人教版初中数学八年级下册期中试题(山东省临沂市蒙阴县

2018-2019学年山东省临沂市蒙阴县八年级（下）期中数学试卷一、选择题：相信你一定能选对！（下列各小题的四个选项中，有且只有一个是符合题意的，把你认为符合题意的答案代号填入答题表中，每小题3分，共36分）
1．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≤2
2．（3分）以下列线段为边，不能组成直角三角形的是（）
A．1cm，3cm，cm B．13cm，12cm，5cm
C．6cm，8cm，10cm D．8cm，15cm，17cm
3．（3分）▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是（）
A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF 4．（3分）下列运算正确的是（）
A．+＝B．＝2C．•＝D．÷＝2 5．（3分）如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（）
A．110°B．35°C．70°D．55°
6．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO＝4，则▱ABCD的周长为（）
A．20B．16C．12D．8
7．（3分）如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）
A．+1B．﹣+1C．﹣1D．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝4，BD＝10，AC＝6，则▱ABCD的面积（）
A．20B．24C．40D．60
9．（3分）若a＝+1，b＝﹣1，则（﹣）的值为（）A．2B．﹣2C．D．2
10．（3分）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝，则∠CDE+∠ACD＝（）
A．60°B．75°C．90°D．105°
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF．添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（）
A．AD＝BC B．CD＝BF C．∠A＝∠C D．∠F＝∠CDF 12．（3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）计算：2×（1﹣）+＝．
14．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边的长为．15．（3分）代数式有意义，则字母x的取值范围是．
16．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC．则BD＝．
17．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线BD上移动，则P A+PE的最小值是．
18．（3分）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．（10分）（1）（2﹣π）0+|4﹣3|﹣
（2）（﹣）（+）﹣（﹣1）2
20．（7分）如图，O是矩形ABCD的对角线的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，求四边形ABOM的周长．
21．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC 的中点．
（1）求证：DE＝DF，DE⊥DF；
（2）连接EF，若AC＝10，求EF的长．
22．（9分）先化简，再求值：1﹣÷，其中a、b满足（a﹣）2+＝0．
23．（9分）在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．请画出三个图形，并直接写出其周长（所画图象全等的只算一种）．
图1中所画直角三角形周长：．
图2中所画直角三角形周长：．
图3中所画直角三角形周长：．
24．（10分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
25．（12分）阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．
结合小敏的思路作答
（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决以下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
2018-2019学年山东省临沂市蒙阴县八年级（下）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：相信你一定能选对！（下列各小题的四个选项中，有且只有一个是符合题意的，把你认为符合题意的答案代号填入答题表中，每小题3分，共36分）
1．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≤2
【分析】根据被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：2﹣x＞0，
解得：x＜2．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．2．（3分）以下列线段为边，不能组成直角三角形的是（）
A．1cm，3cm，cm B．13cm，12cm，5cm
C．6cm，8cm，10cm D．8cm，15cm，17cm
【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵12+（）2≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项正确；
B、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵62+82＝102，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵82+152＝172，∴能构成直角三角形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．（3分）▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是（）
A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF 【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，
然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，
在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、若AE＝CF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本
选项不符合题意；
D、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，
然后同A，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
4．（3分）下列运算正确的是（）
A．+＝B．＝2C．•＝D．÷＝2【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝3，所以B选项错误；
C、原式＝＝，所以C选项错误；
D、原式＝＝2，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5．（3分）如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（）
A．110°B．35°C．70°D．55°
【分析】根据平行四边形的对角相等求出∠BCD的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的∠A＝110°，
∴∠BCD＝∠A＝110°，
∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
6．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO＝4，则▱ABCD的周长为（）
A．20B．16C．12D．8
【分析】首先证明：OE＝BC，由AE+EO＝4，推出AB+BC＝8即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE＝EB，
∴OE＝BC，
∵AE+EO＝4，
∴2AE+2EO＝8，
∴AB+BC＝8，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×8＝16，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．
7．（3分）如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）
A．+1B．﹣+1C．﹣1D．
【分析】先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．
【解答】解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，
∴斜边长为：＝，
∴﹣1到A的距离是，那么点A所表示的数为：﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝4，BD＝10，AC＝6，则▱ABCD的面积（）
A．20B．24C．40D．60
【分析】由▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，若AC＝6，BD＝10，AB＝4，易求得OA与OB的长，又由勾股定理的逆定理，证得AC⊥AB，从而求得面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝6，BD＝10，AB＝4，
∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝5，
∴OA2+AB2＝OB2，
∴△OAB是直角三角形，且∠BAO＝90°，
∴▱ABCD的面积＝AB•AC＝4×6＝24，
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握
数形结合思想的应用．
9．（3分）若a＝+1，b＝﹣1，则（﹣）的值为（）A．2B．﹣2C．D．2
【分析】先利用二次根式的乘法法则和二次根式的性质计算得到原式＝|a|﹣|b|，然后把a、b的值代入计算即可．
【解答】解：（﹣）＝﹣
＝﹣
＝|a|﹣|b|，
∵a＝+1，b＝﹣1，
∴原式＝|+1|﹣|﹣1|
＝+1﹣（﹣1）
＝+1﹣+1
＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
10．（3分）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝，则∠CDE+∠ACD＝（）
A．60°B．75°C．90°D．105°
【分析】根据直角三角形的性质得到BC＝2DE＝，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB ＝90°，根据三角函数的定义得到∠A＝60°，求得∠ACD＝∠B＝30°，得到∠DCE＝60°，于是得到结论．
【解答】解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，
∴BC＝2DE＝，
∵AB＝2，AC＝1，
∴AC2+BC2＝12+（）2＝4＝22＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠A＝＝，
∴∠A＝60°，
∴∠ACD＝∠B＝30°，
∴∠DCE＝60°，
∵DE＝CE，
∴∠CDE＝60°，
∴∠CDE+∠ACD＝90°，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，三角函数的定义，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF．添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（）
A．AD＝BC B．CD＝BF C．∠A＝∠C D．∠F＝∠CDF 【分析】正确选项是D．想办法证明CD＝AB，CD∥AB即可解决问题；
【解答】解：正确选项是D．
理由：∵∠F＝∠CDF，∠CED＝∠BEF，EC＝BE，
∴△CDE≌△BFE，CD∥AF，
∴CD＝BF，
∵BF＝AB，
∴CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
12．（3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）
A．3B．4C．5D．6
【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
【解答】解：如图所示：
∵（a+b）2＝21，
∴a2+2ab+b2＝21，
∵大正方形的面积为13，
2ab＝21﹣13＝8，
∴小正方形的面积为13﹣8＝5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）计算：2×（1﹣）+＝2．
【分析】先算乘法，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：2×（1﹣）+
＝2﹣2+2
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的加减，能正确合并同类二次根式是解此题的关键．14．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边的长为5或．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】解：设第三边为x，
（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
32+42＝x2，
∴x＝5；
（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
32+x2＝42，
∴x＝；
∴第三边的长为5或．
故答案为：5或．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
15．（3分）代数式有意义，则字母x的取值范围是x≤1且x≠﹣2．【分析】根据分母不为零分式有意义，被开方数是非负数，可得到答案．
【解答】解：由题意，得
1﹣x≥0且x+2≠0，
解得x≤1且x≠﹣2，
故答案为：x≤1且x≠﹣2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用分母不为零分式有意义，被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
16．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC．则BD＝4．
【分析】由BC⊥AC，AB＝10，BC＝AD＝6，由勾股定理求得AC的长，得出OA长，然后由勾股定理求得OB的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，OB＝OD，OA＝OC，
∵AC⊥BC，
∴AC＝＝8，
∴OC＝4，
∴OB＝＝2，
∴BD＝2OB＝4
故答案为：4．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
17．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线
BD上移动，则P A+PE的最小值是．
【分析】作出点E关于BD的对称点E′交BC于E′，连接AE′与BD交于点P，此时AP+PE最小，求出AE′的长即为最小值．
【解答】解：作出点E关于BD的对称点E′交BC于E′，连接AE′与BD交于点P，此时AP+PE最小，
∵PE＝PE′，
∴AP+PE＝AP+PE′＝AE′，
在Rt△ABE′中，AB＝3，BE′＝BE＝1，
根据勾股定理得：AE′＝，
则P A+PE的最小值为．
故答案为：．
【点评】此题考查了轴对称﹣最短线路问题，以及正方形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
18．（3分）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为2或2．
【分析】分两种情况：
①当△ABC是锐角三角形，如图1，
②当△ABC是钝角三角形，如图2，
分别根据勾股定理计算AC和BC即可．
【解答】解：分两种情况：
①当△ABC是锐角三角形，如图1，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∵CD＝，AD＝1，
∴AC＝2，
∵AB＝2AC，
∴AB＝4，
∴BD＝4﹣1＝3，
∴BC＝＝＝2；
②当△ABC是钝角三角形，如图2，
同理得：AC＝2，AB＝4，
∴BC＝＝＝2；
综上所述，BC的长为2或2．
故答案为：2或2．
【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．（10分）（1）（2﹣π）0+|4﹣3|﹣
（2）（﹣）（+）﹣（﹣1）2
【分析】（1）根据零指数幂的意义和绝对值的意义计算；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．
【解答】解：（1）原式＝1+3﹣4﹣3
＝﹣3；
（2）原式＝5﹣3﹣（2﹣2+1）
＝2﹣3+2
＝﹣1+2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（7分）如图，O是矩形ABCD的对角线的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，求四边形ABOM的周长．
【分析】由矩形的性质和勾股定理求出AB，再证明OM是△ABD的中位线，得出OM＝
AB＝3，即可得出四边形ABOM的周长．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝10，
∵O是BD的中点，
∴OB＝BD＝5，
∵M是AD的中点，
∴AM＝AD＝4，OM是△ABD的中位线，
∴OM＝AB＝3，
∴四边形ABOM的周长＝AB+OB+OM+AM＝6+5+3+4＝18．
【点评】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
21．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC 的中点．
（1）求证：DE＝DF，DE⊥DF；
（2）连接EF，若AC＝10，求EF的长．
【分析】（1）证明△BDG≌△ADC，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质证明；
（2）根据直角三角形的性质分别求出DE、DF，根据勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△BDG和△ADC中，
，
∴△BDG≌△ADC，
∴BG＝AC，∠BGD＝∠C，
∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E，F分别是BG，AC的中点，
∴DE＝BG＝EG，DF＝AC＝AF，
∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠F AD，
∴∠EDG+∠FDA＝90°，
∴DE⊥DF；
（2）解：∵AC＝10，
∴DE＝DF＝5，
由勾股定理得，EF＝＝5．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22．（9分）先化简，再求值：1﹣÷，其中a、b满足（a﹣）2+＝0．
【分析】首先化简1﹣÷，然后根据a、b满足（a﹣）2+＝
0，求出a、b的值各是多少，再把求出的a、b的值代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
＝1﹣
＝1﹣
＝
＝
∵a、b满足，
∴a﹣＝0，b+1＝0，
∴a＝，b＝﹣1，
当a＝，b＝﹣1时，
原式＝＝．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，注意先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
23．（9分）在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．请画出三个图形，并直接写出其周长（所画图象全等的只算一种）．
图1中所画直角三角形周长：5+．
图2中所画直角三角形周长：2+．
图3中所画直角三角形周长：3+5．
【分析】利用网格特点和全等三角形的性质画直角三角形，然后根据勾股定理定理计算
各三角形的边长得到它们的周长．
【解答】解：如图1、2、3，
图1中所画直角三角形周长＝2+3+＝5+．
图2中所画直角三角形周长＝++＝2+；
图3中所画直角三角形周长＝+2+5＝3+5．
故答案为5+；2+；3+5．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．
24．（10分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△F AE≌△CDE，即可得到CD＝F A，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD＝DE，再根据E是AD的中点，可得AD＝2CD，依据AD＝BC，即可得到BC＝2CD．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠F AE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△F AE≌△CDE，
∴CD＝F A，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）BC＝2CD．
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE＝45°，
∵∠CDE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝DE，
∵E是AD的中点，
∴AD＝2CD，
∵AD＝BC，
∴BC＝2CD．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
25．（12分）阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．
结合小敏的思路作答
（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决以下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
【分析】（1）如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF＝AC，然后根据平行四边形判定定理即可得到结论；
（2）①由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG＝BD，HG＝AC，于是得到当AC＝BD时，FG＝HG，即可得到结论；
②根据平行线的性质得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF＝90°，根据矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）是平行四边形，
证明：如图2，连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC，
同理HG∥AC，HG＝AC，
综上可得：EF∥HG，EF＝HG，
故四边形EFGH是平行四边形；
（2）①AC＝BD．
理由如下：
由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG＝BD，HG＝AC，
∴当AC＝BD时，FG＝HG，
∴平行四边形EFGH是菱形，
②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；
理由如下：
同（2）得：四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，GH∥AC，
∴GH⊥BD，
∵GF∥BD，
∴GH⊥GF，
∴∠HGF＝90°，
∴四边形EFGH为矩形．
【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．。