南京林业大学高等数学2004真题

x
1
x 0
x
四、 （本题满分 12 分）设 f ( x) 在 [0,) 上连续，满足 0 f ( x) x , x [0,) ，设
a1 0 ， a n 1 f (a n ) , n 1,2, ，证明：（1） a n 为收敛数列；（2）设
lim a n t ，则有 f (t ) t ；（3）若将条件改为 0 f ( x) x , x (0,) ，则有
n
t 0。
x0 sin 2 x ，求 f ( x) 的原函数 F ( x) 。 ln(1 2 x) x2 0 2 x y 六、 （本题满分 10 分）等腰三角形外切于椭圆 2 2 1 ( a b 0) ，且此三角形的 a b
十、 （本题满分 10 分）设 f (t ) dt g ( x) , 0
x

x
0
tf (t )dt h( x) ，其中 g ( x), h( x) 为已知函第 2 页 Nhomakorabea 3 页
南京林业大学研究生入学考试试题
数， f ( x) 为连续函数，试解方程
十一、 （本题满分 10 分）函数 f ( x) 在 0, 上连续，且
0 | x | 1 1 | x | 1
2
（A）没有渐近线 （C）仅有铅直渐近线
2 3
（B）仅有水平渐近线 （D）既有水平渐近线又有铅直渐近线 （ （D） ） 。 ） 。 3
3．函数 f ( x) ( x x 2) | x x | 的不可导点的个数为 （A） 0 （B） 1 （C） 2
1 2 x0 x sin 4． 设 f ( x) 在 x=0 可导，则 a、b 满足 （ x ax b x 0 （A） a 0, b 0 （B） a 1, b 1
（C） a 为任意常数， b 0 5．函数 F ( x) （C）
a 为任意常数， b 1
（ ） 。

x 2
x
e sin t sin tdt
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（A）恒为正
（B）恒为负
（C）恒为零 ）实根。 （C） 两个
（D）不确定
6． 方程 tan x x 在（-1，1）内有（ （A） 无 （B） 一个
（D）
无穷多个
） 。 e 的特解是 （ 2 x tan e e sin x （A） （B） e （C） （D） e 2 sin x tan x 2x t 8．若连续函数 f ( x) 满足关系式 f ( x) f dt ln 2 ，则 f ( x) 为（ ） 。 0 2
0?ln12xx2xy2六本题满分10分等腰三角形外切于椭圆221ab0且此三角形的ab五本题满分10分设fx?底边平行于椭圆的长半轴求此等腰三角形面积s最小时的高和底
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南 京 林 业 大 学
2004 年攻读硕士学位研究生入学考试 高 等 数 学 试题
一、 填空题：（共 6 小题，每小题 4 分，计 24 分）
7．方程 y sin x y ln y 满足初始条件 y （A） e ln 2 三、
x
（B） e
2x
ln 2
（C） e ln 2
x
（D） e
2x
ln 2
x x a1x a 2 an （本题满分 12 分）设 a1 , a 2 , , a n 为 n 个正数，且 f ( x) n ，求（1） lim f ( x) ， （2） lim f ( x) 。
3 八、 （本题满分 10 分）求曲线 r a sin

3
(a 0) 的全长。
九、 （本题满分 10 分）试确定出定义在 x 0 上的正实值函数 f ( x) ，使其对于每一正数
x ，函数 f ( x) 在闭区间 0, x 上的平均值等于 f (0) 与 f ( x) 的几何平均值。
二、 选择题（共 8 小题，每小题 4 分，计 32 分）
1．设 f ( x) （A） 0
1 0
2
| x | 1 | x | 1
1
，则 f f f ( x) （C）
（ （D） （ ）
） 。
（B）
2．曲线 y
1 ex 1 ex
1 | x | 1 0 | x | 1
五、 （本题满分 10 分）设 f ( x)
底边平行于椭圆的长半轴，求此等腰三角形面积 S 最小时的高和底。
七、 （本题满分 10 分）设函数 f ( x) 在 [0, a ] 上具有二阶导数， f ( x) M ，函数在
(0, a ) 内取得最大值，求证： f (0) f (a ) Ma 。
x [ x] _________ ，其中[x]为 x 的取整函数。 1． lim
x 3
2．当 x 0 时， e ln(1 x) 1 与 x 为同阶无穷小，则 n _____ 。
x
n
3．设
x f (t ) ，其中 f (t ) 二阶可导，且 f (t ) 0 ，则 y ______ 。 y tf (t ) f (t )
y ( x) f ( x) （要求答案中不含积分号） 。 y (0) y (0) 0


0
f ( x) sin xdx 0, f ( x) cos xdx 0 证明：在 (0, ) 内 f ( x) 至少有两个零点。
0

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m n (n)
4．设 f ( x) (1 x ) , m, n N ，则 f 5．
(1) _______ 。

1
1
x(1 x 2003 )(e x e x )dx __________ 。
x
6．方程 y 2 y 3 y e sin 2 x 的特解形式为 _____________________ 。