李玉柱流体力学课后题答案-第四章

李玉柱流体力学课后题答案-第四章
第四章 流体动力学基础
4-1 设固定平行平板间液体的断面流速分布为1/7
max /2/2u B y u B -⎛⎫= ⎪⎝
⎭
，0y ≥
总流的动能修正系数为何值?
解：17
2max max 012728
2B A A B y v ud u dy u B A B ⎛⎫- ⎪=== ⎪⎝⎭⎰⎰
因为31.0A A u d A v α∆⎛⎫≈+
⎪⎝⎭
⎰
u u v
∆=-所以
1
7
22
33821.0 1.01 1.0572B
B A A B y u v d dy B A v B α-⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎛⎫
⎪≈+
=+⋅-= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰⎰
4-2 如图示一股水流自狭长的缝中水平射出，其厚度00.03m δ=，平均流速V 0＝8m/s ，假设此射流受重力作用而向下弯曲，但其水平分速保持不变。

试求(1)在倾斜角45θ=处的平均流速V ；(2)该处的水股厚度δ。

解：（1）由题意可知：在45度水流处，其水平分速度仍为8m/s,由勾股定理
可得：V=︒
45sin 8
=11.31m/s （2）水股厚度由流量守恒可得：VD D V δδ=000，由于缝狭长，所以两处厚
度近似相等，所以00
0.038
0.02111.31
V V δδ⨯=
=
=m 。

4-3 如图所示管路，出口接一收缩管嘴，水流射人大气的速度V 2=20m/s ，管径d 1＝0.1m ，管嘴出口直径d 2＝0.05m ，压力表断面至出口断面高差H ＝5m ，两断面间的水头损失为210.5(/2)V g 。

试求此时压力表的读数。

解：取压力表处截面为截面1-1，收缩管嘴处截面为截面2-2，选择两截面包围的空间为控制体，由实际流体的恒定总流能量方程得：
221122
1222w
V p V p z z h g g g g ρρ
'++=+++， 由连续性方程2211V A V A =可得1-1断面流速s m 51=V ，
由上述两个方程可得压力表的读数（相对压强）：
222112212w
V V p p z z h g g ρ⎛⎫
-'-=+-+ ⎪⎝⎭
， 上式计算结果为：2.48at 。

所以，压力表的读数为2.48at 。

4-4 水轮机的圆锥形尾水管如图示。

已知A —A 断面的直径d A =0.6m ，流速
V A ＝6m ／s ，B —B 断面的直径d B ＝0.9m ，由A 到B 水头损失20.15(/2)w
A h V g '=。

求(1)当z ＝5m 时A —A 断面处的真空度；(2)当A —A 断面处的允许真空度为5m 水柱高度时，A —A 断面的最高位置,max A z 。

解：（1）取A-A 和B-B 包围的空间为控制体，对其列伯努利方程：
2222A A B B
A B w
V p V p z z h g g g g ρρ
'++=+++
可得A-A 断面处的真空度
22
2B A A B A B w
p p V V z z h g g g ρρ⎛⎫-'-=+-- ⎪⎝⎭
， 由连续性方程B B A A V A V A =可得B-B 断面流速2
A B A B d V V d ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
=2.67m/s ，
所以A-A 断面处真空度为6.42m 。

（2）由伯努利方程'
2
222w B B B A A A h z g p g V z g p g V +++=++ρ
ρ
4-9 图示一矩形断面渠道，宽度B =2.7 m 。

河床某处有一高度0.3m 的铅直升坎，升坎上、下游段均为平底。

若升坎前的水深为1.8 m ，过升坎后水面降低0.12 m ，水头损失w h 为尾渠(即图中出口段)流速水头的一半，试求渠道所通过的流量Q 。

解：对升坎前后的截面列伯努利方程：22
1222w V V H h h g g +=++ 其中：221
22
w V h g =
⨯ 根据连续方程：12BHV BhV =，其中： 1.8m H =， 1.68m h =。

所以有：120.77V V = 解得：2 1.6m/s
V =，1
1.23m/s V =，3
1
5.98m /s Q BHV ==。

4-10 图示抽水机功率为P =14.7 kW ，效率为75%η=，将密度3
0900kg/m ρ=的油从油库送入密闭油箱。

已知管道直径d =150 mm ，油的流量Q =0.14m 3/s ，抽水机进口B 处真空表指示为-3 m 水柱高，假定自抽水机至油箱的水头损失为h=2.3 m 油柱高，问此时油箱内A 点的压强为多少?
解：设抽水机中心轴处为截面B-B ，油箱液面处为截面A-A ，其中间包围的空间为控制体。

由连续方程21
4
Q d V π=可得：7.92
V =m/s
对A 截面和B 截面列伯努利方程：
22B 000.75
22A A B V P V P p H h g g g g gQ
ρρρ⨯+++=++
由抽水机进口B 处真空表指示为-3 m 油柱高，可知
m 3-=g
p w B
ρ，所以m 3
10
-=g p o B ρ 代入上面的伯努利方程可得：13.188A P =kPa 。

4-11 如图所示虹吸管，由河道A 向渠道B 引水，已知管径d =100 mm ，虹吸管断面中心点2高出河道水位z=2 m ，点1至点2的水头损失为
2W1-210(/2)h V g =，点2至点3的水头损失2W2-32(/2)h V g =，V 表示管道的断面
平均流速。

若点2的真空度限制在h v =7 m 以内，试问(1)虹吸管的最大流量有无限制?如有，应为多大?(2)出水口到河道水面的高差h 有无限制?如有，应为多大?
解：（1）对截面1—1和截面2—2列伯努利方程：
222
12+22A A w V P P V Z h g g g g
ρρ-+=++
其中：0A V =22
102722V V g g
∴++≤，3m/s V ≤ 所以 21
23.5L/s 4
Q d V ≤=
（2）对A 截面和B 截面列伯努利方程：22122322A A B A
w w V P V P h h h g g g g
ρρ--+
+=+++
其中：0A V =，0B V =。

所以可得：2
1223
6h 2w w V h h g
--=+=， 5.89m h ≤
4-12 图示分流叉管，断面1—l 处的过流断面积A l =0.1 m 2，高程z 1=75m ，流速V l ＝3 m/s ，压强p 1＝98 kPa ；断面2—2处A 2＝0.05 m 2，z 1=72 m ；断面3—3处A 1=0.08 m 2，z 1＝60 m ，p 3＝196 kPa ；断面1—1至2—2和3—3的水头损失分别为h wl -2=3 m 和h wl -3=5 m 。

试求(1)断面2—2和3—3处的流速V 2和V 3；(2)断面2—2处的压强p 2。

解：（1）对断面1—1和断面2—2列伯努利方程：
223311
131322w V P V P z z h g g g g
ρρ-++=+++ 可得：33m/s V =
由112233AV A V A V =+，得：2 1.2m/s V =
（2）对断面1—1和断面2—2列伯努利方程：
2211
22121222w V P V P z z h g g g g
ρρ-++=+++ 可得：52 1.01810Pa P =⨯
4-13 定性绘制图示管道的总水头线和测管水头线。

4-14 试证明均匀流的任意流束在两断面之间的水头损失等于两断面的测管水头差。

证明：对两断面列伯努利方程：
2211
22121222w V P V P z z h g g g g
ρρ-++=+++
12V V =
2211
2212
12)22w P P V P V P h H H g g g g
ρρ-=+-+=-（ 4-15 当海拔高程z 的变幅较大时，大气可近似成理想气体，状态方程为
()a a p z RT ρ=，其中R 为气体常数。

试推求()a p z 和()a z ρ随z 变化的函数关系。

解：()()
1
001--=R g a a T z z ββρρ
4-16 锅炉排烟风道如图所示。

已知烟气密度为3s 0.8kg/m ρ=，空气密度为
3a 1.2kg/m ρ=，烟囱高H =30 m ，烟囱出口烟气的流速为10m/s 。

(1)若自锅炉至烟囱出口的压强损失为产p w =200 Pa ，求风机的全压。

(2)若不安装风机，而是完全依靠烟囱的抽吸作用排烟，压强损失应减小到多大?
解：(1) 若自锅炉至烟囱出口的压强损失为产p w =200 Pa ，风机的全压为
122.4a P ；
(2) 若不安装风机，而是完全依靠烟囱的抽吸作用排烟，压强损失可减
小到77.6a P 以下。

4-17 管道泄水针阀全开，位置如图所示。

已知管道直径d 1=350 mm ，出口直径d 2=150 mm ，流速V 2=30 m/s ，测得针阀拉杆受力F =490 N ，若不计能量损失，试求连接管道出口段的螺栓所受到的水平作用力。

解：连接管道出口段的螺栓所受到的水平拉力为N 104.283⨯。

4-18 嵌入支座内的一段输水管，其直径由d 1=1.5m 变化到d 2=l m ，如图示。

当支座前的压强p l =4 at(相对压强)，流量为Q =1.8m 3/s 时，试确定渐变段支座所受的轴向力R (不计水头损失)。

解：取直径为d 1处的截面为1-1，直径为d 2处为的截面2-2，两截面包围的
空间为控制体，对其列出伯努利方程：2211
2222V P V P g g g g
ρρ+=+
根据连续方程：
2211224
4
d V d V Q π
π
=
=
可得1 1.02m/s V ∴=，2 2.29m/s V =
设水平向右为正方向，根据动量定理有：2221112
2()4
4
Q V V P d P d R π
π
ρ-=-+
得：N 103.84R 5⨯-=
则水管对水的作用力是水平向左的，由牛顿第三定律可知，水对水管壁的
作用力是水平向右的，大小为38.4KN 。

4-19 斜冲击射流的水平面俯视如图所示，水自喷嘴射向一与其交角成60。

的光滑平板上(不计摩擦阻力)。

若喷嘴出口直径d =25 mm ，喷射流量Q =33.4L/s ，试求射流沿平板向两侧的分流流量Q 1和Q 2以及射流对平板的作用力F 。

假定水头损失可忽略不计，喷嘴轴线沿水平方向。

解：以平板法线方向为x 轴方向，向右为正，根据动量定理得：
sin 60sin 60R mv Qv ρ-=-=-
即：0sin 60R Qv ρ= 因为：24
Q d v π
=
所以68m/s v = 所以，1967N R =
射流对平板的作用力1967R R '=-=N ，方向沿x 轴负向。

列y 方向的动量定理：
1122cos 600Q v Q v Qv ρρρ--= 因为12v v =
所以121
2Q Q Q -=
又因为12Q Q Q +=
所以，1325.05L/s 4Q Q ==，21
8.35L/s 4
Q Q ==
4-20 一平板垂直于自由水射流的轴线放置(如图示)，截去射流流量的一部分Q l ，并引起剩余部分Q 2偏转一角度θ。

已知射流流量Q =36L/s ，射流流速V =30 m/s ，且Q l ＝12L/s ，试求射流对平板的作用力R 以及射流偏转角θ(不计摩擦力和重力)。

解：以平板法线方向为x 轴方向，向右为正，根据动量定理得：
2211sin 0y F m v m v θ=-=
1122sin Q v Q v θ=即：，又因为2124/Q Q Q L s =-=
所以：122sin v v θ
=
12v v v ==
030θ∴=
22cos x F m v mv θ-=-
2222cos (cos )456.5N
x F mv m v Qv Q v θρθ=-=-= 射流对平板的作用力：F=456.5N ，方向水平向右。

4-21 水流通过图示圆截面收缩弯管。

若已知弯管直径d A =250 mm ，d B =200 mm ，流量Q =0.12m 3/s 。

断面A —A 的相对压强多p A =1.8 at ，管道中心线均在同一水平面上。

求固定此弯管所需的力F x 与F y (可不计水头损失)。

解：取水平向右为x 轴正向，竖直向上为y 轴正向。

根据连续方程：
224
4
A A
B B d v d v Q π
π
=
=
根据伯努利方程： 22B B
22A A V P V P g g g g
ρρ+=+ 所以： 2.4m/s A v =， 3.8m/s B v =, 1.76at B P = 在水平方向根据动量定理得：
22cos60cos604
4
x A A B
B B A F P d P d mv mv π
π
+-=-
所以：x
F =6023.23N
在竖直方向根据动量定理得：
2sin 60sin 604
y B B B F P d mv π
+=
所以：y
F = 4382.8N
所以，固定此弯管所需要的力为：x
F =6023.23N ，方向水
平向左；y
F = 4382.8N ，方向水平向下。

4-22 试求出题4—5图中所示短管出流的容器支座受到的水平作用力。

解：根据动量定理：22112
22121()()4
4
x F P d P d m v v Q v v π
π
ρ+-=-=-
可得：x F =426.2N
所以，支座受到的水平作用力x F =426.2N ，方向水平向左。

4-23 浅水中一艘喷水船以水泵作为动力装置向右方航行，如图示。

若水泵的流量Q =80 L/s ，船前吸水的相对速度w l =0.5m/s ，船尾出水的相对速度w 2=12m/s 。

试求喷水船的推进力R 。

解：根据动量定理有：
2121()920N R mw mw Q w w ρ=-=-=
4-24 图示一水平放置的具有对称臂的洒水器，旋臂半径R =0.25m ，喷嘴直径d =l0 mm ，喷嘴倾角α=45。

，若总流量Q =0.56L/s ，求：(1) 不计摩擦时的最大旋转角速度ω；(2) ω=5 rad/s 时为克服摩擦应施加多大的扭矩M 及所作功率P 。

解：(1) 不计摩擦时的最大旋转角速度s rad 10.8=w ；
(2) ω=5 rad/s 时为克服摩擦应施加的扭矩m .712N 0⋅=M ，所作功率3.56W =P 。

4-25 图示一水射流垂直冲击平板ab ，在点c 处形成滞点。

已知射流流量Q =5L/s ，喷口直径d =10 mm 。

若不计粘性影响，喷口断面流速分布均匀，试求滞点c 处的压强。

解：24
Q d v π
=
所以63.66v =m/s
1263.66v v v ===m/s
根据伯努利方程：22c c 22v P v P
g g g g
ρρ+=+，且0c v = 解得：c
P =206.782
mH O
4-26 已知圆柱绕流的流速分量为
22221cos ,1sin r a a u U u U r r θθθ∞∞⎛⎫⎛⎫
=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
其中，a 为圆柱的半径，极坐标(r ,θ)的原点位于圆柱中心上。

(1)求流函数φ，并
画出流谱若无穷远处来流的压强为p 。

，求r =a 处即圆柱表面上的压强分布。

解：(1) ()θψsin 122r r a U -=∞
(2) ()θ22
sin 415.0-+=∞
∞U p p 4-27 已知两平行板间的流速场为22[(/2)]u C h y =-，0v =，其中，
1250(s m)C -=⋅，h =0.2m 。

当取y =-h /2时，ψ=0。

求(1)流函数ψ；(2)单宽流量q 。

解：（1）
2222d d d d [(/2)]d (/2)d d v x u y
u y
C h y y C h y Cy y
ψ=-+==-=-
所以，23
'(/2)3
C Cy h y C ψ=-
+ 因为：当h =0.2m ，y=-0.1m 时，ψ
=0，代入上式得：1/6C '=
所以：3
5250
123
6
y y
ψ=-+
（2）2(0.1)(0.1)0.33300.333m /s q ψψ=--=-=
4-28 设有一上端开口、盛有液体的直立圆筒如图示，绕其中心铅直轴作等
速运动，角速度为ω。

圆筒内液体也随作等速运动，液体质点间无相对运动，速度分布为,,0u y v x w ωω=-==。

试用欧拉方程求解动压强p 的分布规律及自由液面的形状。

解：建立如图所示的坐标系，可知其单位质量力为：
2X x ω=,
2Y y ω=,Z g =-
故液体的平衡微分方程为：
22d (d d d )p x x y y g z ρωω=+-
22
0[
()]2
r p g z z C ωρ∴=--+
当00,r z z ==时，0p = 所以：22
0[
()]
2
r p g z z ωρ=--
在自由液面处0p =，所以，自由液面方程为
22
0(2
r g z z ω=-）
液面的形状为绕z 轴的回转抛物面。

4-29 图示一平面孔口流动(即狭长缝隙流动)，因孔口尺寸较小，孔口附近的流场可以用平面点汇表示，点汇位于孔口中心。

已知孔口的作用水头H =5 m ，单宽出流流量q =20 L/s ，求图中a 点的流速大小、方向和压强。

解： s m 0.00285
2202=⨯⨯==
ππs L r q u r ,0u θ= 方向由a 点指向孔口中心。

26a p mH O p +=
所以：a
p =O 6m H
2
4-30 完全自流井汲水时产生的渗流场可以用平面点汇流动求解。

图示自流并位于铅直不透水墙附近，渗流场为图示两个点汇的叠加，两者以不适水墙为对称面。

求汲水流量Q =1 m 3/s 时，流动的势函数φ，以及沿壁面上的流速分布。

解：()21ln 2r r Q ⎪⎭
⎫
⎝⎛-=πϕ，0=u ,()2
4y y v +-=π 4-31 图示一盛水圆桶底中心有一小孔口，孔口出流时桶内水体的运动可以
由兰金涡近似，其流速分布如图所示：中心部分(r ≤r 0)为有旋流动u (r )=wr ，外部(r ＞r 0)为有势流动u (r )＝u 0r 0/r ，其中u 0＝u (r ＝r 0)。

设孔口尺寸很小，r 0也很小，圆桶壁面上的流速u R ＝u (r ＝R )≈0，流动是恒定的。

(1)求速度环量Г的径向分布；(2)求水面的形状。

解：(1) 当0
r r <时，2
2r
Γπω=
当0
r r ≥时，00
2r u Γπ=
(2)
2
0()()02r g z z g
ω+-= 4-32 偶极子是等强度源和汇的组合，如图a 所示：点源位于x +＝(-δ/2，0)点源强度为Q ＞0；点汇位于x -＝(+δ/2，0)，强度为-Q ＜0。

点源与点汇叠加后，当偶极子强度M ＝δQ 为有限值而取δ→0时，就得到式(4—75)中偶极子的势函数和流函数。

试利用偶极子与均匀平行流叠加的方法(图b)，导出圆柱绕流的流速分布(可参见习题4—26)。

解：2
2(1)cos r a u U r
θ∞=-
2
2(1)sin a u U r
θθ∞=--
4-33 在圆柱绕流流场上再叠加上一个位于原点的顺时针点涡，得到有环量的圆柱绕流，如图示。

(1)当4aU Γπ∞=，圆柱表面上的两个滞留点重合。

求过
滞留点的两条流线的方程；(2)采用圆柱表面压强积分的方法，试推导出升力公式；(3)设4aU Γπ∞>，试确定滞留点的位置。

解：(1) ()()()a a U r r a r U ln 12ln 2sin 2+-=Γ--∞∞πθ
(2) Γ=∞U P y ρ (3) 2
π
θ-
=，
()1442
-Γ
-Γ=∞∞
aU aU r a ππ
4-34 设水平放置的90。

弯管如图所示，内、外壁位于半径分别为r 1＝200 mm 和r 2＝400 mm 的同心圆上。

若周向流速u (r )的断面分布与自由涡相同，轴线流速u (r 0)＝2 m/s ，(1) 求水流通过时弯管内、外壁的压差；(2) 验证流体的总机械能在弯管内、外壁处相等。

解：(1)a 3.375kP p ∆=。