知识卡片-垂径定理

垂径定理
能量储备
● 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
此定理的使用条件有两个：一个是垂直，一个是直径.结论有三
个：两对弧相等，一对线段相等.
数学语言表述：如图3­3­1所示，在⊙O 中，∵ CD 为直径，CD
⊥AB （OC ⊥AB ），∴ AC ︵＝BC ︵，AD ︵＝BD ︵，AM ＝BM.
● 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且
平分弦所对的弧.
数学语言表述：如图3­3­3所示，在⊙O 中，∵ CD 是直径，弦
AB 不是直径，AM ＝BM ，∴ CD ⊥AB ，AC ︵＝BC ︵，AD ︵＝BD ︵
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通关宝典
★ 基础方法点
方法点1：作半径、经过圆心的弦的垂线段是圆中构造直角三角形常用的作辅助线的方法。

例1：如果⊙O 的直径为10 cm ，弦AB ＝6 cm ，求圆心O 到弦AB 的距离。

分析：如图3­3­2所示，要求圆心O 到弦AB 的距离，需要作出点O 到AB 的垂线段OM ，
由垂径定理可知AM ＝12
AB ，若再连接OA ，即可构造出Rt △AOM ，由已知可求出OA ，AM 的长，根据勾股定理可求出OM 的长。

解：如图3­3­2所示，连接OA ，过点O 作OM ⊥AB ，垂足为点
M ，则AM ＝12
AB .∵ AB ＝6 cm ，∴ AM ＝3 cm 。

∵ ⊙O 的直径为10 cm ，∴ OA ＝12
×10＝5（cm ）。

在Rt △OAM 中，OM ＝OA 2－AM 2＝52－32＝4（cm ），
∴ 圆心O 到弦AB 的距离为4cm 。

方法点2：推论的使用条件有两个：平分与直径，当然还有一个前提就是被平分的弦不能是直径。

结论有三个：垂直，两对弧相等。

例：如图3­3­6所示，在⊙O 中，E ，F 分别是弦AB 和CD 的中点，OE ＝OF 。

求证：∠AEF ＝∠CFE 。

分析：由E ，F 分别是弦AB 和CD 的中点，知OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，则∠AEO ＝∠CFO ＝90°，只需再证明∠OEF ＝∠OFE 就可以证明∠AEF ＝∠CFE 。

证明：∵ E ，F 分别是弦AB ，CD 的中点，
∴ OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，∴ ∠AEO ＝∠CFO ＝90°。

∴ ∠AEF ＋∠OEF ＝90°，∠CFE ＋∠OFE ＝90°。

∵ OE ＝OF ，∴ ∠OEF ＝∠OFE ，
∴ ∠AEF ＝∠CFE 。

蓄势待发
考前攻略
垂径定理及其应用，主要考查利用垂径定理及其应用求线段的长度，多与勾股定理相结合，多以选择题或填空题的形式出现，难度偏低。

完胜关卡。