3.4数学建模：决定苹果的最佳出售时间点
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A．110 元/个 B．105 元/个 C．100 元/个 D．95 元/个
解析：设每个商品涨价 x 元，利润为 y 元，则销售量为(400－ 20x)个，根据题意，有 y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4 000 ＝－20(x－5)2＋4 500.所以当 x＝5 时，y 取得最大值，且为 4 500， 即当每个涨价 5 元，也就是售价为 95 元/个时，可以获得最大利润 为 4 500 元．
30＋0.15[x]－500，x>500.
(2)当 x＝20×60＝1 200(min)时，x>500，应付 y＝30＋0.15×(1 200－500)＝135(元)．
(3)90 元已超过 30 元，所以上网时间超过 500 min，由解析式 可得上网时间为 900 min.
方法归纳
分段函数的实际应用 (1)在刻画实际问题中，变量之间的关系因自变量 x 取值范围的 不同，对应的函数关系不能用同一个解析式表示时，常用分段函数 建立函数模型解决问题． (2)分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的 函数．求解分段函数的最值问题时应注意：分段函数的最大值是各 段函数最大值中较大的一个，分解函数的最小值是各段函数最小值 中较小的一个．
此时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它，由于分段函数在不
同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实
际问题中，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．
状元随笔
(1)在函数建模中，通常需要先画出函数图像，根据图像来确定 两个变量的关系，选择函数类型．
(2)函数模型在实际应用中，函数的自变量 x 往往具有实际意 义，如 x 表示长度时，x≥0；x 表示件数时，x≥0，且 x∈Z 等．在 解答时，必须要考虑这些实际意义．
(1)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数，并求定义域； (2)核电站建在距 A 城多远时，才能使供电费用最小？
解析：(1)由题意：y＝0.25[20x2＋10(100－x)2]＝7.5x－13002＋ 50 000
3. ∵x≥10，且 100－x≥10， ∴10≤x≤90. ∴函数的定义域为[10,90]．
【解析】 (1)因利润 z＝12x－(6x＋30 000)，所以 z＝6x－30 000，由 z≥0 解得 x≥5 000，故至少日生产文具盒 5 000 套．
(2)由优惠办法①可得函数解析式为 y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋ 60(x≥4，且 x∈N)．
由优惠办法②可得 y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4， 且 x∈N)．
【解析】 由于上网时间不同，收费标准不同，因此对所付费 用作分段讨论，以确定付费标准，建立函数关系式，解决付费与上 网时间的问题．
(1)设上网时间为 x min，用[x]表示不小于 x 的最小整数，由已 知条件知所付费用 y 关于 x 的函数关系式为
0，0<x<1， y＝03.05，[x6]，0≤1≤x≤x<56000，，
答案：D
3．某生产厂家的生产总成本 y(万元)与产量 x(件)之间的关系式 为 y＝x2－80x，若每件产品的售价为 25 万元，则该厂获得最大利 润时，生产的产品件数为( )
A．52 B．52.5 C．53 D．52 或 53
解析：因为利润＝收入－成本，当产量为 x 件时(x∈N)，利润 f(x)＝25x－(x2－80x)，所以 f(x)＝105x－x2＝－x－12052＋10452，所 以 x＝52 或 x＝53 时，f(x)有最大值．
k＝15， b＝－2 500，
即 y＝15x－2 500.由 15x－2 500>1 000，得 x>7300，
故至少要售出 234 张门票，才能使游乐场每天的盈利额超过 1 000
元．
答案：234
题型一 一次函数模型的应用[经典例题] 例 1 (1)某厂日生产文具盒的总成本 y(元)与日产量 x(套)之间 的关系为 y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套 12 元，要使该厂不亏本， 至少日生产文具盒( ) A．2 000 套 B．3 000 套 C．4 000 套 D．5 000 套
跟踪训练 3 某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元，但每生产 100 台，需要加可变成本(即另增加投入)0.25 万元．市 场对此产品的年需求量为 500 台．销售的收入函数为
R(x)＝5x－x22(万元)(0≤x≤5)，其中 x 是产品售出的数量(单位： 百台)．
(1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？
跟踪训练 1 若一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm， 则燃烧剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图像表示为 图中的( )
解析：蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短，根据实际意义不可 能是 D 项，更不可能是 A、C 两项．故选 B 项．
答案：B
题型二 二次函数模型的应用[经典例题] 例 2 某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，假设每箱售 价不得低于 50 元且不得高于 55 元．市场调查发现，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天销售 90 箱，价格每提高 1 元，平均每天 少销售 3 箱． (1)求平均每天的销售量 y(箱)与销售单价 x(元/箱)之间的函数 关系式；
所以 w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55， x∈N)．
(3)因为 w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200， 所以当 x<60 时，w 随 x 的增大而增大． 又 50≤x≤55，x∈N，所以当 x＝55 时，w 有最大值，最大值 为 1 125. 所以当每箱苹果的售价为 55 元时，可以获得最大利润，且最 大利润为 1 125 元．
y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4，且 x∈N)， 令 y1－y2＝0，得 x＝34. 所以，当购买 34 个茶杯时，两种办法付款相同； 当 4≤x<34 时，y1<y2，即优惠办法①更省钱； 当 x>34 时，y1>y2，优惠办法②更省钱． 【答案】 (1)D (2)见解析
方法归纳
(1)一次函数模型的实际应用： 一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一 原则． (2)一次函数的最值求解： 一次函数求最值，常转化为求解不等式 ax＋b≥0(或≤0)，解答 时，注意系数 a 的正负，也可以结合函数图像或其单调性来求最值．
最新课程标准： 1.会利用所学知识，解决一次函数型、二次函数型及分段函数 型的实际问题. 2.掌握求解函数应用题的基本步骤，培养学生的数学应用意识.
知识点 函数模型
(1)一次函数模型 解析式：y_＝__k_x_＋__b_. (2)二次函数模型 ①一般式：_y_＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c___. ②顶点式：_y_＝__a_(x_－__h_)_2_＋__k___，其中顶点坐标为__(_h_，__k_)__． (3)分段函数模型 有些实际问题，在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同，
解析：(1)设利润为 L(x)，成本为 C(x)．当 x≤5 时，产品能全 部售出；当 x>5 时，只能售出 500 台，故利润函数为 L(x)＝R(x)－ C(x)
＝55x×－5x－225－22－0.50＋.50＋.205.x25，x0，≤xx>≤5，5，
＝4.75x－x22－0.5，0≤x≤5， 12－0.25x，x>5.
(2)由二次函数知当 x＝1300时，y 最小， 因此当核电站建在距离 A 城1030 km 时，供电费用最小．
题型三 分段函数模型的应用[经典例题] 例 3 WAP 手机上网每月使用量在 500 min 以下(包括 500 min)，按 30 元计费；超过 500 min 的部分按 0.15 元/min 计费．假 如上网时间过短(小于 60 min)使用量在 1 min 以下不计费，在 1 min 以上(包括 1 min)按 0.5 元/min 计费．计费时间均取整数，不足 1 min 的按 1 min 计算．WAP 手机上网不收通话费和漫游费． (1)写出上网时间 x min 与所付费用 y 元之间的函数关系式． (2)12 月份小王 WAP 上网使用量为 20 h，要付多少钱？ (3)小王 10 月份付了 90 元的 WAP 上网费，那么他上网的时间 是多少？
(2)求该批发商平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元/箱) 之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利 润是多少？
【解析】 (1)根据题意，得 y＝90－3(x－50)， 化简，得 y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)． (2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量× 每箱销售利润．
[基础自测]
1．一个等腰三角形的周长是 20，则底边长 y 是关于腰长 x 的 函数，其解析式为( )
A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x<10) C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5<x<10)
答案：D
2．将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个售出时，能卖出 400 个，已知该商品每个涨价 1 元时，其销售量就会减少 20 个，为了 获得最大的利润，其售价应定为( )
(2)当 0≤x≤5 时，L(x)＝4.75x－x22－0.5， 当 x＝4.75 时，L(x)max＝10.781 25(万元)； 当 x>5 时，L(x)<12－1.25＝10.75(万元)． ∴生产 475 台时利润最大．
0≤x≤5， (3)由4.75x－x22－0.5≥0
或x1>25－，0.25x≥0，
答案：D
4．某游乐场每天的盈利额 y(单位：元)与售出的门票数 x(单位： 张)之间的函数关系如图所示，试分析图像，要使该游乐场每天的盈 利额超过 1 000 元，那么每天至少应售出________张门票．
解析：由题图知，盈利额每天要超过 1 000 元时，x∈(200,300]
这一区间，设 y＝kx＋b(k≠0)，将(200,500)，(300,2 000)代入得
得 5≥x≥4.75－ 21.562 5≈0.11 或 5<x≤48， ∴产品年产量在 11 台到 4 800 台时，工厂不亏本．
状元随笔
本题考查分段函数问题，生产不超过 500 台时，产量等于销售 量；产量超过 500 台时，销售量为一个常数 500 台．
跟踪训练 2 有 A，B 两城相距 100 km，在 A，B 两城之间距 A 城 x km 的 D 地建一核电站给这两城供电．为保证城市安全，核电 站与城市距离不得少于 10 km.已知供电费用与供电距离的平方和 供电量之积成正比，比例系数 λ＝0.25.若 A 城供电量为 20 亿度/月， B 城供电量为 10 价为每个 20 元，茶杯每个 5 元，该商店推出两种优惠办法：
①买一个茶壶赠一个茶杯；②按总价的 92%付款． 某顾客需要购买茶壶 4 个，茶杯若干个(不少于 4 个)，若购买 茶杯 x(个)，付款 y(元)，分别建立两种优惠办法中 y 与 x 之间的函 数解析式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更优 惠？
状元随笔
本题中平均每天的销售量 y(箱)与销售单价 x(元/箱)是一个一次 函数关系，虽然 x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模 型的应用问题；平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元/箱)是一 个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题.
方法归纳
二次函数的实际应用 (1)在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式 法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际 问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解 答． (2)对于本题要清楚平均每天的销售利润＝平均每天的销售量 ×每箱销售利润．
解析：设每个商品涨价 x 元，利润为 y 元，则销售量为(400－ 20x)个，根据题意，有 y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4 000 ＝－20(x－5)2＋4 500.所以当 x＝5 时，y 取得最大值，且为 4 500， 即当每个涨价 5 元，也就是售价为 95 元/个时，可以获得最大利润 为 4 500 元．
30＋0.15[x]－500，x>500.
(2)当 x＝20×60＝1 200(min)时，x>500，应付 y＝30＋0.15×(1 200－500)＝135(元)．
(3)90 元已超过 30 元，所以上网时间超过 500 min，由解析式 可得上网时间为 900 min.
方法归纳
分段函数的实际应用 (1)在刻画实际问题中，变量之间的关系因自变量 x 取值范围的 不同，对应的函数关系不能用同一个解析式表示时，常用分段函数 建立函数模型解决问题． (2)分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的 函数．求解分段函数的最值问题时应注意：分段函数的最大值是各 段函数最大值中较大的一个，分解函数的最小值是各段函数最小值 中较小的一个．
此时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它，由于分段函数在不
同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实
际问题中，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．
状元随笔
(1)在函数建模中，通常需要先画出函数图像，根据图像来确定 两个变量的关系，选择函数类型．
(2)函数模型在实际应用中，函数的自变量 x 往往具有实际意 义，如 x 表示长度时，x≥0；x 表示件数时，x≥0，且 x∈Z 等．在 解答时，必须要考虑这些实际意义．
(1)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数，并求定义域； (2)核电站建在距 A 城多远时，才能使供电费用最小？
解析：(1)由题意：y＝0.25[20x2＋10(100－x)2]＝7.5x－13002＋ 50 000
3. ∵x≥10，且 100－x≥10， ∴10≤x≤90. ∴函数的定义域为[10,90]．
【解析】 (1)因利润 z＝12x－(6x＋30 000)，所以 z＝6x－30 000，由 z≥0 解得 x≥5 000，故至少日生产文具盒 5 000 套．
(2)由优惠办法①可得函数解析式为 y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋ 60(x≥4，且 x∈N)．
由优惠办法②可得 y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4， 且 x∈N)．
【解析】 由于上网时间不同，收费标准不同，因此对所付费 用作分段讨论，以确定付费标准，建立函数关系式，解决付费与上 网时间的问题．
(1)设上网时间为 x min，用[x]表示不小于 x 的最小整数，由已 知条件知所付费用 y 关于 x 的函数关系式为
0，0<x<1， y＝03.05，[x6]，0≤1≤x≤x<56000，，
答案：D
3．某生产厂家的生产总成本 y(万元)与产量 x(件)之间的关系式 为 y＝x2－80x，若每件产品的售价为 25 万元，则该厂获得最大利 润时，生产的产品件数为( )
A．52 B．52.5 C．53 D．52 或 53
解析：因为利润＝收入－成本，当产量为 x 件时(x∈N)，利润 f(x)＝25x－(x2－80x)，所以 f(x)＝105x－x2＝－x－12052＋10452，所 以 x＝52 或 x＝53 时，f(x)有最大值．
k＝15， b＝－2 500，
即 y＝15x－2 500.由 15x－2 500>1 000，得 x>7300，
故至少要售出 234 张门票，才能使游乐场每天的盈利额超过 1 000
元．
答案：234
题型一 一次函数模型的应用[经典例题] 例 1 (1)某厂日生产文具盒的总成本 y(元)与日产量 x(套)之间 的关系为 y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套 12 元，要使该厂不亏本， 至少日生产文具盒( ) A．2 000 套 B．3 000 套 C．4 000 套 D．5 000 套
跟踪训练 3 某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元，但每生产 100 台，需要加可变成本(即另增加投入)0.25 万元．市 场对此产品的年需求量为 500 台．销售的收入函数为
R(x)＝5x－x22(万元)(0≤x≤5)，其中 x 是产品售出的数量(单位： 百台)．
(1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？
跟踪训练 1 若一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm， 则燃烧剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图像表示为 图中的( )
解析：蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短，根据实际意义不可 能是 D 项，更不可能是 A、C 两项．故选 B 项．
答案：B
题型二 二次函数模型的应用[经典例题] 例 2 某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，假设每箱售 价不得低于 50 元且不得高于 55 元．市场调查发现，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天销售 90 箱，价格每提高 1 元，平均每天 少销售 3 箱． (1)求平均每天的销售量 y(箱)与销售单价 x(元/箱)之间的函数 关系式；
所以 w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55， x∈N)．
(3)因为 w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200， 所以当 x<60 时，w 随 x 的增大而增大． 又 50≤x≤55，x∈N，所以当 x＝55 时，w 有最大值，最大值 为 1 125. 所以当每箱苹果的售价为 55 元时，可以获得最大利润，且最 大利润为 1 125 元．
y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4，且 x∈N)， 令 y1－y2＝0，得 x＝34. 所以，当购买 34 个茶杯时，两种办法付款相同； 当 4≤x<34 时，y1<y2，即优惠办法①更省钱； 当 x>34 时，y1>y2，优惠办法②更省钱． 【答案】 (1)D (2)见解析
方法归纳
(1)一次函数模型的实际应用： 一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一 原则． (2)一次函数的最值求解： 一次函数求最值，常转化为求解不等式 ax＋b≥0(或≤0)，解答 时，注意系数 a 的正负，也可以结合函数图像或其单调性来求最值．
最新课程标准： 1.会利用所学知识，解决一次函数型、二次函数型及分段函数 型的实际问题. 2.掌握求解函数应用题的基本步骤，培养学生的数学应用意识.
知识点 函数模型
(1)一次函数模型 解析式：y_＝__k_x_＋__b_. (2)二次函数模型 ①一般式：_y_＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c___. ②顶点式：_y_＝__a_(x_－__h_)_2_＋__k___，其中顶点坐标为__(_h_，__k_)__． (3)分段函数模型 有些实际问题，在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同，
解析：(1)设利润为 L(x)，成本为 C(x)．当 x≤5 时，产品能全 部售出；当 x>5 时，只能售出 500 台，故利润函数为 L(x)＝R(x)－ C(x)
＝55x×－5x－225－22－0.50＋.50＋.205.x25，x0，≤xx>≤5，5，
＝4.75x－x22－0.5，0≤x≤5， 12－0.25x，x>5.
(2)由二次函数知当 x＝1300时，y 最小， 因此当核电站建在距离 A 城1030 km 时，供电费用最小．
题型三 分段函数模型的应用[经典例题] 例 3 WAP 手机上网每月使用量在 500 min 以下(包括 500 min)，按 30 元计费；超过 500 min 的部分按 0.15 元/min 计费．假 如上网时间过短(小于 60 min)使用量在 1 min 以下不计费，在 1 min 以上(包括 1 min)按 0.5 元/min 计费．计费时间均取整数，不足 1 min 的按 1 min 计算．WAP 手机上网不收通话费和漫游费． (1)写出上网时间 x min 与所付费用 y 元之间的函数关系式． (2)12 月份小王 WAP 上网使用量为 20 h，要付多少钱？ (3)小王 10 月份付了 90 元的 WAP 上网费，那么他上网的时间 是多少？
(2)求该批发商平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元/箱) 之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利 润是多少？
【解析】 (1)根据题意，得 y＝90－3(x－50)， 化简，得 y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)． (2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量× 每箱销售利润．
[基础自测]
1．一个等腰三角形的周长是 20，则底边长 y 是关于腰长 x 的 函数，其解析式为( )
A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x<10) C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5<x<10)
答案：D
2．将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个售出时，能卖出 400 个，已知该商品每个涨价 1 元时，其销售量就会减少 20 个，为了 获得最大的利润，其售价应定为( )
(2)当 0≤x≤5 时，L(x)＝4.75x－x22－0.5， 当 x＝4.75 时，L(x)max＝10.781 25(万元)； 当 x>5 时，L(x)<12－1.25＝10.75(万元)． ∴生产 475 台时利润最大．
0≤x≤5， (3)由4.75x－x22－0.5≥0
或x1>25－，0.25x≥0，
答案：D
4．某游乐场每天的盈利额 y(单位：元)与售出的门票数 x(单位： 张)之间的函数关系如图所示，试分析图像，要使该游乐场每天的盈 利额超过 1 000 元，那么每天至少应售出________张门票．
解析：由题图知，盈利额每天要超过 1 000 元时，x∈(200,300]
这一区间，设 y＝kx＋b(k≠0)，将(200,500)，(300,2 000)代入得
得 5≥x≥4.75－ 21.562 5≈0.11 或 5<x≤48， ∴产品年产量在 11 台到 4 800 台时，工厂不亏本．
状元随笔
本题考查分段函数问题，生产不超过 500 台时，产量等于销售 量；产量超过 500 台时，销售量为一个常数 500 台．
跟踪训练 2 有 A，B 两城相距 100 km，在 A，B 两城之间距 A 城 x km 的 D 地建一核电站给这两城供电．为保证城市安全，核电 站与城市距离不得少于 10 km.已知供电费用与供电距离的平方和 供电量之积成正比，比例系数 λ＝0.25.若 A 城供电量为 20 亿度/月， B 城供电量为 10 价为每个 20 元，茶杯每个 5 元，该商店推出两种优惠办法：
①买一个茶壶赠一个茶杯；②按总价的 92%付款． 某顾客需要购买茶壶 4 个，茶杯若干个(不少于 4 个)，若购买 茶杯 x(个)，付款 y(元)，分别建立两种优惠办法中 y 与 x 之间的函 数解析式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更优 惠？
状元随笔
本题中平均每天的销售量 y(箱)与销售单价 x(元/箱)是一个一次 函数关系，虽然 x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模 型的应用问题；平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元/箱)是一 个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题.
方法归纳
二次函数的实际应用 (1)在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式 法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际 问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解 答． (2)对于本题要清楚平均每天的销售利润＝平均每天的销售量 ×每箱销售利润．