高中数学第1章立体几何初步1简单几何体1.1简单旋转体1.2简单多面体高一数学
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∵AA′为底面圆的周长， ∴AA′＝2π×1＝2π.又AB＝A′B′＝2， ∴AB′＝ A′B′2＋AA′2＝ 4＋2π2＝2 1＋π2， 即蚂蚁爬行的最短距离为2 1＋π2.
第三十七页，共五十五页。
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将例3中的圆柱体变为长方体如图所示，长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，求沿 着长方体的表面从A到C1的最短距离．
1.通过了解柱、锥、 台、球的结构特征培养 直观想象素养． 2．通过理解柱、锥、台 及球的相关概念提升数 学抽象素养.
第二页，共五十五页。
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自主预习 探新知
第三页，共五十五页。
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1．两个平面平行及直线与平面垂直的概念 (1)两个平面平行：称无公共(gōnggòng)的点 两个平面是平行的． (2)直线与平面垂直：直线与平面内的任意一条直线都 垂直 ，称 为直线与平面垂直． 2．简单的旋转体 (1)定义：一条 平面曲线 绕着它所在的平面内的一条定直线旋转 所形成的 曲面(q叫ūmià作n) 旋转面；封闭(fēng旋bì)的转面围成的几何体叫作旋转体．
底面 _的__多__边__形___
相交于一点，但不一定 _延__长__线__交_于__一__点____
相等
_形__，但不一定相等
三角形 多边形
梯__形__(tīxíng) _平__行__(p_ín_gx_íng_)且__边__数__相_等 _的__多__边_形____
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思考2：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体 是棱柱吗？
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1．圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定直线旋转 而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．
2．只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母 线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．
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1．下列说法正确的是________． ①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的 几何体是圆台； ②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三 角形，圆台的轴截面是等腰梯形； ③在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球．
提示：不是．如图所示的几何体有两个面互相 平行，其余各面都是平行四边形，但不是棱柱．
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1．下列几何体中是旋转体的是( )
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．
A．①⑤
B．①
C．③④
D．①④
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[答案] D
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台；
②棱柱的侧面一定是平行四边形；
③棱锥的侧面只能是三角形；
④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．
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②③④ [①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个 平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
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合作探究 提素养
第二十一页，共五十五页。
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旋转体的结构特征
【例1】 下列叙述中，正确的个数是( )
(1)以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆
锥；
(2)以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的几何体是圆台；
(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
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(2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征
名称 棱柱
棱锥
棱台
图形
棱柱AC′或棱柱
表示
ABCDE-
A′B′C′D′E′
棱锥S-AC 或棱锥
S-ABCDE
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棱台AC′或棱 台ABCD-
A′B′C′D′
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两个面 互相(hù ， xiāng)平行
用一个平行于棱
其余各面都是四边 有一个面是多边形，
第二十五页，共五十五页。
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② [①错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形 成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合 体，如图所示．
②正确． ③错．应为球面．]
第二十六页，共五十五页。
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多面体的结构特征
【例2】 下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱
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第十八页，共五十五页。
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D [直线与定直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故 A错误；半圆面以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B错误；矩形 绕对角线所在直线旋转，不能围成圆柱，故C错误，所以应选D.]
第十九页，共五十五页。
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4．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________． ①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；②所有的 棱长都相等；③棱柱中至少有2个面的形状完全相同；④相邻两个面 的交线叫作侧棱． ①③ [由棱柱的概念知①③正确．②④错误．
第四十页，共五十五页。
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1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．
第四十一页，共五十五页。
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2．棱柱、棱锥定义的关注点 (1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可： ①有两个平面(底面)互相平行； ②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行． (2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可： ①有一个面(底面)是多边形； ②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．
第一章 立体几何 初步 (lìtǐjǐhé)
§1 简单 几何体 (jiǎndān)
1．1 简单旋转体
1．2 简单多面体
第一页，共五十五页。
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学习目标
核心素养
1.了解柱、锥、台、球的结构特征，并能运用 这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2．掌握简单几何体的分类． 3．理解圆柱、圆锥、圆台及球的概念．(重 点、难点) 4．理解棱柱、棱锥、棱台等简单几何体的概 念．(重点、难点)
第三十八页，共五十五页。
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[解] 将长方体相邻两个面展开，比较三个展开图，
图①中AC1＝ 26，图②中AC1＝3 2，图③中AC1＝2 5， ∴从A到C1的最短距离为3 2.
第三十九页，共五十五页。
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在几何体的表面上求连接两点的曲线长的最短问题，常转化为 求其展开图中相应的线段长，即用“化曲为直”的方法转化为平面 问题来处理.
不垂直于旋转轴 的边旋 转，无论转到什么位置，都 叫作侧面的母线
第六页，共五十五页。
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思考1：(1)圆柱的母线有多少条？它们之间有什么关系？ (2)过旋转体的轴的截面叫作轴截面，那么圆锥的轴截面是什么 图形？ (3)圆台的两条母线所在的直线一定相交吗？ (4)球能否由圆面旋转而成？
第七页，共五十五页。
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提示：(1)圆柱的母线有无数条；它们之间相互平行． (2)等腰三角形． (3)一定．由于圆台可认为是由圆锥截得的，故两条母线所在的 直线一定相交． (4)能．圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周所形成的旋 转体即为球．
第八页，共五十五页。
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3．简单的多面体 (1)简单多面体的定义 把若干平个面(píngmiàn)多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、 、 棱锥(léngzhuī) 棱台(是léng简tái) 单多面体．
结构
锥底面的平面去
形，并且每相邻两个 其余各面是有一个(yī ɡè)
特征
截棱锥，底面与截
四边形的公共边都 公共顶点 的三角形
互相(hù xiāng)平行
面之间的部分
第十一页，共五十五页。
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侧棱 平行且相等
侧面 _平__行_四__边__形___ 平__行_(_pín_g_xín_g)_且__全_等__
第三十二页，共五十五页。
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空间几何体的表面展开与折叠 [探究问题] 1．如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？ 提示：①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．
第三十三页，共五十五页。
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2．若知道空间几何体表面上两点，如何求两点间最短的表面距 离？
提示：在几何体的表面上求两点间的最短表面距离问题，常转 化为求其展开图中相应的线段长，即用“化曲为直”的方法转化为 平面问题来处理．
(4)圆面绕它的任一直径所在直线旋转一周形成的几何体是球．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
第二十二页，共五十五页。
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B [(1)应以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转 才可得到圆锥，故(1)错；(2)以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线 为旋转轴旋转可得到圆台，故(2)错；(3)用平行于圆锥底面的平面去 截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面 不能得到，故(3)错；(4)正确．]
第三十五页，共五十五页。
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【例3】 如图所示，有一个底面半径为1，高为2的 圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆 柱表面一周且由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离 是多少？
[思路探究] 将圆柱体侧面展开，利用平面中两点之间线段最 短求解．
第三十六页，共五十五页。
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[解] 把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平 面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′ 即为蚂蚁爬行的最短距离．
第四页，共五十五页。
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(2)球、圆柱、圆锥、圆台的概念及比较：
名称
定义
图形表示
相关概念
以半圆直的径(zhíjì所ng) 在的 直线为旋转轴，将半
圆旋转所形成的曲面
球
叫作球面．球面 所围
成的几何体叫作球 体，简称球
球心：半圆的 圆心 ； 球的半径：连接球心和球面 上任意一点的 线段(x；iànduàn) 球的直径：连接球面上两点 并且过 球心(q的iúxī线n) 段
第五页，共五十五页。
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分别以矩形的 一边(y、ībiā直n) 角三角形的 一条(yī tiáo)直角 边 、直角梯形垂直于底 圆柱、
边 的腰所在的直线为
圆锥、 旋转轴，其余各边旋转
圆台 而形成的 曲面(q所ūmi围àn) 成 的几何体分别叫作圆 柱、圆锥、圆台
高：在旋转轴 上这条边的长 度； 底面：垂直于旋转轴 的边旋 转而成的圆面 ； 侧面：不垂直于旋转轴 的 边旋转而成的曲面；母线：
②正确，棱柱的侧面是对边平行的四边形； ③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形； ④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．]
第二十八页，共五十五页。
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判断棱柱、棱锥、棱台形状的两个方法： (1)举反例法： 结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱柱、棱 锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
第三十四页，共五十五页。
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3．六棱锥P-ABCDEF的底面是边长为1 m的正六边形，侧棱长 为2 m，M为PA的中点，从D点拉一条绳子，沿锥体侧面(不经过底面) 到达M点．分组讨论，在什么情况下，绳子最短？
提示：制作这样一个六棱锥观察实验，不难发现，当去掉底 面，沿侧棱PA剪开，铺平后，两点D，M之间的距离即为最短绳 长．
第二十九页，共五十五页。
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(2)直接法：
棱柱
棱锥
棱台
两个互相平行的 定底面
面，即为底面
只有一个面是多 两个互相平行的
边形，此面即为 面，即为底面
底面
看侧棱
平行
相交于一点 延长后相交于一点
第三十页，共五十五页。
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2．给出下列几个结论： ①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点； ②多面体至少有四个面； ③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点． 其中，错误的个数是( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
第三十一页，共五十五页。
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A [①正确；对于②，一个图形要成为空间几何体，它至少需 有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，有四个 顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面， 故这样的面必是三角形，所以②是正确的；对于③，棱台的侧棱所 在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公 共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一 点，所以③是正确的．]
2．长方体相对的两个侧面的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．无法确定
第十六页，共五十五页。
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A [根据两个平面平行的定义可知长方体相对的两个侧面平 行，故选A.]
第十七页，共五十五页。
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3．下列说法正确的是( ) A．直线绕定直线旋转形成柱面 B．半圆面绕定直线旋转形成球体 C．矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱 D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的
第三十七页，共五十五页。
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将例3中的圆柱体变为长方体如图所示，长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，求沿 着长方体的表面从A到C1的最短距离．
1.通过了解柱、锥、 台、球的结构特征培养 直观想象素养． 2．通过理解柱、锥、台 及球的相关概念提升数 学抽象素养.
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自主预习 探新知
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1．两个平面平行及直线与平面垂直的概念 (1)两个平面平行：称无公共(gōnggòng)的点 两个平面是平行的． (2)直线与平面垂直：直线与平面内的任意一条直线都 垂直 ，称 为直线与平面垂直． 2．简单的旋转体 (1)定义：一条 平面曲线 绕着它所在的平面内的一条定直线旋转 所形成的 曲面(q叫ūmià作n) 旋转面；封闭(fēng旋bì)的转面围成的几何体叫作旋转体．
底面 _的__多__边__形___
相交于一点，但不一定 _延__长__线__交_于__一__点____
相等
_形__，但不一定相等
三角形 多边形
梯__形__(tīxíng) _平__行__(p_ín_gx_íng_)且__边__数__相_等 _的__多__边_形____
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思考2：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体 是棱柱吗？
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1．圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定直线旋转 而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．
2．只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母 线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．
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1．下列说法正确的是________． ①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的 几何体是圆台； ②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三 角形，圆台的轴截面是等腰梯形； ③在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球．
提示：不是．如图所示的几何体有两个面互相 平行，其余各面都是平行四边形，但不是棱柱．
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1．下列几何体中是旋转体的是( )
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．
A．①⑤
B．①
C．③④
D．①④
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[答案] D
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台；
②棱柱的侧面一定是平行四边形；
③棱锥的侧面只能是三角形；
④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．
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②③④ [①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个 平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
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合作探究 提素养
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旋转体的结构特征
【例1】 下列叙述中，正确的个数是( )
(1)以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆
锥；
(2)以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的几何体是圆台；
(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
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(2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征
名称 棱柱
棱锥
棱台
图形
棱柱AC′或棱柱
表示
ABCDE-
A′B′C′D′E′
棱锥S-AC 或棱锥
S-ABCDE
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棱台AC′或棱 台ABCD-
A′B′C′D′
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两个面 互相(hù ， xiāng)平行
用一个平行于棱
其余各面都是四边 有一个面是多边形，
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② [①错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形 成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合 体，如图所示．
②正确． ③错．应为球面．]
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多面体的结构特征
【例2】 下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱
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D [直线与定直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故 A错误；半圆面以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B错误；矩形 绕对角线所在直线旋转，不能围成圆柱，故C错误，所以应选D.]
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4．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________． ①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；②所有的 棱长都相等；③棱柱中至少有2个面的形状完全相同；④相邻两个面 的交线叫作侧棱． ①③ [由棱柱的概念知①③正确．②④错误．
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1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．
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2．棱柱、棱锥定义的关注点 (1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可： ①有两个平面(底面)互相平行； ②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行． (2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可： ①有一个面(底面)是多边形； ②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．
第一章 立体几何 初步 (lìtǐjǐhé)
§1 简单 几何体 (jiǎndān)
1．1 简单旋转体
1．2 简单多面体
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学习目标
核心素养
1.了解柱、锥、台、球的结构特征，并能运用 这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2．掌握简单几何体的分类． 3．理解圆柱、圆锥、圆台及球的概念．(重 点、难点) 4．理解棱柱、棱锥、棱台等简单几何体的概 念．(重点、难点)
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[解] 将长方体相邻两个面展开，比较三个展开图，
图①中AC1＝ 26，图②中AC1＝3 2，图③中AC1＝2 5， ∴从A到C1的最短距离为3 2.
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在几何体的表面上求连接两点的曲线长的最短问题，常转化为 求其展开图中相应的线段长，即用“化曲为直”的方法转化为平面 问题来处理.
不垂直于旋转轴 的边旋 转，无论转到什么位置，都 叫作侧面的母线
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思考1：(1)圆柱的母线有多少条？它们之间有什么关系？ (2)过旋转体的轴的截面叫作轴截面，那么圆锥的轴截面是什么 图形？ (3)圆台的两条母线所在的直线一定相交吗？ (4)球能否由圆面旋转而成？
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提示：(1)圆柱的母线有无数条；它们之间相互平行． (2)等腰三角形． (3)一定．由于圆台可认为是由圆锥截得的，故两条母线所在的 直线一定相交． (4)能．圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周所形成的旋 转体即为球．
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3．简单的多面体 (1)简单多面体的定义 把若干平个面(píngmiàn)多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、 、 棱锥(léngzhuī) 棱台(是léng简tái) 单多面体．
结构
锥底面的平面去
形，并且每相邻两个 其余各面是有一个(yī ɡè)
特征
截棱锥，底面与截
四边形的公共边都 公共顶点 的三角形
互相(hù xiāng)平行
面之间的部分
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侧棱 平行且相等
侧面 _平__行_四__边__形___ 平__行_(_pín_g_xín_g)_且__全_等__
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空间几何体的表面展开与折叠 [探究问题] 1．如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？ 提示：①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．
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2．若知道空间几何体表面上两点，如何求两点间最短的表面距 离？
提示：在几何体的表面上求两点间的最短表面距离问题，常转 化为求其展开图中相应的线段长，即用“化曲为直”的方法转化为 平面问题来处理．
(4)圆面绕它的任一直径所在直线旋转一周形成的几何体是球．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
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B [(1)应以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转 才可得到圆锥，故(1)错；(2)以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线 为旋转轴旋转可得到圆台，故(2)错；(3)用平行于圆锥底面的平面去 截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面 不能得到，故(3)错；(4)正确．]
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【例3】 如图所示，有一个底面半径为1，高为2的 圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆 柱表面一周且由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离 是多少？
[思路探究] 将圆柱体侧面展开，利用平面中两点之间线段最 短求解．
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[解] 把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平 面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′ 即为蚂蚁爬行的最短距离．
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(2)球、圆柱、圆锥、圆台的概念及比较：
名称
定义
图形表示
相关概念
以半圆直的径(zhíjì所ng) 在的 直线为旋转轴，将半
圆旋转所形成的曲面
球
叫作球面．球面 所围
成的几何体叫作球 体，简称球
球心：半圆的 圆心 ； 球的半径：连接球心和球面 上任意一点的 线段(x；iànduàn) 球的直径：连接球面上两点 并且过 球心(q的iúxī线n) 段
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分别以矩形的 一边(y、ībiā直n) 角三角形的 一条(yī tiáo)直角 边 、直角梯形垂直于底 圆柱、
边 的腰所在的直线为
圆锥、 旋转轴，其余各边旋转
圆台 而形成的 曲面(q所ūmi围àn) 成 的几何体分别叫作圆 柱、圆锥、圆台
高：在旋转轴 上这条边的长 度； 底面：垂直于旋转轴 的边旋 转而成的圆面 ； 侧面：不垂直于旋转轴 的 边旋转而成的曲面；母线：
②正确，棱柱的侧面是对边平行的四边形； ③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形； ④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．]
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判断棱柱、棱锥、棱台形状的两个方法： (1)举反例法： 结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱柱、棱 锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
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3．六棱锥P-ABCDEF的底面是边长为1 m的正六边形，侧棱长 为2 m，M为PA的中点，从D点拉一条绳子，沿锥体侧面(不经过底面) 到达M点．分组讨论，在什么情况下，绳子最短？
提示：制作这样一个六棱锥观察实验，不难发现，当去掉底 面，沿侧棱PA剪开，铺平后，两点D，M之间的距离即为最短绳 长．
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(2)直接法：
棱柱
棱锥
棱台
两个互相平行的 定底面
面，即为底面
只有一个面是多 两个互相平行的
边形，此面即为 面，即为底面
底面
看侧棱
平行
相交于一点 延长后相交于一点
第三十页，共五十五页。
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2．给出下列几个结论： ①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点； ②多面体至少有四个面； ③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点． 其中，错误的个数是( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
第三十一页，共五十五页。
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A [①正确；对于②，一个图形要成为空间几何体，它至少需 有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，有四个 顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面， 故这样的面必是三角形，所以②是正确的；对于③，棱台的侧棱所 在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公 共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一 点，所以③是正确的．]
2．长方体相对的两个侧面的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．无法确定
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A [根据两个平面平行的定义可知长方体相对的两个侧面平 行，故选A.]
第十七页，共五十五页。
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3．下列说法正确的是( ) A．直线绕定直线旋转形成柱面 B．半圆面绕定直线旋转形成球体 C．矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱 D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的