(北师大版)七年级数学下册：第四章三角形第3课时利用【边角边】判定三角形全等备课素材

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图4－3－62
如图4－3－62，小颖作业本上画的三角形被墨迹污染了，她想画出一个与原来完全一
样的三角形，她该怎么办呢？利用我们已经学过的知识你能帮帮小颖吗？
说明：通过这个问题，激发学生的学习兴趣，调动学生的求知欲，让学生在不知不觉中进入本节课内容的学习．建议：让学生独立思考，畅所欲言，老师引导．
下面的两个三角形添加什么样的三个条件能够全等？ 如图4－3－63所示，1.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧ AB ＝DE ， BC ＝EF ， AC ＝DF ，
∴△ABC ≌△DEF(SSS )．
2．在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧ ∠A ＝∠D ， AB ＝DE ， ∠B ＝∠E ，∴△ABC ≌△DEF(ASA )．
3．在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧ ∠A ＝∠D ， ∠B ＝∠E ， BC ＝EF ，
∴△ABC ≌△DEF(AAS )．
图4－3－63
说明：学生在已有的经验基础上很快得出全等的条件，只是2，3的答案不唯一，让学生的理解能力和思考方向都得到加强，从而打开了学习的大门，在课堂中用学生找到的问题作为突破口，极大地激发了学生的学习积极性和主动性．建议：回忆学过的三角形全等的条件，归纳总结，对现有的判定方法有了进一步的巩固和理解，并通过语言描述，加深了印象，为新知识的学习做了个台阶，顺理成章地引出本节课
的教学内容，极大地激发了学生的求知欲．
图4－3－64
如图4－3－64，有一池塘，要测量池塘两端A，B的距离，可是没有办法直接测量．小明想了一个办法：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连接AC并延长至D点，使DC＝AC.连接BC并延长至E点，使EC＝BC，连接ED，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离．你认为小明的办法可行吗？谈谈你的看法．
说明：利用实际问题的探索解决，来创设情境激发学生的求知欲望，使学生亲身体验和感受分析问题、解决问题的全过程，从而培养使用数学的意识、探索精神和实际操作能力．建议：让学生思考、交流，部分学生应该会联想到利用三角形全等来解释该问题，教师要给予表扬
103页随堂练习第1题
分别找出各题中的全等三角形，并说明理由．
图4－3－65
【模型建立】
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
【变式变形】
1．如图4－3－66，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，AB＝CD，BC＝DE，则∠ACE＝__90__°.
4－3－66
4－3－67
2．已知：如图4－3－67所示，F 在正方形ABCD 的边BC 边上，E 在AB 的延长线上，FB ＝EB ，AF 交CE 于点G ，则∠AGC 的度数是__90°__．
图4－3－68
3．如图4－3－68所示，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，BF 平分∠ABC ，AF ∥DC ，连接AC ，CF. 试说明：(1)AF ＝CF ；(2)CA 平分∠DCF. 解：(1)∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBF.
在△ABF 与△CBF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝CB ，∠ABF ＝∠CBF ，BF ＝BF.∴△ABF ≌△CBF(SAS )，∴AF ＝CF.
(2)∵AF ＝CF ，∴∠FCA ＝∠FAC.∵AF ∥DC ，∴∠FAC ＝∠DCA ， ∴∠FCA ＝∠DCA ，即CA 平分∠DCF.
利用SAS 证全等
两个三角形全等的判定中，最后一个学习的是SAS ，即两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
图4－3－69
例 如图4－3－69，在△ABC 和△ABD 中，AC 与BD 相交于点E ，AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，试说明：△ADB ≌△BCA.
解：在△ADB 和△BCA 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，AB ＝BA ，∴△ADB ≌△BCA(SAS )．
利用三角形全等找线段或角的关系
根据全等三角形的对应角相等，对应边相等的性质解决实际问题，前提是找准已知条件证明两个三角形全等．
例 如图4－3－70，AC 和BD 相交于点O ，OA ＝OC ，OB ＝OD. 试说明：DC ∥AB.
图4－3－70
解：在△ODC 和△OBA 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧OD ＝OB ，∠DOC ＝∠BOA ，OC ＝OA ，∴△ODC ≌△OBA(SAS )，
∴∠C ＝∠A(或者∠D ＝∠B)(全等三角形的对应角相等)， ∴DC ∥AB(内错角相等，两直线平行)．
P104 习题4.8
1．如图，点E 在AB 上，AC ＝AD ，∠CAB ＝∠DAB ，△ACE 与△ADE 全等吗？△ACB 与△ADB 呢？请说明理由．
解：都全等，依据是“SAS”．
2．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠B与∠D相等吗？
小明的思考过程如下：
你能说明每一步的理由吗？
解：第二步是已知；第三步是“SAS”定理；第四步是全等三角形的性质．
3．如图，小颖作业本上画的三角形被墨迹污染，她想画出一个与原来完全一样的三角形，她该怎么办呢？请帮助小颖想出一个办法来，并说明你的理由．
解：依据“SAS”画一个与原三角形全等的三角形．
4．如图，△EFG的三条边相等，三个内角也相等，且EH＝FI＝GJ，△EHJ，△FIH，△GJI全等吗？△HIJ的三边相等吗？
解：∵EF ＝FG ＝GE ，EH ＝FI ＝GJ ， ∴FH ＝IG ＝JE .又∵∠F ＝∠G ＝∠E ， ∴△FIH ≌△GJI ≌△EHJ ， ∴HI ＝IJ ＝JH .
专题一 与三角形全等相关的探究题
1． 如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，如图1，然后将△
ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将BD ，CE 分别延长至M ，N ，使DM =
21BD ，EN =2
1
CE ，得到图3，请解答下列问题：
（1）若AB =AC ，请探究下列数量关系：
①在图2中，BD 与CE 的数量关系是__________；
②在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系，∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并说明你的猜想；
（2）若AB =k •AC （k ＞1），按上述操作方法，得到图4，请继续探究：AM 与AN 的数量关系，∠MAN 与∠BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．
2． 请阅读，完成证明和填空．
（1）如图1，正三角形ABC 中，在AB ，AC 边上分别取点M ，N ，使BM =AN ，连接BN ，CM ，发现BN =CM ，且∠NOC =60度．请说明：∠NOC =60度．
（2）如图2，正方形ABCD中，在AB，BC边上分别取点M，N，使AM=BN，连接AN，DM，那么AN=________，且∠DON=________度．
3．（1）如图，方格纸中的△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称为格点三角形．请在方格纸上按下列要求画图．
在图①中画出与△ABC全等且有一个公共顶点的格点△A′B′C′；
在图②中画出与△ABC全等且有一条公共边的格点
△A″B″C″．
（2）先阅读然后回答问题：
如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，AB=AC，EB=EC，∠BAE=∠CAE，试说明：△AEB≌△AEC．解：在△ABE和△ACE中，因为AB=AC，∠BAE=∠CAE，EB=EC， (1)
根据“SAS”可以知道△ABE≌△AEC． (2)
请问上面解题过程正确吗？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的过程．
【知识要点】
1．三角形全等的条件：（1）三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.
（2）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．
（3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”，（4）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.
2．三角形的稳定性：由于三角形三边的长确定以后，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．三角形的稳定性在日常生活中应用很广．例如盖房子时，房顶的支架都选用三角形，三角形的稳定性的依据是“边边边”．
【温馨提示】
1．三角形的稳定性是三角形的特性，四边形、五边形、六边形等其他多边形都不具有这一特性（即具有不稳定性）．
2．“ASA”和“AAS”中的边一定要么是两角的夹边，要么是其中一角的对边，不可说是“任意的两角和一边”．
3．要注意“SAS”和“SSA”的区别，“SAS”指的是两边及其夹角对应相等；而“SSA”
指的是有两边和一边的对角对应相等，它是不能证明两个三角形全等的.
【方法技巧】
1．当所给相等的边不是所要判定全等的三角形的边时，往往利用等式的性质，在相等线段两边加上（或减去）同一线段，转化为所要判定全等的两个三角形的边．
2．在判定三角形全等的条件中，对应相等的三个元素中必须有一条边对应相等，如果给出三角形的三个内角，得到的三角形不一定全等．选择哪种方法判定全等，要根据题目条件合理选择．当有两边相等时，选择“SSS”或“SAS”，当有两角相等时，选择“AAS”或“ASA”．
答案
1．解：（1）①BD =CE ；
②AM =AN ，∠MAN =∠BAC .说明： ∵∠DAE =∠BAC ， ∴∠CAE =∠BAD . 在△BAD 和△CAE 中，
∵AE =AD ，∠CAE =∠BAD ，AC =AB ， ∴△CAE ≌△BAD （SAS ）， ∴∠ACE =∠ABD . ∵DM =
21BD ，EN =2
1
CE ， ∴BM =CN .
在△ABM 和△ACN 中，
∵BM =CN ，∠ACN =∠ABM ，AB =AC ， ∴△ABM ≌△ACN （SAS ）， ∴AM =AN ，
∴∠BAM =∠CAN ，即∠MAN =∠BAC ； （2）AM =k •AN ，∠MAN =∠BAC ． 2．解：（1）∵△ABC 是正三角形， ∴∠A =∠ABC =60°，AB =BC .
在△ABN 和△BCM 中， AB =BC ，∠A =∠ABC ，AN =BM ， ∴△ABN ≌△BCM ， ∴∠ABN =∠BCM . 又∵∠ABN +∠OBC =60°， ∴∠BCM +∠OBC =60°， ∴∠NOC =60°；
（2）∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DAM =∠ABN =90°，AD =AB . 又∵AM =BN ，
∴△ABN ≌△DAM ， ∴AN =DM ，∠ADM =∠BAN . 又∵∠ADM +∠AMD =90°， ∴∠BAN +∠AMD =90°
∴∠AOM =90°，即∠DON =90°． 3．解：（1）答案不唯一，如下图；
（2）上面解题过程错误，错在第1步． 在△AEB 和△AEC 中，
∵AB =AC ，∠BAE =∠CAE ，EA =EA ， ∴△AEB ≌△AEC （SAS ）．
揭密全等三角形的隐含条件
初学三角形全等，同学们往往找不出证明两个三角形全等的条件，其中一个重要的原因就是忽视了全等三角形中的隐含条件．隐含条件一般可分为下列四种类型：
一、 公共边
例1、如图1，AD//BC 且AD=BC ，试问△ACD 与△CAB 全等吗？为什么？
分析：通过AD//BC ，可得出∠DAC=∠BCA ，两个三角形有一边一角对应相等了，再加上公共边AC=CA ，就可证出两个三角形全等． 解：因为AD//BC 所以∠DAC=∠BCA ． 在△ACD 和△CAB 中
AD=BC
∠DAC=∠BAC AC=CA
∴△ACD ≌△CAB （SAS ）
二、 公共角
D
例2，如图2，AB=AC ，∠B=∠C ，试问AD 与AE 相等吗？ 分析：AD 与AE 分别在△ADB 和△AEC 中，要证明AD=AE ，必须证明这两个三角形全等，已经有一边一角对应相等，再加上公共角∠A ，就可以判定这两个三角形全等． 解：AD 与AE 相等 理由如下： 在△ADB 和△AEC 中 ∠B=∠C AB=AC ∠A=∠A
∴△ADB ≌△AEC （ASA ）
∴AD=AE （全等三角形的对应边相等）
三、 对顶角
例3：要测出一池塘两端A 、B 的距离，如图3，设计如下方案：先在平地上取一点可以直接到达A 、B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD=AC ，连接BC 并延长到E ，使CE=BC ，最后测出DE 的长即为A 、B 之间的距离，为什么？
分析：已知两边对应相等，再找夹角．根据对顶角相等，用SAS 公理即可证明两个三角形全等． 解：在△
ABC 和△DEC 中 ∠ACB=∠DCE BC=CE
∴△ABC ≌△DEC （SAS ）
∴AB=DE （全等三角形的对应边相等）
四、 客观规律
例4：中午12点时，操场上垂直于地面竖立着两根一样长的竹竿，如图4，它们的影长相等吗？ 分析：这道题已知AB=A ˊB ˊ，∠ABC=∠A ′B ′C ′=90°，还容易忽视的一个客观规律那就是太阳光线可以看成是平行
的．
解：因为AC//A ′C ′ 所以∠ACB=∠A ′C ′B ′
C
在△ABC和△A′B′C′中
∠ABC=∠A′B′C′=90•
∠ACB=∠A′C′B′
AB= A′B′
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）
∴AB= A′B′
即它们的影长相等．
说明：客观规律要根据题目的实际情况去运用．光的反射规律，即反射角等于入射角也是常用的客观规律之一．。