高中数学 考前归纳总结 平面向量易错题剖析

在平面向量的复习中，首先要掌握其基本概念与运算．如果不能正确理解向量的基础知
识，或在某些概念及公式的理解上存在模糊认识，就会造成一些表面看起来正确而实际上错
误的判断，使解题思路走入误区，现例举如下：
1.已知2,3a b ==，a 与b 的夹角为45°，当向量a b λ+与a b λ+的夹角为锐角 时，求实数A 的范围．
错解：由已知cos 453a b a b ==，∵a b λ+与a b λ+的夹角为锐角，
∴()()0a b a b λλ++>，
即222(1)0a b a b λλλ+++=,2
293(1)0λλλ+++>
解得λ>λ<
∴实数λ的范围是1111(
)(,66--+∞-∞ 分析：解题时忽视了a b λ+与a b λ+的夹角为0的情况，也就是()()0a b a b λλ++>既 包括了a b λ+与a b λ+的夹角为锐角，也包括了a b λ+与a b λ+的夹角为0，而
a b λ+与a b λ+的夹角为0不合题意． 正解：由已知cos 453a b a b ==，又a b λ+与a b λ+的夹角为锐角
∴()()0a b a b λλ++>，且()a b a b λμλ+≠+，
由()()0a b a b λλ++>，
即222(1)0a b a b λλλ+++=,231130λλ++>
解得λ>或λ< 由()a b a b λμλ+≠+得1,μλμλ≠≠，即1λ≠，
综上所述实数λ的范围是(1,)(,6
+∞-∞。

2．已知O 为ABC ∆所在平面内一点且满足230OA OB OC ++=，则AOB ∆与AOC ∆的 面积之比为 ( )
A ．1 B.32
.23
C D ．2
错解：0,2OA OB OC OB OC ++=∴=- ∴O 在BC 边上，且2OB OC =,
又△AOB 与△AOC 高相等，∴AOB ∆与AOC ∆的 面积之比为2，∴选D ．
分析： 缺乏联想能力，将常用结论记错是本题错误的原因，实际上只有O 为△ABC 的
重心的情况下，才有0OA OB OC ++=，而本题无此已知条件．
正解： 在AB 上取一点D ，使2AD DB =，D ∴分AB 的比2λ=，得
1233OD OA OB =+，又由已知12,33OC OA OB OD OC =-∴=-，∴O 为CD 的
中点，不妨设AOC S S ∆=，则AOD S S =(∵两者等底同高)，2AD BD =， 13,22
BOD AOB S S S S ∆∆∴==，△AOB 的面积与△AOC 的面积之比为3：2，选B ． 3. 在边长为1的正三角形ABC 中，求AB BC BC CA CA AB ++的值．
错解：cos60cos60AB BC BC CA CA AB AB BC BC CA ++=+
1113cos602222
CA AB +=++=． 分析：两向量夹角的定义的前提是其起点要重合．向量AB 与BC ，BC 与CA ，CA 与 AB 的夹角通过平移后发现都不是60°，而是120°．这是由于对两向量夹角的定 义理解不透造成的．
正解：cos120cos120cos120AB BC BC CA CA AB AB BC BC CA CA AB ++=++
1113()()()2222
=-+-+-=-． 注意：向量a 与b 的夹角为锐角的充要条件是0a b >且a 与b 不共线．这里，a 与b 不 共线不能忽略．
4. 向量a 、b 都是非零向量，且向量3a +b 与7-5a b 垂直，4-a b 与7-2a b 垂直，求a 与b 的夹角．
错解：由题意，得(3)(7)0-5=a +b a b ，① ()(7)0-4-2=a b a b ，②
将①、②展开并相减，得24623a b =b ，③
∵≠0b ，故12
a =
b ，④ 将④代入②，得22=a b ，
则=a b ， 设a 与b 夹角为θ，则2112cos 2θ2===b a b a b b
． ∵0180θ≤≤，∴60θ=．
分析：上面解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误，即由③得到④，错把 数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上．由于向量的数量积不满足消去 律，所以即使≠0b ，也不能随便约去．
正解：设向量a 、b 的夹角为θ，由上面解法有22a b =b ，代入①式、②式均可得 22=a b ，则=a b ，∴1cos 2
θ==a b a b ． 又∵0θ≤≤180，∴60θ=．5. 已知,,A B C 三点的坐标分别为(12)-，，(35)-，，(52)-，，试判断ABC ∆的形状。

错解：∵1(3)(2)5130⨯-+-⨯=-<，1(5)(2)290⨯-+-⨯=-<，
(3)(5)52250-⨯-+⨯=>， ∴ABC △为钝角三角形．
分析：把点的坐标误认为向量的坐标，得出错误的结论．事实上，由点的坐标可以 确定有关向量的坐标，再通过计算向量的数量积，精确判断出三角形的形状．
正解：(64)CA =-，
，(23)CB =，， ∵62(4)30CA CB =⨯+-⨯=，∴CA CB ⊥．
故ABC △为直角三角形．。