湖北省荆门市2019年中考数学试题(含答案)

荆门市2019年初中学业水平考试
数学
本试卷共6页，24题。

全卷满分120分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

1．2-的倒数的平方是
A ．2
B ．
2
1 C ．2-
D ．2
1-
2．已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒.用科学计数法表示31536000正确的是
A ．6101536.3⨯
B ．7101536.3⨯
C ．610536.31⨯
D ．81031536.0⨯
3．已知实数x ,y 满足方程组321,2.
x y x y -=⎧⎨+=⎩则22
2y x
-的值为
A ．1-
B ．1
C ．3
D ．3-
4．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角 边互相垂直，则1∠的度数是 A ．︒95 B ．︒100
C ．︒105
D ．︒110
5．抛物线442
-+-=x x y 与坐标轴的交点个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．不等式组2131
5,3212
3(1)152(1).
x x x x x -+⎧-≤-⎪
⎨⎪-+>--⎩的解集为 A ．02
1
<<-
x B ．021
≤<-
x
C ．02
1
<≤-
x D ．02
1
≤≤-
x 7．投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为b a ,.那么方程02=++b ax x 有解的概率是
A ．
2
1 B ．
3
1 C ．
15
8 D ．
36
19 8．欣欣服装店某天用相同的价格)0(>a a 卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是 A ．盈利 B ．亏损
C ．不盈不亏
D ．与售价a 有关
9．如果函数b kx y +=（b k ,是常数）的图象不经过第二象限，那么b k ,应满足的条件是
A ．0≥k 且0≤b
B ．0>k 且0≤b
C ．0≥k 且0<b
D ．0>k 且0<b
10．如图，OCB △Rt 的斜边在y 轴上，3=OC ，含︒30角的顶点与原点重合，直角顶点C 在第二象限，
将OCB △Rt 绕原点顺时针旋转︒120后得到B C O ''△,则B 点的对应点B '的坐标是 A ．)1,3(- B ．)3,1(-
C ．)0,2(
D ．)0,3(
11．下列运算不正确的是 A ．)1)(1(1+-=--+y x y x xy B ．2222)(2
1
z y x zx yz xy z y x ++=+++++
C ．3322))((y x y xy x y x +=+-+
D ．32233
33)
(y xy y x x y x -+-=-
12．如图，ABC △内心为I ,连接AI 并延长交ABC △的 外接圆于D ,则线段DI 与DB 的关系是 A ．DB DI = B ．DB DI >
C ．DB DI
<
D ．不确定
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

13．计算
=-+-︒++30827
π30sin 3
21.
14．已知21,x x 是关于x 的方程
012)13(22=++++k x k x 的两个不相等实数根，且满足
2218)1)(1(k x x =--，则k 的值为.
15．如图，在平面直角坐标系中，函数)0,0(>>=
x k x
k
y 的图象与等边三角形OAB 的边OA ，AB 分别交于点M ,N ，且MA OM 2=,若3=AB ,那么点N 的横坐标为.
16．如图，等边三角形ABC 的边长为2，以A 为圆心，1为半径作圆分别交AC AB ,边于E D ,,再以点C
为圆心，CD 长为半径作圆交BC 边于F ,连接F E ,,那么图中阴影部分的面积为. 17．抛物线c bx ax y ++=2
(c b a ,,为常数）的顶点为P ,且抛物线经过点)0,1(-A ,)0,(m B ，
)0,31)(,2(<<<-n m n C .下列结论：
①0>abc ， ②03<+c a ，
③,02)1(>+-b m a ④1-=a 时，存在点P 使PAB △为直角三角形.
其中正确结论的序号为.
三、解答题：共69分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（8分）
先化简，再求值：
b a b a a b a b a b a b a 343322)(2222÷--+-⋅-+，其中2,3==b a .
19.（9分）
如图，已知平行四边形ABCD 中，132,3,5===AC BC AB . (1)求平行四边形ABCD 的面积； (2)求证：BC BD ⊥.
20.（10分）
高尔基说：“书，是人类进步的阶梯.”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处.为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图.其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据.
(1)求条形图中丢失的数据,并写出阅读书册数的众数和中位数；
(2)根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；
(3)若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？
21.（10分）
已知锐角ABC △的外接圆圆心为O ,半径为R . (1)求证：
R B
AC
2sin =； (2)若ABC △中3,60,45=︒=∠︒=∠AC B A ,求BC 的长及C sin 的值.
22.（10分）
如图，为了测量一栋楼的高度OE ,小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B 处,恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （D C B A O ,,,,在同一条直线上）.测得m 2=AC ,m 1.2=BD ,如果小明眼睛距地面高度DG BF ,为
m 6.1，试确定楼的高度OE .
23.（10分）
为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓.根据市场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m （元/公斤）与第x 天之间满足315 (115),
75 (1530).x x m x x +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩
（x 为正整
数），销售量n （公斤）与第x 天之间的函数关系如图所示：
如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元.
(1)求销售量n 与第x 天之间的函数关系式；
(2)求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y 与第x 天之间的函数关系式；（日销售利润=日销售额-日维护费）
(3)求日销售利润y 的最大值及相应的x .
24.（12分）
已知抛物线c bx ax
y ++=2
顶点)1,2(-，经过点)3,0(，且与直线1-=x y 交于B A ,两点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若在抛物线上恰好存在三点N M Q ,,,满足S S S S NAB MAB QAB ===△△△，求S 的值；
(3)在B A ,之间的抛物线弧上是否存在点P 满足︒=∠90APB ？若存在，求点P 的横坐标，若不存在，请说明理由.
(坐标平面内两点),(),,(2211y x N y x M 之间的距离2
212
21)()(y y x x MN -+-=）
荆门市2019年初中学业水平考试
数学试题参考答案
一、选择题
1.B
2.B
3.A
4.C
5.C
6.C
7.D
8.B
9.A 10.A 11.B 12.A
二、填空题
13.31- 14.1
15.
253+
16.
432312π-+
17.②③
三、解答题 18.解： 原式=
)
(34)(3)(222b a ab
b a b a ---+
)(34)(2222b a ab b a --+=
)
(3)(22
222b a b a -+=, 2, 3==b a ，∴原式3
10
)23(3)23(2=-+=
.
19.解：
(1)作AB CE ⊥,交AB 的延长线于E , 设h CE x BE ==,，
在CEB ∆Rt 中：922=+h x ……① 在CEA ∆Rt 中：52)5(2
2
=++h x ……② 联立①②解得：5
12,59==
h x ，
∴平行四边形ABCD 的面积为12=⋅h AB ；
(2)如图：作AB DF ⊥,垂足为F ,
ADF ∆ ≌BCE ∆,5
12
,516,59====∴DF BF BE AF ,
在DFB ∆Rt 中：
16)5
16
()512(22222=+=+=BF DF BD ,
4=∴BD ,又5,3==DC BC ,BC BD BC BD DC ⊥∴+=222.
20.解：
(1)设阅读5册书的人数为x ，由统计图可知：
%3012
8612
=+++x ，14=∴x ；
∴阅读书册数的众数是5，中位数是5；
(2)阅读5册书的学生人数频率为
20
7
14128614=+++
该校阅读5册书的学生人数约为
420120020
7
=⨯（人）； (3)设补查人数为y ,依题意：148612+<++y ，4<∴y ，
∴最多补查了3人.
21.解：
(1)连接AO 并延长交圆于D 点，连接CD ,
AD ∵为直径，︒=∠∴90ACD ,且ADC ABC ∠=∠, 在ACD ∆Rt 中：R
AC
AD AC ADC ABC 2sin sin ==
∠=∠, R B
AC
2sin =∴
； (2)由(1)知
R B AC 2sin =，同理可得R A BC
C AB 2sin sin ==
260sin 3
2=︒
=
∴R ，
245sin 2sin 2=︒=⋅=∴A R BC ，
如图，作AB CE ⊥,垂足为E ,
2260cos 2cos =︒=⋅=∴B BC BE ， 2
6
45cos 3cos =︒=⋅=A AC AE ，
22
26+=+=∴BE AE AB ,
4
2
62sin ,sin 2+==
∴⋅=R AB C C R AB . 22.解：
设E 关于点O 的对称点为M ,由光的反射定律知，延长FA GC ,相交于M ， 连接GF 并延长交OE 于H ,
GF ∥AC ,MAC ∆∴∽MFG ∆,
MH
MO
MF MA FG AC ==∴
, 即
BF
OE OE
OH MO OE MH OE BD AC +=+==,
1
.22
6.1=+∴
OE OE ,
32=∴OE .
答：楼的高度OE 为32米.
23.解：
(1)当101≤≤x 时，设b kx n +=，由图可知：⎩⎨
⎧+=+=b
k b
k 103012，解得10,2==b k ，
102+=∴x n ，
同理当1030x <≤时，444.1+-=x n ，
210(110)1.444(1030)x x n x x +≤≤⎧∴=⎨-+<≤⎩
；
(2)80-=mn y ，(210)(315)80(110)
( 1.444)(315)80(1015)( 1.444)(75)80(1530)x x x y x x x x x x ++-≤≤⎧⎪
∴=-++-<<⎨⎪-+-+-≤≤⎩
即222
66070(110)4.2111580(1015)1.41493220(1530)
x x x y x x x x x x ⎧++≤≤⎪
∴=-++<<⎨⎪-+≤≤⎩；
(3) 当101≤≤x 时，706062
++=x x y 的对称轴是5-=x ，
y ∴的最大值是127010=y ，
当1015x <<时，5801112.42
++-=x x y 的对称轴是5.132.134
.8111
<≈=
x ， y ∴的最大值是2.131313=y ，
当3015≤≤x 时，32201494.12
+-=x x y 的对称轴是308
.2149
>=
x ， y ∴的最大值是130015=y ，
综上，草莓销售第13天时，日销售利润y 最大，最大值是2.1313元. 24.解：
(1)依题意)0(1)2(2
2
>--=++=a x a c bx ax y ，将点)3,0(代入得：
314=-a ，1=∴a ，
∴函数的解析式为342+-=x x y ；
(2) 作直线AB 的平行线l ，当l 与抛物线有两个交点时，由对称性可知：l 位于直线AB 两侧且与l 等距离时，会有四个点符合题意，因为当l 位于直线AB 上方时，l 与抛物线总有两个交点N M ,满足N A B M A B S S ∆∆=，所以只有当l 位于直线AB 下方且与抛物线只有一个交点Q 时符合题意，此时QAB ∆面积最大；
设)34,(2+-t t t Q ，作QC ∥y 轴交AB 于)1,(-t t C ， 那么)45(23)]34()1[(23)(2122-+-=+---=-=∆t t t t t x x QC S A B QAB 当25=
t 时QAB ∆面积最大，最大面积为827，8
27=∴S ； (3)若存在点P 满足条件，设)41)(1)2(,(2
<<--t t t P ， PB PA ⊥ ,222AB PB PA =+∴,
即18]4)2[()4(]1)2[()1(2
22222=--+-+--+-t t t t ， 设)21(2<<-=-m m t ，代入上式得： 18)4()2()1()1(222222=-+-+-++m m m m ， 02424=+--∴m m m ，即0)2()4(22=---m m m ， 0)1)(2(223=-++-∴m m m m ，即0)1)(1)(2(2=-++-m m m m ， 01,02,21>+<-∴<<-m m m ，012=-+∴m m , 251+-=∴m 或12
51-<--=m （舍去）， 代入m t =-2得：2
53+=t ， 综上所述，存在点P 满足条件，点P 的横坐标为
253+.。