山东省济宁市某教育咨询有限公司2015届高三数学人教A版一轮复习课件：第1章 第2节 命题及其关系、
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抓
住
挖
2
个
掘
基 础
第二节
1 大 技
知
法
识
点
命题及其关系、充分条件与必要条件
掌
课
握
堂
3
限
个
时
核
检
心
测
考
向
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[考情展望] 1.直接考查“若 p，则 q”形式的四种命题及其 真假性的判定.2.以函数、方程、不等式等知识为载体，考查充分 必要条件的判定方式.3.借助充要条件探索命题成立的依据．
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(2)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命 题的序号)．
①“若 log2a＞0，则函数 f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域 内是减函数”是真命题；
②命题“若 a＝0，则 ab＝0”的否命题是“若 a≠0，则 ab≠0”；
(2)若綈 p 是 q 的必要不充分条件，则 q⇒綈 p 但綈 p q，其
逆否命题为 p⇒綈 q 但綈 q p，∴p 是綈 q 的充分不必要条件． 【答案】 (1)A (2)A
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规律方法 2 充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若 p 则 q”、“若 q 则 p”的真假．并 注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则 p 是 q 的充分条件．
2．等价法：利用 p⇒q 与綈 q⇒綈 p，q⇒p 与綈 p⇒綈 q，p
⇔q 与綈 q⇔綈 p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，
一般运用等价法． 3．集合法：若 A⊆B，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要
条件；若 A＝B，则 A 是 B 的充要条件．
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以及举反例法求解．
(2)借助原命题与逆否命题的等价判断．
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【尝试解答】 (1)当 φ＝π 时，y＝sin(2x＋φ)＝sin(2x＋π)＝－ sin 2x，此时曲线 y＝sin(2x＋φ)必过原点，但曲线 y＝sin(2x＋φ)过 原点时，φ 可以取其他值，如 φ＝0.因此“φ＝π”是“曲线 y＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．
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1．已知 a，b，c∈R，命题“若 a＋b＋c＝3，则 a2＋b2＋c2≥3” 的否命题是( )
A．若 a＋b＋c≠3，则 a2＋b2＋c2＜3 B．若 a＋b＋c＝3，则 a2＋b2＋c2＜3 C．若 a＋b＋c≠3，则 a2＋b2＋c2≥3 D．若 a2＋b2＋c2≥3，则 a＋b＋c＝3
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一、四种命题及其关系 1．四种命题间的相互关系：
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2．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有 相同 的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假 性 没有关系 ． 二、充分条件与必要条件 1．如果 p⇒q，则 p 是 q 的 充分 条件，q 是 p 的 必要 条件． 2．如果 p⇔q，那么 p 与 q 互为 充要条件 ． 3．如果 p q，且 q p，则 p 是 q 的 既不充分又不必要条件 ．
③命题“正多边形都相似”的逆命题为真命题； ④命题“若 a∈M，则 b∉M”与命题“若 b∈M，则 a∉M”等 价．
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【思路点拨】 (1)直接根据逆否命题的定义写出，但应注意 “都是”的否定是“不都是”．
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所以命题綈 q：x＜a 或 x＞a＋1
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因为綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，所以綈 q⇒綈 p，
但綈 p 綈 q. 如图所示：
故a≤12 a＋1≥1
，即 0≤a≤12.
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方法二：由 2x2－3x＋1≤0 得12≤x≤1， 由 x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0 得
a≤x≤a＋1，由綈 p 是綈 q 的必要不充分条件知，p 是 q 的充
分不必要条件，即x12≤x≤1
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2．命题“若 α＝4π，则 tan α＝1”的逆tan α≠1
B．若 α＝4π，则 tan α≠1
C．若 tan α≠1，则 α≠π4 D．若 tan α≠1，则 α＝π4
【解析】 由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的
逆否命题是：若 tan α≠1，则 α≠4π. 【答案】 C
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【思路点拨】 思路一：求綈 p 及綈 q，由綈 q⇒綈 p，但綈 p 綈 q 建立实数 a 的不等关系，解不等式便可．
思路二：由先解不等式把命题 p、q 具体化，再由互为逆否命 题的等价性确定 p、q 之间的关系，最后根据集合的关系列不等式 求解．
(2)①由 log2a＞0 可知 a＞1，故函数 f(x)＝logax(a＞0，a≠1) 在其定义域内是增函数，故①错误．
②正确．
③的逆命题为“相似的多边形是正多边形”是假命题，故③
错误．
④正确．原命题与其逆否命题是等价命题． 【答案】 (1)C (2)②④
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3．命题“若 a＞－3，则 a＞－6”以及它的逆命题、否命题、
逆否命题中假命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 原命题正确，从而其逆否命题正确；其逆命题为 “若 a＞－6，则 a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题， 故选 B.
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6．(2013·湖南高考)“1<x<2”是“x<2”成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 设 A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<2}，∴A B，即当 x0 ∈A 时，有 x0∈B，反之不一定成立．因此“1<x<2”是“x<2”成立的 充分不必要条件． 【答案】 A
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5．(2013·安徽高考)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 当 x＝0 时，显然(2x－1)x＝0；当(2x－1)x＝0 时， x＝0 或 x＝12，所以“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件． 【答案】 B
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(2)(2013·山东高考)给定两个命题 p，q.若綈 p 是 q 的必要而不
充分条件，则 p 是綈 q 的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 【思路点拨】 (1)根据曲线 y＝sin(2x＋φ)过原点时 sin φ＝0
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充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即 “p⇒q”⇔“q⇐p”； (2)传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要) 条件，则 p 是 r 的充分(必要)条件． 注意区分“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必 要条件是 q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”．
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【尝试解答】 方法一：由 2x2－3x＋1≤0 得12≤x≤1， 即命题 p：12≤x≤1， 所以命题綈 p：x＜12或 x＞1. 由 x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0 得 a≤x≤a＋1， 即命题 q：a≤x≤a＋1.
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考向一 [004] 四种命题的关系及真假判断 (1)命题“若 x、y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数”的逆 否命题是( ) A．若 x＋y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 B．若 x＋y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数 C．若 x＋y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 D．若 x＋y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
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【解析】 命题“若 p，则 q”的否命题是“若綈 p，则綈 q”， 将条件与结论进行否定．
∴否命题是：若 a＋b＋c≠3，则 a2＋b2＋c2＜3. 【答案】 A
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【答案】 B
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4．下列命题正确的有________． ①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件； ②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的充要条件； ③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件； ④“a＞b”是“ac2＞bc2”的充要条件． 【解析】 由于|a|＞|b|⇔a2＞b2，a＞b⇔a＋c＞b＋c，故②③ 正确．由于 a＞b a2＞b2，且 a2＞b2D/⇒a＞b，故①错；当 c2＝0 时，a＞b ac2＞bc2，故④错． 【答案】 ②③
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考向三 [006] 充分条件与必要条件的应用 (2014·保定模拟)设命题 p：2x2－3x＋1≤0； 命题 q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈 p 是綈 q 的必要不充 分条件，则实数 a 的取值范围是________．
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规律方法 1 1.(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清 命题的条件与结论，再考查每个命题的条件与结论之间的关系．(2) 当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提 不变．
2．判定命题为真，必须推理证明；若说明为假，只需举出一 个反例．互为逆否命题是等价命题，根据需要，可相互转化．
(2)借助命题真假的判断方式逐一辨析即可．
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【尝试解答】 (1)“x＋y 是偶数”的否定为“x＋y 不是偶
数”，“x，y 都是偶数”的否定为“x，y 不都是偶数”．因此其
逆否命题为“若 x＋y 不是偶数，则 x，y 不都是偶数”．故选 C.
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考向二 [005] 充分条件与必要条件的判定 (1)(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线 y＝sin(2x
＋φ)过坐标原点”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
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1 大 技
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识
点
命题及其关系、充分条件与必要条件
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[考情展望] 1.直接考查“若 p，则 q”形式的四种命题及其 真假性的判定.2.以函数、方程、不等式等知识为载体，考查充分 必要条件的判定方式.3.借助充要条件探索命题成立的依据．
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(2)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命 题的序号)．
①“若 log2a＞0，则函数 f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域 内是减函数”是真命题；
②命题“若 a＝0，则 ab＝0”的否命题是“若 a≠0，则 ab≠0”；
(2)若綈 p 是 q 的必要不充分条件，则 q⇒綈 p 但綈 p q，其
逆否命题为 p⇒綈 q 但綈 q p，∴p 是綈 q 的充分不必要条件． 【答案】 (1)A (2)A
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规律方法 2 充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若 p 则 q”、“若 q 则 p”的真假．并 注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则 p 是 q 的充分条件．
2．等价法：利用 p⇒q 与綈 q⇒綈 p，q⇒p 与綈 p⇒綈 q，p
⇔q 与綈 q⇔綈 p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，
一般运用等价法． 3．集合法：若 A⊆B，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要
条件；若 A＝B，则 A 是 B 的充要条件．
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以及举反例法求解．
(2)借助原命题与逆否命题的等价判断．
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【尝试解答】 (1)当 φ＝π 时，y＝sin(2x＋φ)＝sin(2x＋π)＝－ sin 2x，此时曲线 y＝sin(2x＋φ)必过原点，但曲线 y＝sin(2x＋φ)过 原点时，φ 可以取其他值，如 φ＝0.因此“φ＝π”是“曲线 y＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．
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1．已知 a，b，c∈R，命题“若 a＋b＋c＝3，则 a2＋b2＋c2≥3” 的否命题是( )
A．若 a＋b＋c≠3，则 a2＋b2＋c2＜3 B．若 a＋b＋c＝3，则 a2＋b2＋c2＜3 C．若 a＋b＋c≠3，则 a2＋b2＋c2≥3 D．若 a2＋b2＋c2≥3，则 a＋b＋c＝3
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一、四种命题及其关系 1．四种命题间的相互关系：
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2．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有 相同 的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假 性 没有关系 ． 二、充分条件与必要条件 1．如果 p⇒q，则 p 是 q 的 充分 条件，q 是 p 的 必要 条件． 2．如果 p⇔q，那么 p 与 q 互为 充要条件 ． 3．如果 p q，且 q p，则 p 是 q 的 既不充分又不必要条件 ．
③命题“正多边形都相似”的逆命题为真命题； ④命题“若 a∈M，则 b∉M”与命题“若 b∈M，则 a∉M”等 价．
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【思路点拨】 (1)直接根据逆否命题的定义写出，但应注意 “都是”的否定是“不都是”．
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所以命题綈 q：x＜a 或 x＞a＋1
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因为綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，所以綈 q⇒綈 p，
但綈 p 綈 q. 如图所示：
故a≤12 a＋1≥1
，即 0≤a≤12.
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方法二：由 2x2－3x＋1≤0 得12≤x≤1， 由 x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0 得
a≤x≤a＋1，由綈 p 是綈 q 的必要不充分条件知，p 是 q 的充
分不必要条件，即x12≤x≤1
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2．命题“若 α＝4π，则 tan α＝1”的逆tan α≠1
B．若 α＝4π，则 tan α≠1
C．若 tan α≠1，则 α≠π4 D．若 tan α≠1，则 α＝π4
【解析】 由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的
逆否命题是：若 tan α≠1，则 α≠4π. 【答案】 C
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【思路点拨】 思路一：求綈 p 及綈 q，由綈 q⇒綈 p，但綈 p 綈 q 建立实数 a 的不等关系，解不等式便可．
思路二：由先解不等式把命题 p、q 具体化，再由互为逆否命 题的等价性确定 p、q 之间的关系，最后根据集合的关系列不等式 求解．
(2)①由 log2a＞0 可知 a＞1，故函数 f(x)＝logax(a＞0，a≠1) 在其定义域内是增函数，故①错误．
②正确．
③的逆命题为“相似的多边形是正多边形”是假命题，故③
错误．
④正确．原命题与其逆否命题是等价命题． 【答案】 (1)C (2)②④
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3．命题“若 a＞－3，则 a＞－6”以及它的逆命题、否命题、
逆否命题中假命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 原命题正确，从而其逆否命题正确；其逆命题为 “若 a＞－6，则 a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题， 故选 B.
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6．(2013·湖南高考)“1<x<2”是“x<2”成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 设 A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<2}，∴A B，即当 x0 ∈A 时，有 x0∈B，反之不一定成立．因此“1<x<2”是“x<2”成立的 充分不必要条件． 【答案】 A
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5．(2013·安徽高考)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 当 x＝0 时，显然(2x－1)x＝0；当(2x－1)x＝0 时， x＝0 或 x＝12，所以“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件． 【答案】 B
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(2)(2013·山东高考)给定两个命题 p，q.若綈 p 是 q 的必要而不
充分条件，则 p 是綈 q 的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 【思路点拨】 (1)根据曲线 y＝sin(2x＋φ)过原点时 sin φ＝0
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充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即 “p⇒q”⇔“q⇐p”； (2)传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要) 条件，则 p 是 r 的充分(必要)条件． 注意区分“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必 要条件是 q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”．
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【尝试解答】 方法一：由 2x2－3x＋1≤0 得12≤x≤1， 即命题 p：12≤x≤1， 所以命题綈 p：x＜12或 x＞1. 由 x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0 得 a≤x≤a＋1， 即命题 q：a≤x≤a＋1.
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考向一 [004] 四种命题的关系及真假判断 (1)命题“若 x、y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数”的逆 否命题是( ) A．若 x＋y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 B．若 x＋y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数 C．若 x＋y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 D．若 x＋y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
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【解析】 命题“若 p，则 q”的否命题是“若綈 p，则綈 q”， 将条件与结论进行否定．
∴否命题是：若 a＋b＋c≠3，则 a2＋b2＋c2＜3. 【答案】 A
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【答案】 B
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4．下列命题正确的有________． ①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件； ②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的充要条件； ③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件； ④“a＞b”是“ac2＞bc2”的充要条件． 【解析】 由于|a|＞|b|⇔a2＞b2，a＞b⇔a＋c＞b＋c，故②③ 正确．由于 a＞b a2＞b2，且 a2＞b2D/⇒a＞b，故①错；当 c2＝0 时，a＞b ac2＞bc2，故④错． 【答案】 ②③
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考向三 [006] 充分条件与必要条件的应用 (2014·保定模拟)设命题 p：2x2－3x＋1≤0； 命题 q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈 p 是綈 q 的必要不充 分条件，则实数 a 的取值范围是________．
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规律方法 1 1.(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清 命题的条件与结论，再考查每个命题的条件与结论之间的关系．(2) 当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提 不变．
2．判定命题为真，必须推理证明；若说明为假，只需举出一 个反例．互为逆否命题是等价命题，根据需要，可相互转化．
(2)借助命题真假的判断方式逐一辨析即可．
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【尝试解答】 (1)“x＋y 是偶数”的否定为“x＋y 不是偶
数”，“x，y 都是偶数”的否定为“x，y 不都是偶数”．因此其
逆否命题为“若 x＋y 不是偶数，则 x，y 不都是偶数”．故选 C.
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考向二 [005] 充分条件与必要条件的判定 (1)(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线 y＝sin(2x
＋φ)过坐标原点”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件