从“上楼梯”学如何用递推模式解决问题

从“上楼梯”学如何用递推模式解决问题
摘要：自然界的存在与发展是有规律性的，而这种规律性往往呈现出前因后果
的关系。

这种情况反映到数学上，就是递推关系！递推模式不仅仅是解决数学问
题的一大利器，更是人类认识自然、认识人类社会的不二法门！
关键词：递推；进；退；生成；
例1．一段楼梯共有10级，常人上楼梯一般是一步一级或一步两级，那么登
上该段楼梯共有多少种不同的上法？
有兴趣的读者可以找段楼梯实践一下！
解析：我们不妨先“进”一步，设上级楼梯的不同上法数为。

梯的上法，任意级楼梯的上法均可计算呢！
回顾上述解析，我们看到：一进一退，颇为巧妙！在日常生活中，我们长能
听到“退一步而言”、“退一步进两步”等说法，这是进退互用思维策略的表白，其
意在于看清问题，化简问题，以顺利解决问题。

先进后退，进中有退：特殊问题不好解决，我们可以先“进”到更为一般的问题。

一般的问题，整体性更强，更加容易从整体把握解决。

上述两例深刻反映了特殊与一般的对立统一。

普遍性寓于特殊性之中，特殊
问题得到了解决，一般问题的解决就有了切入口，例如，函数问题可以先取特殊值，曲线问题可以先取特殊点，三角求值题可以先考察特殊三角形等等。

同样，
特殊问题一般化，能够使我们更容易从整体上看出特殊问题的本质及其与其他问
题的联系，为我们解决特殊问题指引方向。

众所周知，缩回去的拳头，打出去才有力；要想跳得高，得先半蹲一下。

对
于一般性问题而言，如若思路不清，我们可以以退为进。

华罗庚教授教导我们“要善于‘退’，足够地‘退’，退到原始而又不失去重要性的地方，看清楚了，掌握透了，在进而研究一般情形，是学好数学的一个诀窍！”
例4．个平面分空间，最多可将空间分成部分。

分析：我们先“退”到最简单的情形想一想，一个平面分空间（如同一刀切西瓜），自然可以将空间分为个部分；两个平面分空间（两刀切豆腐），最多可以
将空间分为4个部分；三个平面分空间（三刀切蛋糕），最多可以将空间分为8
个部分；四个平面分空间，最多可以将空间分为？？？就不那么容易想到了！根
据前述规律，可以猜测，那么设个平面分空间，最多可将空间分成的部分数为，
则似乎可以是！不过，这毕竟是猜测。

还是让我们“退”到更简单的情形来探究一
番吧！
例5．条直线分平面，最多可将平面分成部分。

解析：例5是例4更进一步的“退”化，我们从空间退到了平面，接着再“退”
到平面最简单的情形研究一下吧！一条直线分平面，可将平面分成2部分；两条
直线分平面，最多可以将平面分成个部分；三条直线分平面，最多可将平面分成
个部分。

我们从“生成”的角度研究这一问题，欲使3条直线分平面最多，则应使第三
条直线与前两条直线均相交，即第三条直线与前两条直线相交产生两个交点，而
两个交点可将第三条直线分成3段，每段又将所在平面区域一分为2，也即第三
条直线的加入，使平面上多出3块区域，即。

“进”一步，设条直线分平面，最多
可将平面分成的部分数为，欲使条直线分平面最多，应使第条直线与前条直线均
相交，产生个交点，从而将第条直线分成段，而每段又将其所在平面区域一分为二，即第条直线的加入，使平面区域在的基础上，最多增加块！
事实上，四个平面分空间，要想最多，则这四个平面应该围成一个四面体。

观察规律，我们可以看到：
四面体分出的空间区域数顶点个数（4）交线个数（6）平面个数（4）115。

由此还可以猜想：一个简单多面体各面所在平面，将其所在空间分为（顶点数棱
数面数1）个区域。

通过以上两例，我们看到：凡是涉及前一步影响后一步“生成”的数学问题，
都可以采用进退互用的思维策略，研究其后一步是如何在前一步的基础上“生成”的，一旦明了了“生成”机制，问题也就引刃而解！事实上，在高考与自主招生考
试中，类似地问题不在少数！
在数学名著《怎样解题》一书中，波利亚总结了数学解题的四种基本模式：
交轨模式、笛卡尔模式、叠加模式和递归模式。

其中，递归模式是指：①“进”：
设法将所要求的量归结为依次排列起来的某序列的某一项；②“退”：确定该序列
的第一项或前几项；③“生成”：找出递归关系，把序列的一般项和前面各项联系
起来。

这样，我们就能逐个地、递归地求出各项！
参考文献：
[1]钱昌本.钱昌本教你快乐学数学(上)[M]．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012.
[2]李世杰．递推与递推方法[M]．杭州：浙江大学出版社，2008.
作者简介：赵广乐（1981—），男，汉族，内蒙古包头市人，包头市数学会
理事，包头市第一中学一级教师，
包头市东河区政协常委、中国民主同盟包头市委常委、东河区总支主委。

研
究方向：中学数学教育及奥林匹克竞赛数学。

(作者单位：①内蒙古包头市第一中学014040②四川省成都西南财经大学经
数学院611130）。