【解答】解：367 000 000＝3.67×108．
故答案为：3.67×108．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．
12．（3分）如果+|y﹣2|＝0，那么xy＝﹣2 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x+1＝0，y﹣2＝0，
解得x＝﹣1，y＝2，
所以，xy＝（﹣1）×2＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
13．（3分）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝40°，则∠3＝40°．
【分析】由∠1＝∠2，根据“内错角相等，两直线平行”得AB∥CE，再根据两直线平行，同位角相等即可得到∠3＝∠B＝40°．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CE，
∴∠3＝∠B，
而∠B＝40°，
∴∠3＝40°．
故答案为40°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位
角相等．
14．（3分）从﹣2、1、这三个数中任取两个不同的数相乘，积是无理数的概率是．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与积是无理数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，积是无理数的有4种情况，
∴积是无理数的概率：＝．
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（3分）某城市进行道路改造，若甲、乙两工程队合作施工20天可完成；若甲、乙两工程队合作施工5天后，乙工程队再单独施工45天可完成．求乙工程队单独完成此工程需要多少天？设乙工程队单独完成此工程需要x天，可列方程为+＝1 ．
【分析】利用“甲、乙两工程队合作施工5天后，乙工程队在单独施工45天可完成”这一等量关系列出方程即可．
【解答】解：∵甲、乙两工程队合作施工20天可完成；
∴合作的工作效率为：
设乙工程队单独完成此工程需要x天，则可列方程+＝1，
故答案为：+＝1
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到等量关系并列出方程．16．（3分）如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P 处，问乙货船每小时航行2海里．
【分析】作PC⊥AB于点C，首先在直角三角形APC中求得PC，然后在直角三角形中求得PB的长，最后除以时间即可得到乙货轮航行的速度．
【解答】解：作PC⊥AB于点C，
∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，
∴∠PAC＝30°，AP＝4×2＝8，
∴PC＝AP×sin30°＝8×＝4．
∵乙货船从B港沿西北方向出发，
∴∠PBC＝45°，
∴PB＝PC÷＝4，
∴乙货船每小时航行4÷2＝2海里/小时，
故答案为2．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从纷杂的实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC经过平移后点A的对应点为点A′，则平移后点B的对应点B′的坐标为（﹣2，1）．
【分析】先根据点A与A′确定平移规律，再根据规律写出点B的对应点B′的坐标即可．
【解答】解：由图可得，点A（1，﹣1），A′（﹣3，3），
所以，平移规律是：向左平移4个单位，再向上平移4个单位，
∵点B的坐标为（2，﹣3），
∴B′的坐标为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查了平移与坐标与图形的变化，根据图形得到平移规律是解题的关键．18．（3分）如图，点E、F、G、H分别为菱形A1B1C1D1各边的中点，连接A1F、B1G、
C
1H、D
1
E得四边形A
2
B
2
C
2
D
2
，以此类推得四边形A3B3C3D3…，若菱形A1B1C1D1的面积
为S，则四边形A n B n∁n D n的面积为．
【分析】由E、F、G、H分别为菱形A1B1C1D1各边的中点，得到A1H＝C1F，又A1H∥
C
1F，利用一组边长平行且相等的四边形为平行四边形得到四边形A
1
HC
1
F为平行四边形，
根据平行线间的距离相等及平行四边形与三角形的面积公式，可得出四边形A1HC1F的面积等于△HB1C1面积的2倍，等于△A1D1F面积的2倍，而这三个的面积之和为菱形的面积S，可得出四边形A1HC1F面积为菱形面积S的一半，再由平行线等分线段定理得到A
2
为A1D2的中点，C2为C1B2的中点，B2为B1A2的中点，D2为D1C2的中点，利用三角形的中位线定理得到HB2＝A1A2，D2F＝C1C2，可得出A1A2B2H和C1C2D2F都为梯形，且高与平行四边形A2B2C2D2的高h相等（设高为h），下底与平行四边形A2B2C2D2的边A2D2与x相等（设A2D2＝x），分别利用梯形的面积公式及平行四边形的面积公式表示出各自的面积，得出三个面积之比，可得出平行四边形A2B2C2D2的面积占三个图形面积的，即为四边形A1HC1F面积的，为菱形面积的，同理得到四边形A3B3C3D3的面积为菱形面积的（）2，以此类推，表示出四边形A n B n∁n D n的面积即可．
【解答】解：∵H为A1B1的中点，F为C1D1的中点，
∴A1H＝B1H，C1F＝D1F，
又A1B1C1D1为菱形，∴A1B1＝C1D1，
∴A1H＝C1F，又A1H∥C1F，
∴四边形A1HC1F为平行四边形，
∴S四边形A1HC1F＝2S△HB1C1＝2S△A1D1F，
又S四边形A1HC1F+S△HB1C1+S△A1D1F＝S菱形A1B1C1D1＝S，
∴S四边形A1HC1F＝S，
又GD1＝B1E，GD1∥B1E，
∴GB1ED1为平行四边形，
∴GB1∥ED1，又G为A1D1的中点，
∴A2为A1D2的中点，
同理C2为C1B2的中点，B2为B1A2的中点，D2为D1C2的中点，
∴HB2＝A1A2，D2F＝C1C2，
又A1A2B2H和C1C2D2F都为梯形，且高与平行四边形A2B2C2D2的高h相等（设高为h），下底与平行四边形A2B2C2D2的边A2D2与x相等（设A2D2＝x），
∴S梯形A1A2B2H＝S梯形C1C2D2F＝（x+x）h＝xh，S平行四边形A2B2C2D2＝xh，
即S梯形A1A2B2H：S梯形C1C2D2F：S平行四边形A2B2C2D2＝3：3：4，
又S梯形A1A2B2H+S梯形C1C2D2F+S平行四边形A2B2C2D2＝S四边形A1HC1F，
∴S平行四边形A2B2C2D2＝S四边形A1HC1F＝S，
同理S四边形A3B3C3D3＝（）2S，
以此类推得四边形A n B n∁n D n的面积为（）n﹣1S或．
故答案为：（）n﹣1S或．
【点评】此题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，平行线等分线段定理，以及平行四边形与三角形面积的计算，利用了转化的数学思想，是一道规律型试题，灵活运用三角形中位线定理是解本题的关键．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中x＝3tan30°+1．
【分析】将原式除式的第一项分子分母同时乘以x+3，然后利用同分母分式的减法法则计算，将被除式分母利用平方差公式分解因式，除式分母利用平方差公式分解因式，分子利
用完全平方公式分解因式，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，然后利用特殊角的三角函数值求出x的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可求出原式的值．
【解答】解：÷（﹣）
＝÷[﹣]
＝÷
＝•
＝，
当x＝3tan30°+1＝3×+1＝+1时，
原式＝＝＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时若分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
20．（12分）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32．连接BD，AE⊥BD垂足为E．
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）求线段AE的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD＝∠ADB，由AD∥BC可知，∠ADB＝∠DBC，由此可得∠ABD＝∠DBC，又∵∠AEB＝∠C＝90°，利用“AA”可证△ABE ∽△DBC；
（2）由等腰三角形的性质可知，BD＝2BE，根据△ABE∽△DBC，利用相似比求BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE．
【解答】（1）证明：∵AB＝AD＝25，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△DBC；
（2）解：∵AB＝AD，又AE⊥BD，
∴BE＝DE，
∴BD＝2BE，
由△ABE∽△DBC，
得，
∵AB＝AD＝25，BC＝32，
∴，
∴BE＝20，
∴AE＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质及勾股定理解题．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）某中学对本校500名毕业生中考体育加试测试情况进行调查，根据男生1000米及女生800米测试成绩整理、绘制成如下不完整的统计图（图①、图②），请根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）该校毕业生中男生有300 人，女生有200 人；
（2）扇形统计图中a＝12 ，b＝62 ；
（3）补全条形统计图（不必写出计算过程）；
（4）若本校500名毕业生中随机抽取一名学生，这名学生该项测试成绩在8分以下的概率是多少？
【分析】（1）男生人数为20+40+60+180＝300，女生人数为500﹣300＝200；
（2）8分对应百分数用8分的总人数÷500，10分对应百分数用1﹣其它几个百分数；（3）8分以下总人数＝500×10%＝50，其中女生＝50﹣20，10分总人数＝500×62%＝310，其中女生人数＝310﹣180＝130；
（4）可利用样本的百分数去估计总体的概率，8分以下的百分数为10%，故8分以下的概率为．
【解答】解（1）如图，男生人数为20+40+60+180＝300，女生人数为500﹣300＝200，
故答案为：300，200；
（2）8分对应百分数为（40+20）÷500＝12%，
10分对应百分数为1﹣10%﹣12%﹣16%＝62%，
故答案为：a＝12，b＝62；
（3）补图如图所示：
（4）随机抽取的学生的测试成绩在8分以下的概率是．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．（12分）如图，⊙O的直径AB的长为10，直线EF经过点B且∠CBF＝∠CDB．连接AD．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若点C是弧AB的中点，sin∠DAB＝，求△CBD的面积．
【分析】（1）先由AB是⊙O的直径可得出∠ADB＝90°，再根据∠ADC＝∠ABC，∠CBF＝∠CDB即可得出∠ABF＝90°，故EF是⊙O的切线；
（2）作BG⊥CD，垂足是G，在Rt△ABD中，AB＝10，sin∠DAB＝可求出BD的
长，再由C是弧AB的中点，可知∠ADC＝∠CDB＝45°，根据BG＝DG＝BD sin45°可求出BG的长，由∠DAB＝∠DCB可得出CG的长，进而得出CD的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°即∠ADC+∠CDB＝90°，
∵∠ADC＝∠ABC，∠CBF＝∠CDB，
∴∠ABC+∠CBF＝90°即∠ABF＝90°，
∴AB⊥EF
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：作BG⊥CD，垂足是G，
在Rt△ABD中
∵AB＝10，sin∠DAB＝
又∵sin∠DAB＝
∴BD＝6
∵C是弧AB的中点，
∴∠ADC＝∠CDB＝45°，
∴BG＝DG＝BD×sin45°＝6×＝3，
∵∠DAB＝∠DCB
∴tan∠DCB＝＝，
∴CG＝
∴CD＝CG+DG＝4+3＝7，
∴S△CBD＝CD•BG＝＝21．
【点评】本题考查的是切线的判定定理，涉及到圆周角定理、解直角三角形及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派生活委员小亮到文具店为获奖同学购买奖品．小亮发现，如果买1个笔记本和3支钢笔，则需要18元；如果买2个笔记本和5支钢笔，则需要31元．
（1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？
（2）班主任给小亮的班费是100元，需要奖励的同学是24名（每人奖励一件奖品），若购买的钢笔数不少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？
【分析】（1）每个笔记本x元，每支钢笔y元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购买笔记本m个，则购买钢笔（24﹣m）个利用总费用不超过100元和钢笔数不少于笔记本数列出不等式组求得m的取值范围后即可确定方案．
【解答】解：（1）设每个笔记本x元，每支钢笔y元
依题意得：
解得：
答：设每个笔记本3元，每支钢笔5元．
（2）设购买笔记本m个，则购买钢笔（24﹣m）个
依题意得：
解得：12≥m≥10
∵m取正整数
∴m＝10或11或12
∴有三种购买方案：①购买笔记本10个，则购买钢笔14个．
②购买笔记本11个，则购买钢笔13个．
③购买笔记本12个，则购买钢笔12个．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用及二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细的分析题意并找到等量关系列方程或不等关系列不等式．
六、解答题（满分12分）
24．（12分）周末，王爷爷骑自行车随“夕阳红自行车队”到“象牙山”游玩．早上从市区出发，1小时50分钟后，到达“象牙山”，3小时后王爷爷的儿子小王打电话告诉王爷爷去接他，同时，小王驾车从市区同一地点出发沿相同路线去接王爷爷．王爷爷在接到电话10分钟后，随自行车队一起沿原路按原速返回．如图，是“自行车队”离市区的距离y（千米）和所用时间x（时）的函数图象及小王驾车出发到接到王爷爷时离市区的距离y（千米）和所用时间x（时）的函数图象，其解析式为y EC＝60x﹣290．
（1）王爷爷骑车的速度是12 千米∕时，点D的坐标为（，0）；
（2）求小王接到王爷爷时距“象牙山”有多远？
【分析】（1）由OA段可知，路程为22千米，时间为1小时50分钟＝小时，根据速度公式可求王爷爷骑车的速度，因为速度不变，返回时，王爷爷仍需要小时，即D点横坐标为5+＝；
（2）设BD的关系式为y BD＝kx+b，由“两点法”可求线段BD的解析式，联立BD、EC的解析式，可求交点坐标，根据交点纵坐标，求小王接到王爷爷时距“象牙山”的距离．
【解答】解：（1）王爷爷骑车的速度＝22÷＝12千米/时，
∵返回时，王爷爷的速度与路程同去时相同，
∴返回时，王爷爷仍需要小时，即D点横坐标为5+＝；
故答案为：12，（，0）；
（2）设BD的关系式为y BD＝kx+b（k≠0），
∵D（，0），B（5，22）在BD上，
∴，
解得：，。