2.12排列组合和二项式

④通项：展开式中的第 r 1 项 Cnr anrbr 叫做二项式展开式的通项。用Tr1 Cnranrbr 表示。
3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有 (n 1) 项。
②顺序：注意正确选择 a , b ,其顺序不能更改。 (a b)n 与 (b a)n 是不同的。
③指数：a 的指数从 n 逐项减到 0 ，是降幂排列。b 的指数从 0 逐项减到 n ，是升幂排列。各项的次数和等于 n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 Cn0 , Cn1, Cn2 ,, Cnr ,, Cnn. 项的系数是 a 与 b 的
3：若 ( 3
1 x
5
1 x2
)n
的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024
，求它的中间项。
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4：在 (a b)2n 的展开式中，二项式系数最大的项是多少？ 5： 求(1 3 x )6 (1 1 )10展开式中的常数项.
p s 272 ,则 n 等于多少？
例 11：证明： 32n2 8n 9(n N*) 能被 64 整除
【练习】 1、(x－1)11 展开式中 x 的偶次项系数之和是
2、 C0n 3C1n 32 C2n 3n Cnn
3、 (3 5 1 )20 的展开式中的有理项是展开式的第
项
5
n(n 1)(n
2) m!
(n m 1) ，这里 m≤n，
这个公式叫做组合数公式。
根据组合数公式和排列数公式的定义，我们很容易推导出组合数公式的另一种表示方法，即 Cnm
n! m!(n
m)!
。
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组合数的两个性质：
（1）C
m n
=C
nm n
；（2）C
m n 1
=C
m n
+C
m1 n
.
例题精讲： 例1 某铁路线上，在起点和终点之间原有 7 个车站，现在新增加了 3 个车站，这样需要增加多少种不同的
车票？Biblioteka 例2 在 6 名内科医生和 4 名内科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成 5 人医疗小组送医下乡， 按照下列条件各有多少中选派方法？
（1） 有 3 名内科医生和 2 名外科医生； （2） 既有内科医生，又有外科医生； （3） 至少有一名主任参加； （4） 既有主任，又有外科医生。
例3 如图，中国象棋的棋子“车”按象棋中走法规则沿着棋盘路线的最短路径从左下角走到右上角，一共 有多少种不同的走法？（注：中国象棋中，“车”每一步可以沿直线移动任意多格）
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例 4 a、b、c、d、e 排成一排，依下列条件各有多少种排法？ （1）a 必须排在首位或末位； （2）a 排在首位但 b 不排在末位； （3）a、b、c 相邻； （4）a、b 不相邻。
【练习】 1. 如图为 25 个小正方形组成的 5×5 棋盘，其中含有符号“#”的各种正方形共有
个。
2.平面上有 n 个点，其中任意三点都是直角三角形的顶点，则 n 的最大值为
8. 平面内有 I1 个点，每两点连成一条直线，共连得 48 条不同的直线． （1）这 11 个点中，有没有三点共线或多于三点共线的情况，若有的话则请说明情况． （2）以这 11 个点为顶点可以构成多少个三角形？
课后作业
1：求二项式 (2x 1 )6 的展开式中的常数项？ 2x
2：若 (x2 1 )n 的二项展开式中第 5 项为常数项，则 n ____ . x
(x a)n Cn0a0 xn Cn1axn1 Cn2a2 xn2 Cnnan x0 an xn a2x2 a1x1 a0
令x 1, 则a0 a1 a2 a3 an (a 1)n ①
令x 1,则a0 a1 a2 a3 an (a 1)n ②
2
大项的系数是多少？
例 7：求当 (x2 3x 2)5 的展开式中 x 的一次项的系数？
例 8： 求(1 2x)3(1 x)4 展开式中x2的系数.
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例 9： 在(x 2)2006的二项展开式中, 含x的奇次幂的项之和为S,当x 2时, S _____ .
例10：设二项式 (33 x 1 )n 的展开式的各项系数的和为 p ，所有二项式系数的和为 s ,若 x
Pnn n (n 1) (n 2) 3 2 1，即正整数 1 到 n 的连乘积，这个叫做 n 的阶乘，用 n!表示，于是全排列数公式
可以写成 Pnn n! 。
根据全排列公式，我们很容易推导出排列公式的另一种表示方法： Pnm
n! 。为了使这个公式在 (n m)!
m=n
时也成立，我们规定 0！=1。
二项式定理
知识梳理： 1．二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b
2．基本概念：
Cnr anrbr
Cnnbn (n N ) ，
①二项式展开式：右边的多项式叫做 (a b)n 的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数 Cnr (r 0,1, 2,, n) . ③项数：共 (r 1) 项，是关于 a 与 b 的齐次多项式
从 n 个不同的元素中取出 m（m≤n）个元素的所以组合的个数，叫做从 n 个不同的元素取出 m 个元素的组
合数，用符号 Cnm 表示。
四、 排列组合公式
一般地，排列数 Pnm 可以按照从 n 个不同的元素中选 m 个元素依次填入 m 个空位来考虑：显然第一个空位
有 n 中 方法 ， 第二 个 空位 有 n-1 中 方 法… … ，最 后 一 个空 位 有 n-m+1 种 方 法 ，于 是 我 们可 以得 到 ：
4、(2x-1)5 展开式中各项系数绝对值之和是 5、求(1+x+x2)(1-x)10 展开式中 x4 的系数
6、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10 展开式中 x3 的系数
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7、若 f (x) (1 x)m (1 x)n (m n N) 展开式中，x 的系数为 21，问 m、n 为何值时，x2 的系数最小？
根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列次序也完全相同。 从 n 个不同的元素中取出 m 个（m≤n）元素的所有排列的个数叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的排列
数，用符号 Pnm 表示。
三、 组合数
一般地，从 n 个不同的元素取出 m 个（m≤n）元素组成一组，叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的一个组合。 从排列组合的定义可以知道，排列与元素的次序有关，而组合与元素的次序无关，如果两个组合中的元素完全相同， 那么不管元素的次序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同是，才是不同的组合。
。
3. 一青蛙在如图 88 的正方形（每个小正方形的边长为 1）网格的格点（小正方形的顶点）上跳跃，青蛙每次
所跳的最远距离为 5 ，青蛙从点 A 开始连续跳六次正好跳回到点 A ，则所构成的封闭图形的面积的最大值
是
。
A
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4. 在∠AOB 的 OA 边上取 m 个点，在 OB 边上取 n 个点(均除 O 点外)，连同 O 点共 m+n+1 个点，现任取 其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )
(2) 分步计数原理（乘法原理）： 做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，
做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。 二、 排列的概念
一般地，从 n 个不同的元素中取出 m 个（m≤n）元素，按照一定的次序排成一列，叫做从 n 个不同的元素中 取出 m 个元素的一个排列。
在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则 Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)n Cnn (11)n 0 ，
从而得到： Cn0 Cn2 Cn4 Cn2r Cn1 Cn3
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
Cn2r1
1 2
2n
2n1
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(a x)n Cn0an x0 Cn1an1x Cn2an2 x2 Cnna0 xn a0 a1x1 a2x2 an xn
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例 3：求二项式 (x2 1 )10 的展开式中的常数项？ 2x
例 4：求二项式 ( x 3 x )9 展开式中的有理项？ 例 5：若 ( x2 1 )n 展开式中偶数项系数和为 256 ，求 n .
3 x2 例 6：已知 ( 1 2x)n ，若展开式中第 5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最
⑥系数的最大项：求 (a bx)n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为
A1,
A2 , ,
An1
，设第 r
1
项系数最大，应有
Ar Ar
1 1
Ar Ar 2
，从而解出 r
来。
例 1： Cn1 Cn2 6 Cn3 62 Cnn 6n1
.
例 2：在二项式 ( 4 1 3 x2 )n 的展开式中倒数第 3 项的系数为 45 ，求含有 x3 的项的系数？ x
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 Cn0 Cnn ，··· Cnk Cnk1
②二项式系数和：令 a b 1 ,则二项式系数的和为 Cn0 Cn1 Cn2 Cnr Cnn 2n ，
变形式 Cn1 Cn2 Cnr Cnn 2n 1 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：
令 a 1,b x,
(1 x)n Cn0 Cn1x Cn2 x2 Cnr xr Cnn xn (n N )
令 a 1,b x,
5．性质：
(1 x)n Cn0 Cn1x Cn2 x2
Cnr xr
(1)n Cnn xn (n N )
6. 班级有 50 名学生，现选派 6 名学牛参加社区活动，在下列情况中，各有多少种不同选法？ （1）班长与冈支部书记都须入选； （2）班长与团支部书记只有 1 人入选； （3）班长与团支部书记都不人选； （4）班长与团支部书记至少 1 人入选；
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7. 一次国际会议，从某大学外语系选出 11 名学生做翻译，两人既会英语，又会日语，5 人只会英语，4 人只会 日语。现从这 11 人中选出 4 名当英语翻译，4 名当日语翻译，求所有选法种数．
A.C1m1C
2 n
C1n1C2m
C.C1mC2n
C1n
C
2 m
C1mC1n
B.C1mC2n C1nC2m
D.C1m
C
2 n1
C2m1C1n
5. 6 个人站成一行： （1）某甲不能站在排头，有多少种站法？ （2）某甲既不能站在排头，也不能站在排尾，有多少种站法？ （3）某甲不能站在排头，某乙不能站在排尾，有多少种站法？ （4）甲乙两人要站在相邻位置，有多少种站法？ （5）甲乙两人不能相邻而站，有多少种站法？
8、自然数 n 为偶数时，求证：
1 2C1n
C2n
2C3n
C4n
2Cnn
1
C
n n
3 2n1
9、求 8011 被 9 除的余数
10、在(x2+3x+2)5 的展开式中，求 x 的系数
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排列组合
知识梳理:
一、分类计数原理和分步计数原理 （1）分类计数原理（加法原理）：
做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同 的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
一般地，对于从 n 个不同的元素取出 m 个元素的排列数 Pnm ，可以看作是由以下两部得到的：
第一步，先取出 m 个不同元素的组合，也就是 Cnm 种；第二步，求这个组合中的 m 个元素的全排列数 Pnm ，于是
根据乘法原理，可以得到 Pnm Cnm
Pmm 。所以我们可以得到 Cnm
Pnm Pmm
① ②得, a0 a2 a4
an
(a
1)n
2
(a
1)n
(奇数项的系数和)
① ②得, a1 a3 a5
an
(a
1)n
(a 2
1)n
(偶数项的系数和)
n
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 n 是偶数时，则中间一项的二项式系数 Cn2 取得最大值。
n1
n1
如果二项式的幂指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数 Cn 2 , Cn 2 同时取得最大值。