摩尔-库仑模型与其在FLAC3D中的应用

摩尔-库仑模型及其在FLAC3D 中的应用
摘要: 本文首先阐述了塑性流动理论的增量方程，结合摩尔库仑破坏准则和拉伸破坏准则形
成了FLAC 3D
中采用的摩尔库仑本构模型，并指出不同的应力计算值I ij σ条件下N ij σ的计算方
法。

最后通过模型试验与解析方法进行对比，发现FLAC 3D
计算结果与简单模型下精确的解析解吻合较好，但在变性较大时逐渐出现一定偏差。

关键词: 摩尔-库仑模型，增量方程，流动法则，FLAC 3D
1. 塑性流动理论的增量方程 一般情况下，破坏准则可表示为
()0n f σ=（1）
式中，f 为已知屈服函数，用来判定塑性流动开始产生。

在主应力空间中，为一曲面，落在曲面内的应力点为弹性状态。

塑性状态下的应变增量可表示为弹性应变增量和塑性应变增量之和：
e p i i i εεε∆=∆+∆（2）
弹性应变增量和弹性应力增量的关系表示为：
()e i i n S σε∆=∆ （3）
式中，i S 为弹性应变增量的线性方程。

流动法则规定了塑性应变增量向量的方向，即与塑性势面的方向垂直，表示为：
p i i
g
ελ
σ∂∆=∂（4） 得到的新的应力矢量应满足屈服方程：
()0n n f σσ+∆=（5）
式（5）提供了一个估计塑性应变增量矢量的表达式。

将式（2）代入式（3），且考虑到i S 为线性函数，得：
()()p i i n i n S S σεε∆=∆-∆（6）
再将流动法则（4）代入得：
()(
)i i n i n
g
S S σελσ∂∆=∆-∂（7） 假定破坏函数()n f σ为线性函数，式（5）可表示为：
*()()0n n f f σσ+∆= （8）
式中，*
f 代表函数f 减去其常量值，*(.)(.)(0)n f f f =-。

对于位于屈服面上的应力点，()0n f σ=，式（8）可转化为，
**(())((
))0n n n n
g
f S f S ελσ∂∆-=∂（9） 此时，定义新的应力分量为：
N i i i σσσ=+∆（10）
()I i i i n S σσε=+∆ （11）
根据式（11），可得：
*()(())I n n n f f S σε=∆ （12）
综合式（9），（12），可得λ：
*
()
(())(0)
I
n n n n f f S g f σλσ=∂∂-（13） 根据应力增量表达式（7），估算应力（11），新的应力（10）可表示为：
(
)N I i i i n
g
S σσλσ∂=-∂（14） 2. 莫尔库伦模型（IN FLAC3D ）
莫尔库伦模型的破坏包线包括两部分，一段剪切破坏包线和一段拉伸破坏包线。

与剪切破坏相对应的是相关联的流动法则，与拉伸破坏对应的是不相关联的流动法则。

在FLAC 3D 中，莫尔库伦模型表示在1σ，2σ，3σ主应力空间中，对应的应变分量为主应变
1ε，2ε，3ε。

弹性增量方程
主应力空间中，虎克定律的增量表达式可写为，
111223()e e
e σαεαεε∆=∆+∆+∆ 212213()e e e σαεαεε∆=∆+∆+∆（15） 313212()e e e σαεαεε∆=∆+∆+∆
式中，1α和2α为由剪切模量和体积模量定义的材料常数。

14
3K G α=+
22
3
K G α=- (16)
根据式（3），式（15）可改写为：
112311223(,,)()e e e e e e S εεεαεαεε∆∆∆=∆+∆+∆
212312213(,,)()e e e e e e S εεεαεαεε∆∆∆=∆+∆+∆ （17） 312313212(,,)()e e e e e e S εεεαεαεε∆∆∆=∆+∆+∆
复合破坏准则
莫尔库伦模型所采用的破坏准则为摩尔库仑准则和最大拉应力准则。

三个主应力为
123σσσ≤≤。

破坏准则在13(,)σσ面表示如图1。

图1 FLAC 3D 莫尔库伦破坏准则
破坏包线13(,)0f σσ=，在A 到B 上由莫尔库伦准则0s
f =定义，
132s f N φσσ=-+ （18）
在B 到C 上由拉伸破坏准则0t f =定义，
3t t f σσ=-（19）
式中，φ为摩擦角，c 为粘聚力，t
σ为抗拉强度
1sin()
1sin()
N φφφ+=
- (20)
由图1可见，材料的抗拉强度不能超过0s f =和13σσ=交点对应的3σ值，因此抗拉强度的最大值为
max tan t c
σφ
=
(21) 2.3 流动法则
塑性势面由两个方程来描述，s g 和t g ，分别用来定义剪切塑性流动和拉伸塑性流动。

函数s g 为不相关联的流动法则，
13s g N σσψ=- （22）
式中，ψ为膨胀角，
1sin 1sin N ψ+ψ
=
-ψ
（23）
函数t g 为相关联的流动法则，
3t g σ=- （24）
统一的流动法可由函数13(,)0h σσ=定义，为0s f =和0t f =的对角线，如图2所示。

31()P t P h a σσσσ=-+- (25)
P a N φ=(26)
2P t N φσσ=- (27)
图2 莫尔库伦模型－流动法则
当由式（11）计算出的I
i σ对应的应力点落在图2所示domain 1中，产生剪切破坏，应力点在相应曲线0s
f =上，流动法则由塑性势方程s
g 推得。

如果点落在domain 2中，发生拉伸破坏，新的应力点在0t
f =上，由流动法则t
g 推出。

2.4 塑性修正
首先考虑剪切破坏的情况。

式（22）进行偏微分可得：
1
1s
g σ∂=∂ 2
0s
g σ∂=∂ （28） 3
s
g N σψ∂=-∂ 将1s
g
σ∂∂，2s g σ∂，3s g σ∂∂代换1e ε∆，2e ε∆，3e
ε∆，式（17）变为：
112123,,s s s g g g S N αασσσψ⎛⎫∂∂∂=- ⎪∂∂∂⎝⎭
22123,,(1)s s s g g g S N ασσσψ⎛⎫∂∂∂=- ⎪∂∂∂⎝⎭（29） 312123,,s s s g g g S N αασσσψ⎛⎫∂∂∂=-+ ⎪∂∂∂⎝⎭
由式（14），（18）可得：
1112()N I s N σσλααψ=-- 222(1)N I s N σσλαψ=--（30） 3312()N I s N σσλααψ=--+
且，
131212(,)
()()s I I s
f N N N σσλααααψψψ
=
---+（31） 考虑拉伸破坏的情况，类似方法可得：
2
1131
()N I I t ασσσσα=-- 2
2231
()N I I t ασσσσα=--（32） 3N t σσ=
3. FLCA 3D 执行方法
当在FLCA 3D 中运行莫尔库伦模型时，首先通过将由虎克定律计算出的应力增量叠加到原有应力上计算（I
ij σ），这时可计算出主应力。

如果主应力达到破坏准则，进入domain 1或者domain 2。

在第一种情况下，产生剪切破坏，1N
σ,2N
σ,3N
σ 由式（30）求得；在第二种情况下，产生拉伸破坏，1N
σ,2N
σ,3N
σ 由式（32）求得。

如果应力点
()1
3,I
I σ
σ在()13,σσ平面上落在包线内部，
那么表明在这一步计算中没有出现塑性流动，新的主应力为,1,3I
i i σ=。

4.模型验证
如图3所示，x ，z 方向主应力相等，边界条件为
110
ε∆=
22
/ v t L
ε∆=∆（33）
330
ε∆=
式中，v是试样y方向的恒定变形速率，L为试样高度。

图3 模型实验边界条件
在FLAC3D中，采用一单元进行模拟，计算坐标（0，1，0）在指定竖向位移下的竖向应力并与解析解对比，结果如图4，5。

经计算发现，解析解与数值解吻合较好，当点的竖向位移较大时，存在偏差。

5．结论
将塑性理论的增量模型及摩尔库仑准则和拉伸破坏准则相结合，形成FLAC3D中采用的摩尔库
仑模型。

针对不同的应力计算值I
ij
σ，在FLAC3D中采用不同的处理方法。

最后通过模型试验与解析方法进行对比，发现FLAC3D计算结果与简单模型下精确的解析解吻合较好，但在变形较大时逐渐出现一定偏差。

σvs S y (膨胀角100)图4
y
σvs S y(膨胀角00)图5
y
6. 参考文献
[1] Itasca Consulting Group, Inc. FLAC3D User Manuals, Version 2.1, Minneapolis, Minnesota, 2002.6
[2] Wood，D.M. Soil Behavior and CriterionState Soil Mechanics. Cambridge: CambridgeUniversity Press, 1990.
[3]钱家欢,殷宗泽. 土工原理与计算. 北京:中国水利水电出版社,1996
[4]郑颖人,沈珠江,龚晓南. 岩土塑性力学原理. 北京:中国建筑工业出版社,2002。