高考递推数列求通项题型分类归纳解析 好

高考递推数列求通项题型分类归纳解析
类型1 )(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1:已知数列{}n a 满足211=
a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。

解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=
-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a
)111()4131()3121()211(n n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-= 所以n
a a n 111-=- 211=a ，n
n a n 1231121-=-+=∴ 类型2 n n a n f a )(1=+
解法：把原递推公式转化为
)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例2:已知数列{}n a 满足321=
a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。

解：由条件知1
1+=+n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即1342312-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a n
n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒ 又321=
a ，n
a n 32=∴ 例3:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。

解：12
3132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-∙+⨯-⨯∙⋅⋅⋅∙+---∙+---=
3437526331348531n n n n n --=
⋅⋅⋅⋅=---。

变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，
则{a n }的通项1
___
n a ⎧=⎨⎩ 12n n =≥ 解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+⋅⋅⋅+++=-+13211)1(32，用此式减去已知式，得
当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+，又112==a a ，
n a a a a a a a a a n n =⋅⋅⋅====∴-13423121,,4,3,1,1，将以上n 个式子相乘，得2
!n a n =)2(≥n 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=
1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例4:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23
311=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .
变式:（2006，重庆,文,14）
在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________
（key:321-=+n n a ）
类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（或1n n n a pa rq +=+,
其中p ，q, r 均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p q
a n n n n 111+∙=++引入辅助数列{}n
b （其中n n n q a b =），得：q
b q p b n n 11+=+再待定系数法解决。

例5:已知数列{}n a 中，651=
a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(3
2211+∙=∙++n n n n a a
令n n n a b ∙=2，则1321+=
+n n b b ,解之得：n n b )3
2(23-= 所以n n n n n b a )31(2)21(32-== 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

解 (特征根法)：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。

若21,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的
通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入
1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ，
其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、
B 的方程组）。

例6: 数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,,求n a
解（特征根法）：的特征方程是：02532=+-x x 。

3
2,121==x x , ∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3
2(-⋅+=n B A 。

又由b a a a ==21,，于是 ⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 练习:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3
13212+=++，求n a 。

1731:()443
n n key a -=--。

变式:（2006，福建,文,22）
已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈求数列{}n a 的通项公式；
（I ）解： 112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+
12*22 (21)
21().n n n n N --=++++=-∈
类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。

(或()n n S f a =)
解法：利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n
n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。

例7：数列{}n a 前n 项和2214--
-=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a . 解：（1）由221
4---=n n n a S 得：11121
4-++--=n n n a S 于是)2121(
)(1211--++-+-=-n n n n n n a a S S 所以11121-+++-=n n n n a a a n n n a a 21211+=⇒+. （2）应用类型4（n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ））的方法，上式两边
同乘以12+n 得：22211+=++n n n n a a 由12
14121111=⇒--==-a a S a .于是数列{}n n a 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n n a n n 2)1(222=-+=12
-=⇒n n n a 类型7 r n n pa a =+1)0,0(>>n a p
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。

例8：已知数列｛n a ｝中，2111,1n n a a
a a ⋅=
=+)0(>a ，求数列{}.的通项公式n a 解：由211n n a a a ⋅=+两边取对数得a
a a n n 1lg lg 2lg 1+=+， 令n n a
b lg =，则a b b n n 1lg 21+=+，再利用待定系数法解得：12)1(-=n n a a a 。

类型8 )
()()(1n h a n g a n f a n n n +=+ 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。

例9：已知数列｛a n ｝满足：1,1
3111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。

解：取倒数：1
1113131---+=+⋅=n n n n a a a a ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∴n a 1是等差数列，3)1(111⋅-+=n a a n 3)1(1⋅-+=n 231-=⇒n a n 变式:（2006，江西,理,22）
已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32
，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－ 求数列｛a n ｝的通项公式；
解：（1）将条件变为：1－n n a ＝n 11n 113a －－（－），因此｛1－n
n a ｝为一个等比数列，其首项为1－11a ＝13，公比13
，从而1－n n a ＝n 13，据此得a n ＝n n n 331∙－（n ≥1） 类型9周期型
解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

例10：若数列{}n a 满足⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<≤-≤≤=+)121(,12)210(,21n n n n n a a a a a ，若761=a ，则20a 的值为___________。

变式:（2005，湖南,文，5）
已知数列}{n a 满足)(133
,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a = （ ）
A ．0
B ．3-
C ．3
D ．23。