电磁学_08_真空中的稳恒磁场

第八讲 真空中的稳恒磁场
运动的电荷在空间不但激发电场，还激发磁场。

从运动电荷在磁场中受力的角度出发，引入磁感应强度来描述稳恒磁场的性质。

从场的观点建立磁场的高斯定理和环路定理，进一步认识和理解稳恒磁场的性质。

01 电流的磁效应
运动的电荷之间除了有电场力外，还有一种相互作用力 —— 磁力。

20世纪初，随着近代物理的建立和发展，认识到磁场也是物质存在的一种形式。

磁力是运动电荷之间的一种作用力，磁场现象起源于电荷的运动，磁场和电场之间有着内在的联系。

1 两个电流元的作用
1820年4月丹麦物理学家奥斯特发现电流的磁效应，1820年9月到12月，法国物理学家安培对电流的磁效应做了进一步的研究，提出电流元的概念，总结出两个电流元之间相互作用的磁力公式。

如图XCH003_134和XCH003_134_01所示两个电流元： 电流元1：11I dl 和电流元2：22I dl
电流元1对电流元2的作用力：
111
21222
ˆ()I dl r dF I dl k r ⨯=⨯ —— 方向垂直于22I dl
电流元2对电流元1的作用力：
22212112
ˆ()I dl r
dF I dl k r ⨯=⨯
—— 方向垂直于11I dl
两个电流元之间的相互作用力不服从牛顿第三定律 —— 不存在孤立的电流元 电流在磁场中受到的磁力 —— 安培力
2 两个运动点电荷间的作用
荷兰物理学家洛仑兹总结出两个运动点电荷相互作用的磁力公式，如图XCH003_139所示。

运动点电荷1：11q
v
运动点电荷2：22q
v
运动点电荷1对运动点电荷2的作用力：
111
21222
ˆ()q r F q k r
⨯=⨯ v v —— 方向垂直于22q v 运动点电荷2对运动点电荷1的作用力：
22212112
ˆ()q r F q k r
⨯=⨯ v v —— 方向垂直于11q
v 两个运动点电荷之间的相互作用力不服从牛顿第三定律：1221F F ≠
02 磁感应强度
运动的电荷 —— 在空间激发电场，同时激发磁场 磁力通过磁场传递的：moving charge Megnetic field moving charge
从运动电荷受到磁力的角度引入描述磁场性质的物理量 —— 磁感应强度B
在惯性系Oxyz 中运动的电荷q 在空间同时激发电场和磁场。

实验表明运动电荷0q 受到的力可以表示为：
0m F q E F =+
—— 如图XCH003_095所示
0e F q E =
—— 电场力，与电荷0q 的运动状态无关 0m F F q E =-
—— 磁力，与电荷0q 的电量和运动状态有关
设带电量为正0q ，速度为
v 的运动试探电荷处于电流I 产生的磁场中，实验表明：
1 磁场中的P 点处存在着一个特定的方向，且是唯一的。

电荷沿此方向或相反方向运动时，受到的磁力为零，与电荷本身性质和运动状态无关，如图XCH003_096_01所示。

2 P 点处，电荷沿与上述特定方向垂直方向运动时受到的磁力最大—— 如图XCH003_096_02
3 当运动试探电荷以同一速率v 沿不同方向通过P 点时，电荷所受磁力的大小不同，但磁力的方向却总是与电荷运动方向垂直，如图XCH003_096所示。

磁感应强度的定义：
(max)0m F B q =
v
—— 方向为运动电荷受到磁力为零的方向
磁感应强度只和电流I 有关，与运动试探电荷0q 无关，因此将电流I 称作产生磁场的源。

运动电荷在磁场中受到磁力：0m F q B =⨯
v
运动电荷在电场和磁场中受到的洛伦兹力：00F q E q B =+⨯
v 03 磁场叠加原理
产生磁场的运动电荷或电流元 —— 磁场源
实验表明多个磁场源同时存在时，空间一点的磁感应强度服从叠加原理：
i i
B B =∑
—— 磁场叠加原理
04 毕奥－萨伐尔定律
1 稳恒电流激发的磁场
1820年10月30日法国物理学家J.B.Biot 与F.Savart 发表了长直导线通有电流时产生磁场的实验。

拉普拉斯给出电流元产生磁场的公式，如图XCH003_135所示.
电流元Idl
在空间一点产生的磁感应强度的大小： 02
sin 4Idl dB r
μθ
π=
—— 方向垂直于Idl 和r 构成的平面，满足右手螺旋法则 毕奥－萨伐尔定律的矢量式：
02
ˆ4Idl r
dB r
μπ⨯=
真空磁导率：7202
01
410/N A c
μπε-=
=⨯ 一段电流在空间一点产生的磁感应强度：
02ˆ4Idl r B dB r μπ
⨯==
⎰⎰
从毕奥-萨伐尔定律可以看出电流元的磁感线具有闭合的性质，如图XCH003_120所示。

在电流元的磁场中，通过任意闭合曲面的磁通量为零。

一段通电导线由许多电流元构成，在通电导线产生的磁场中，通过任意闭合曲面的电通量为零。

穿过闭合曲面的磁通量恒为零：
0S
B dS ⋅≡⎰
—— 磁场是无源场
2 运动电荷的磁场
如图XCH003_140所示，载流导线上的电流元在P 点的磁感应强度：
02
ˆ4Idl r
dB r μπ⨯=
导线的电流强度：I jS = —— I nq S =v
()()Idl nq S dl nSdl q == v v
电流元中的载流子数目：()dN n Sdl =
()Idl dN q =
v —— 代入02
ˆ4Idl r dB r μπ⨯=
得到： 02
ˆ4q r
dB dN r
μπ⨯= v 每个载流子在P 点产生的磁感应强度：02
ˆ4dB q r B dN r μπ⨯== v 如图XCH003_125所示，匀速运动的点电荷q 在空间激发的磁场：
02
sin 4q B r
μθ
π=
v 在0
θθπ=⎧⎨
=⎩
的位置 —— 0B = 在2
π
θ=
的位置 —— 02
4q B r μπ=
v
运动点电荷的电场和磁场关系
运动点电荷q 在空间一点P 产生的电场：2
01
ˆ4q E r r
πε=
运动点电荷q 在空间一点P 产生的磁场：02
ˆ4q r
B r μπ⨯= v
00B E με=⨯ v
应用关系02
01
c με=得到：21B E c =⨯ v
磁场来源于运动电荷产生的电场，根据狭义相对论可以严格得到这一结论。

05毕奥－萨伐尔定律的应用
1 根据电流分布选取合适的坐标
2 在电流上选取电流元，写出电流元在场点的磁感应强度表达式
3 统一积分变量，分别实施磁感应强度在坐标轴上的积分，最后得到B
求长度为L 、通有电流I 的直导线在距离导线为r 处一点P 的磁感应强度。

建立如图XCH003_121所示的坐标。

距离O 点l 处的电流元Idl
在P 产生的磁感应强度：
02
ˆ4Idl r
dB r μπ'⨯='
—— 方向垂直于纸面向里 02
sin 4Idl dB r μθ
π=' —— 2sin cot sin r r l r r dl d θθθ
θ⎧'=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩
0sin 4I dB d r
μθ
θπ=
载流导线在P 产生的磁感应强度大小：2
1
0sin 4I B dB d r θ
θ
μθθπ==
⎰⎰ 012(cos cos )4I
B r
μθθπ=
- “无限长” 载流导线：120θθπ
=⎧⎨
=⎩：02I
B r μπ= —— 电流方向与磁感应强度方向满足右手螺旋关系，
如图XCH003_121_02所示
“无限长” 载流导线的端点11220
2
2
or
πθθπθθπ
=⎧
⎧=
⎪⎪
⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩：04I B r μπ=
载流圆线圈通有电流I ，半径R ，计算在轴线一点P 的磁感应强度。

如图XCH006_122_01所示。

建立如图XCH006_122_01所示的坐标
圆线圈上电流元Idl 在P 点的磁感应强度大小：02
4Idl dB r μπ= —— 方向垂直Idl 和r 构成的平面
//dB dB dB ⊥=+
P 点的磁感应强度：//B dB dB dB ⊥==+⎰⎰⎰
根据电流分布的对称性可知，环形电流在垂直于轴线方向的磁场为零：0dB ⊥=⎰
P 点磁感应强度：//B dB =⎰
—— 方向沿x 轴的正方向
0//2sin 4Idl dB r μθπ= —— 22222sin r x R R x R θ⎧=+⎪⎨=⎪+⎩
载流圆线圈在P 点产生的磁感应强度：2200
2
223/20
0sin 44()R
R Idl RIdl B r x R ππμμθππ=
=+⎰
⎰ 2
223/2
2()
IR B x R μ=+ 线圈的磁矩：2()m p I R n π=
03
2m
p B r
μπ= ：磁感应强度方向与线圈磁矩的方向一致 1) 0x =，02I
B R
μ=
—— 环心处的磁感应强度
2) x R >>，r x ≈，03
2m
p B x μπ=
长度为b 的细杆均匀带电q ，绕距离一端为a 的O 点以角速度ω在竖直面内转动，计算带电细杆在O 点产生的磁感应强度。

如图XCH003_136_01所示。

用圆电流模型法, 如图XCH003_136_02所示。

距离圆心O 点x 处的电荷元dq dx λ=绕O 点转过一周形成的圆电流：dq dI T
=
带电细棒转动的周期：2T π
ω
=
—— 2dI dx ωλπ
=
该圆电流在O 点的磁感应强度大小：02dI
dB x
μ=
−−
→ 0
4dB dx x
μωλπ= —— 方向垂直向外 细杆在O 点产生的磁感应强度大小：04a b
a
B dx x
μλω
π+=
⎰
0ln 4a b B a
μλωπ+=
—— 方向垂直向外 长直导线通有电流I ，将其弯成如图XCH003_238所示的形状，求图中O 点处的磁感应强度。

O 点处的磁感应强度由图中3段电流激发磁场的叠加而成 第一段导线1在圆心处的磁场：
001(cos0cos )424I I
B R R
μπμππ=
-= —— 方向垂直于纸面向里
第二段导线2(
1
4
圆弧)在圆心处的磁场： 002/21(
)2242I I
B R R
πμμπ==⋅ —— 方向垂直于纸面向里 第三段导线3在圆心处的磁感应强度：30B =
123B B B B =++ −−
→ 0048I I
B R R
μμπ=+ 无限长直导线折成V 型，顶角为θ，置于Oxy 平面内，且一个角边与x 轴重合，如图XCH003_137_01所示。

当导线中有电流I 时，计算y 轴上P 点的磁感应强度。

P 点磁感应强度为导线1和导线2共同产生的，如图XCH003_137_02所示。

导线1在P 磁感应强度大小：
0112(cos cos )4I
B a
μθθπ=
- 将120,2
π
θθ==
代入得到：014I
B a
μπ=
—— 方向沿着Z 轴的负方向 导线2在P 磁感应强度大小：
0212(cos cos )4I
B b
μθθπ=
- 应用几何关系：12cos sin cos b a θθθπθ=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
02(sin 1)4cos I
B a μθπθ
=
+ —— 方向沿着z 轴的正方向
P 点磁感应强度大小：21B B B =-
0(1sin cos )
4cos I B a μθθπθ
+-=
—— 方向沿着z 轴的正方向
如图XCH003_138_01所示，AA '和CC '为两个正交放置的圆形线圈，其圆心重合。

AA '线圈的
半径120.0r cm =，匝数110n =，通有电流110.0I A =；
CC '线圈的半径210.0r cm =，匝数220n =，通有电流2 5.0I A =。

计算两个线圈公共中心O 点的磁感应强度的大小和方向。

线圈AA '在O 点产生磁感应强度大小：
011
11
2n I B r μ=
—— 方向垂直于AA '平面
线圈CC '在O 点产生磁感应强度大小：
022
22
2n I B r μ=
—— 方向垂直于CC '平面
将给出的条件代入得到：
10
20
250500B B μμ==⎧⎨
⎩ 圆心O 点磁感应强度大小：
22
4127.0210B B B T -=+=⨯
磁感应强度的方向和CC '平面的夹角：
1
21
tan B B θ-= —— 0
63.4θ=
均匀密绕的直螺线管的长度为L ，半径为R ，单位长度的匝数为n ，通有电流I 。

计算在轴线一点P 的磁感应强度。

如图XCH006_123_02所示，在直螺线管上选取电流元nIdl ，该电流元在P 点产生的磁感应强度大小：
20
223/22()R nIdl dB l R μ=+ ——如图XCH006_123_03所示 由几何关系：2222cot 1sin ()sin l R dl R d R l R θθθθ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪+=⎪⎩
−−→ 0sin 2dB nI d μθθ=- P 点的磁感应强度大小：210sin 2B nI d θθμθθ=-
⎰ 0
21(cos cos )2B nI μθθ=-
讨论
1) 如果为“无限长”直螺线管：
120
θπθ=⎧⎨=⎩ —— 0B nI μ= 2) 在半“无限长”直螺线管的两个端点：
1212,02,2πθθπ
θπθ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩ —— 012
B nI μ=。