第6节 几何概型-导学案

【知识梳理】
1.几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的___________(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为___________.
2.几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有___________；
(2)等可能性：每个结果的发生具有___________.
3.几何概型的概率公式
P(A)＝________________________________
【基础巩固】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()
(2)从区间[1，10]内任取一个数，取到1的概率是1
10.()
(3)概率为0的事件一定是不可能事件.()
(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()
2.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗
玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要
想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()
3.如图，正方形的边长为2，向正方形ABCD内随机
投掷200个点，有30个点落入图形M中，则图形
M的面积的估计值为____________.
4.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()
A.7
10 B.5
8 C.
3
8 D.
3
10
5.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为() A.
1
8 B.
1
6 C.
1
27 D.
3
8
6.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，
此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()
A.p1＝p2
B.p1＝p3
C.p2＝p3
D.p1＝p2＋p3
7.在区间[－1，4]内任取一个实数a，使得关于x的方程x2＋2＝a有实数根的概率为() A.
2
3 B.
2
5 C.
3
5 D.
3
4
8.如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE
︵
，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________.
9.某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是() A.
1
3 B.
1
2 C.
2
3 D.
3
4
10.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在
π
6角的终边上，
任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________.
11.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，
若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是()
A.
1
4 B.
1
8 C.
3
8 D.
3
16
12.若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，则张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是()
A.
2
9 B.
1
3 C.
2
3 D.
7
9
【考点聚焦突破】
1.关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧x ≤4，
y ≥2，x －y ＋2≥0
所表示的平面区域记为M ，不等式(x －4)2＋(y －3)2≤1
所表示的平面区域记为N ，若在M 内随机取一点，则该点取自N 的概率为( ) A.π16
B.π8
C.14
D.12
2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是( ) A.14
B.π8
C.12
D.π4
3.在满足不等式组⎩⎨⎧
x －y ＋1≥0，
x ＋y －3≤0，y ≥0
的平面内随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0＜2x 0”，
那么事件A 发生的概率是( ) A.14
B.34
C.13
D.23
4.在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是________.
5.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ， 则使四棱锥M －ABCD 的体积小于1
6
的概率为________.
6.已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC ＜1
2V S －ABC 的概率是( ) A.78 B.34
C.1
2 D.14
7.中国人民银行发行了2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一 枚3克圆形金质纪念币，直径为18 mm ，小米同学为了测算图中装饰狗的面 积，他用1枚针向纪念币上投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的 身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是( )
A.486π5
mm 2
B.
243π10 mm 2 C.243π5 mm 2 D.243π
20
mm 2 8.已知以原点O 为圆心，1为半径的圆以及函数y ＝x 3的图象如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点)，该小米落入阴影部分的概率为( )
A.1
2
B.14
C.16
D.1
8
9.在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12
⎝ ⎛⎭⎪
⎫x ＋
12≤1”发生的概率为( )
A.34
B.23
C.13
D.14
10.如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为( )
A.π8
B.π16
C.1－π8
D.1－
π16
11.有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.13
B.23
C.34
D.14
12. “割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，作为求圆周率的一种方法.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了3 072边形，并由此而求得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似值.我国南北朝时期的数学家祖冲之继承并发展了刘徽的“割圆术”，求得π的范围为(3.141 592 6，3.141 592 7).如果按π＝3.142
计算，那么当分割到圆内接正六边形时，如图，向圆内随机投掷一点， 那么落在图中阴影部分的概率为(3≈1.732，精确到小数点后两位)( )
A.0.16
B.0.17
C.0.18
D.0.19
【巩固强化】
1.若函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，0≤x <1，
ln x ＋e ，1≤x ≤e 在区间[0，e]上随机取一个实数x ，则f (x )的值不小于常
数e 的概率是( ) A.1e B.1－1e
C.e 1＋e
D.11＋e
2.从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n
m
B.2n m
C.4m n
D.2m n
3.在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________.
4.记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________.
5.由不等式组⎩⎨⎧x ≤0，
y ≥0，y －x －2≤0
确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤1，
x ＋y ≥－2
确定的平面区
域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________.
6.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________.
7.设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R)，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12
π B.12＋1π
C.12－1π
D.14－12π
8.已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，
现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，
则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) A.14
B.13
C.23
D.12
9.在平面区域⎩⎨⎧x ＋y －4≤0，
x >0，y >0
内随机取一点(a ，b )，则函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋
∞)上是增函数的概率为________.
10.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为________.
11.如图,一铜钱的直径为32毫米,穿径(即铜钱内的正方形小孔边长)为8毫 米,现向该铜钱内随机地投入一粒米(米的大小忽略不计),则该粒米未落在 铜钱的正方形小孔内的概率为( ) A.
14π B.114π- C. 12π D.116π
- 12.设点(a ,b )为不等式组 表示的平面区域内任意一点,则函数f (x )=ax 2-2bx+3在区间 上是增函数的概率为( ) A.
13 B. 23 C. 12 D. 14
13.在面积为S 的正方形ABCD 内任意投一点M ,则点M 到四边的距离均大于 的概率为 A.
25 B. 35 C. 125 D. 425
14.某日,甲、乙两人随机选择早上6:00至7:00的某个时刻到达七星公园进行锻炼,则甲比乙提前到达超过20分钟的概率为( )
A.
79 B. 29 C. 23 D. 13。