高考数学适应性考试试题 理-人教版高三全册数学试题

某某一中高中2016届高考适应性考试
理科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的某某号、
某某填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
（1）已知集合}43210{，，，，=U ，}321{，，=A ，{}
2log (4)12B x|x x =+-≥，则=)(B A C U （A ）}4310{，，，（B ）}32{，（C ）}410{，，（D ）}40{， （2）已知z 是纯虚数，i
z +-12
是实数，则z = （A ）2i -（B ）2i （C ）i （D ）i -
（3）阅读右边程序框图，若输出的数据为60，则判断框中应 填入的条件为
（A ） 3?i ≤（B ）4?i ≤ （C ） 5?i ≤（D ）6?i ≤
（4）抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A ， 若线段AF 的中点B 在抛物线上，则||BF =
（A ）
54（B ）5
2
（C ）22（D ）324
i S S 2+=
开 始
S =0, i =1
i =i +1
输出S
结 束
否
是
（5）等差数列{}n a 中，35a =，且4822a a +=，则11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
前20项和为 （A ）
4041（B ）2041（C ）4243（D ）21
43
（6）现要从甲、乙、丙等6个人中挑选4人分别完成四项不同的任务，但第一项任务只有甲、乙能够胜任，第四项任务只有甲、丙能够胜任，则不同的分配方案有
（A ）18种 （B ）24种 （C ）36种 （D ）48种 （7）定义在R 上的奇函数)(x f ，若)()2(x f x f -=+，1)1(>f ，1)3(2--=m m f ，则实数m 的取值X 围是
（A ）)1,0(（B ）),1()0,(∞+-∞ （C ）),2()1,(∞+--∞ （D ）)2,1(- （8）如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为 （A ）2（B ）
83（C ）43（D ）2
3
（9）已知函数2
()cos 3cos f x x x x ωωω=⋅，又1
()2
f α=-，
1
()2f β=．若αβ-的最小值为
32
π，则正数ω的值为 （A ）16（B ）13（C ）12（D ）2
3
（10）直角三角形ABC 中，3==AC AB ，N M 、是斜边BC 上两个点，2||=MN ，则AM AN ⋅的取值X 围是
（A ）]2
5
,2[（B ）]6,2[（C ）]6,4[（D ）]12,4[
（115
2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF
为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O 、A 两点，若AOF ∆的面积为4，则实数a 的值为 （A ）22B ）3（C ）4（D ）5
（12）设)('x f 为函数)(x f 的导函数，已知'()()ln xf x f x x x -=，1
()1f e
=，则下列结论正确的是 （A ）)(x f 在),0(+∞上递增（B ）)(x f 在),0(+∞上递减 （C ）)(x f 在),0(+∞上先增再减（D ）)(x f 在),0(+∞先减再增
第（8）题图
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13） 已知5
(2)(1)ax x +-的展开式中，2x 的系数为-5，则=a __________．
（14）若点P 是不等式⎪
⎩⎪
⎨⎧≤≤≤≤y
x y x 3330表示的平面区域内的一个动点，且不等式02≥+-a y x 恒成立，
则实数a 的取值X 围是．
（15）已知四面体ABCD 的顶点都在球O 的球面上，且球心O 在BC 上，平面ADC ⊥平面BDC ，AD=AC=BD ，
90=∠DAC ，若四面体ABCD 的体积为
3
4
，则球O 的表面积为． （16）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，21
2
a =．(1)(1)n n n
b n S n a =-++，{}n b 是等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =．
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
如图，平面四边形ABCD 中，5AB =22AD =3CD =，30CBD ∠=，120BCD ∠=．
（Ⅰ）求ADB ∠；
（Ⅱ）求ADC ∆的面积S ．
（18）（本小题满分12分）
某校举办“英语之星”评选活动，每班由10人组成代表队．评选分笔试和面试两个环节，要求笔试成绩不低于85分方可参加面试．面试由5道题目组成，参评者依次回答，累计答对3题或答错3题则结束面试．面试累计答对三题即获“英语之星”称号．现有甲乙两班代表队的得分如下： 甲：51，62，63，65，67，72，75，76，86，91； 乙：54，64，71，74，76，76，79，87，85，94．
（Ⅰ）根据两组数据完成甲乙两班代表队得分的茎叶图，并通过茎叶图比较甲乙两班代表队得分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； （Ⅱ）已知面试中，甲同学每题答对的概率为1
3
，且各题对错互不影响．求甲同学答题数量X 的分布列和期望．
（19）（本小题满分12分）
在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，AB ＝3，AA 1＝32，D 为AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，
CO ⊥侧面ABB 1A 1．
（Ⅰ）证明：BC ⊥AB 1；
（Ⅱ）若OC ＝OA ，求二面角A 1－AC －B 的余弦值．
（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，圆2
2
:4C x y +=，(3,0)A ，点P 为平面内一动点，以PA 为直径的圆与圆C 相切．
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程1C ；
（Ⅱ）若直线PA 与曲线1C 的另一交点为Q ，求POQ ∆面积的最大值．
（21）（本小题满分12分）
已知函数|ln |)(a x x x f -=，R ∈a ． （Ⅰ）当1=a 时，试求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的2≥a ，方程b x x f +=)(恒有三个不等根，试某某数b 的取值X 围．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
（22）（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲
如图，圆O 的半径OB 垂直于直径AC ，P 在AC 延长线上，过P 作圆O 的切线PN ，切点为N ，连BN 交
AC 与M ．
（Ⅰ）求证：PC PA PM ⋅=2；
（Ⅱ）若圆O 的半径为23OA =3OM ，求PN 的长．
（23）（本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆心为1C 的圆的参数方程为
2cos 3
2sin 1
x y αα⎧=+⎪⎨
=+⎪⎩α为参数），曲线2C 的极坐标方程为cos()33πρθ-=． （Ⅰ）求圆1C 的极坐标方程； （Ⅱ）若射线3
π
θ=(0)ρ>交曲线C 1和2C 于A 、B ，求1ABC ∆的面积．
（24）（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 设函数()||2|1|f x x a x =---． （Ⅰ）当3a =时，解不等式()1f x ≥；
（Ⅱ）若()|25|0f x x --≤对任意的[1,2]x ∈恒成立，某某数a 的取值X 围．
某某一中高中2016届高考适应性考试
理科数学答案及评分参考
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主
要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容
和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
（1）C （2）B （3）B （4）D （5）B （6）C （7）A （8）D （9）A （10）C （11）C （12）A 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分． （13）5 （14）3a ≥（15）12π（16）1
1
()2
n n n a n N *--=
∈ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本题满分12分）
解：（Ⅰ）在BCD ∆中，由正弦定理得：
33
sin 31sin 22
CD BD BCD CBD =
⋅∠==∠，…………………2分
在ABD ∆中，由余弦定理得：
222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠=⋅222(22)3(5)2
22223
+-==
⨯⨯ …………………4分
所以45ADB ∠= …………………6分 （Ⅱ）因为30CBD ∠=，120BCD ∠=，所以30CDB ∠=
因为62
sin sin(4530)4
ADC +∠=+=
…………………8分 所以，1
sin 2
S AD CD ADC =⋅⋅∠16233223242++=⨯⨯⨯
= …………12分
（18）（本题满分12分） 解：（Ⅰ）
…………………2分
由茎叶图可知：甲乙两班代表队得分的茎叶图呈“单峰”结构，且乙班代表队得分更集中于峰值附近，所以乙班代表队得分更集中；甲班代表队得分的茎叶图有
10
7
的叶主要集中在茎6，7上，而乙班代表
队得分的茎叶图有
10
7
的叶主要集中在茎7，8上，所以乙班代表的平均得分高于甲班代表队. …………………6分
（Ⅱ）X 的取值有：3，4，5
33
129
(3)()()3327P X 2222
331212122810
(4)()()333333272727
P X C C 22
24128(5)()()1
3327
P X
C …………………9分 所以甲同学答题数量X 的分布列为：
…………………10分
X
3 4 5
P
927 1027 827
期望：9108107
()345
27272727
E X . …………………12分
（19）（本题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：由题意tan ∠ABD ＝AD
AB ＝22，tan ∠AB 1B ＝AB BB 1＝22
， 0<∠ABD 2
π
<
，0<∠AB 1B <π2，∴∠ABD ＝∠AB 1B ，
∴∠ABD ＋∠BAB 1＝∠AB 1B ＋∠BAB 1＝π
2
，∴AB 1⊥BD …………………2分
又CO ⊥侧面ABB 1A 1，∴AB 1⊥CO ． …………………3分 又BD 与CO 交于点O ，∴AB 1⊥平面CBD ， …………………4分 又BC ⊂平面CBD ，∴BC ⊥AB 1． …………………5分
（Ⅱ）如图，以O 为原点，分别以OD ，OB 1，OC 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则(0,3,0)A ，(
6,0,0)B ，(0,0,3)C ，1(0,23,0)B ．
∴(6,3,0)AB ，(0,3,3)AC
，1
1
(6,23,0)AA BB ． …………………7分
设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则
=0=0
AB AC n n ，即
6333=0
x +y =0y
z ，
令x ＝1，可得n ＝(1，2，－2)是平面ABC 的一个法向量． …………………9分
设平面A 1AC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则
1=0=0
AA AC m m ，即
6333=0
x +2y =0y
z ，
令x ＝2，可得m ＝(2，－2，2)是平面ABC 的一个法向量．…………………10分 设二面角A 1－AC －B 的平面角为α，则 210cos
cos ,10
22
5
m n m n
m n
∴二面角A 1－AC －B 的余弦值为
10
10
． …………………12分
（20）（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）设点(,)P x y ，1(3,0)A -，记线段PA 的中点为M ，则
两圆的圆心距111
22
d OM PA R PA ==
=-， 所以，1423PA PA +=>，故点P 的轨迹是以1,A A 为焦点，以4为长轴的椭圆，
所以，点P 的轨迹方程1C 为：2
214
x y +=.…………………5分 （Ⅱ）设P 1122(,),Q(,)x y x y ，直线PQ 的方程为：3x my =+， …………………6分
把3x my =+代入2
214
x y +=消去x ，整理得：22(4)2310m y my ++-=， 则1212
2222311
,44(4)
m y y y y m m m +=-
=-=-+++， …………………8分 21212121123()4222
POQ S OA y y y y y y ∆=
⋅-=⋅⋅+- 222222222233443131
24234(4)42(4)(4)4
m m m m m m m ⋅+=+=⋅⋅=-++++++…………10分
令211(0)44t t m =
<≤+，则2
233POQ
S t t ∆=-+1≤（当且仅当16
t =时取等号） 所以，POQ ∆面积的最大值1.…………………12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当1=a 时，ln ,0()|ln 1|ln ,e x x x x e f x x x x x x x -<<⎧=-=⎨-≥⎩
．…………………1分
当0x e <<时，x x f ln )(-='，可得)(x f 在（0,1）上递增，在（1，e ）上递减； 当x e ≥时，x x f ln )(='，可得)(x f 在(,)e +∞上递增． …………………3分
()f x ∴的单调递增区间为（0,1）和(,)e +∞，单调递减区间为（1，e ） …………………4分
（Ⅱ）可以求得)(x f 在1(0,)a e -上递增，在1(,)a a e e -上递减，在(,)a e +∞上递增． 若方程b x x f +=)(有三个不等根，
则必须在(0,)a e 上有两个不等根，在(,)a e +∞上有一个根．…………………5分 当1(0,)a x e -∈时，()0f x >，故0b >…………………6分
若0a x e <<，令()()()g x f x x b =-+，
则2ln )(-+-='a x x g ；令0)(='x g ，得2e -=a x ．
所以当20a x e -<<时，)(x g 是增函数，当2a a e x e -<<时，)(x g 是减函数
当a x e >时，()ln g x x a '=-，此时，()g x 单调递增， …………………8分 又1a b a e e ++>，而()1111()ln 1
0a b a b a b a b g e e e a b be b ++++++++=---=->
若)(x g 恒有三个不同零点，此时应满足22
()0
()0
a-a a a
g e e b g e e b -⎧=->⎪⎨=--<⎪⎩，得2e e a a b --<<． 所以，20a b e -<<． ……………………11分 又对于任意的2≥a ，方程b x x f +=)(恒有三个不等根，则2min 0()1a b e -<<=． 综上所述，01b <<． …………………12分
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
（22）（本小题满分10分） （Ⅰ）证明：连ON ，则ON NP ⊥ OBN ∆中，OB =ON ，OBN ONB ∴∠=∠
90OBN OMB ONB PNM ∠+∠=∠+∠=, OMB PNM ∴∠=∠，PNM PNM ∴∠=∠
由切割线定理：2PN PA PC =⋅2PM PA PC ∴=⋅…………………5分 （Ⅱ）解：延长BO 交圆O 于D ，连结DN ，则90BND ∠= 又3,90OB OA OM BOM ==∠=，30,4OBM BM ∴∠== 在RT BND ∆中，cos306BM BD ==，2MN ∴= 又30ONM OBN ∠=∠=， 60PNM ∴∠=
PNM ∴∆为正三角形，2PN ∴=…………………10分
word （23）（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）1C 的直角坐标方程为22(3)(1)4x y -+-=…………………2分
又cos ,sin x y ρθρθ==
所以1C 得极坐标方程为2sin 23cos ρθθ=+…………………4分 （Ⅱ）将3πθ=
代入1C 的极坐标方程得(23,)3A π 将3πθ=代入1C 的极坐标方程得(3,)3
B π…………………6分 所以||233AB =-…………………8分
又圆2C 的圆心2(3,1)C 且半径为1，所以2C 到直线AB 的距离为1 所以1ABC ∆面积1233(233)122
S -=
⨯-⨯=…………………10分
（24）（本小题满分10分）
解：（1）()1|3||22|1f x x x ≥⇔---≥ 13221x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或133221x x x <<⎧⇔⎨--+≥⎩或33221x x x ≥⎧⇔⎨--+≥⎩ ⇔403x ≤≤
…………………4分 所以()1f x ≥解集为4
[0,]3…………………5分
（2）当[1,2]x ∈时
()|25|0|||22||25|0f x x x a x x --≤⇔-----≤||3x a ⇔-≤33a x a ⇔-≤≤+
…………………7分
依题意[1,2][3,3]a a ⊆-+…………………8分
3132a a -≤⎧∴⎨+≥⎩[1,4]a ∴∈-…………………10分。