光在波导中的传播

由特征方程，波长越大，要求相应模式光波的入射角越小。因 此，截止波长实际上是波导内允许存在的光波的最大波长。
由于下界面处于全反射临界状态，因而不管对TE波还是TM波， 都有，
1 0
cos c1 1 (n2 / n1 ) 2
2 n12 n2 n1
因此截止波长表示为：
2 2h n12 n2 c m 0
一、平板光波导的射线理论 平板型波导是介质波导中最简单、最基本的结构，理论分 析也具有代表性。故本节就平板型波导从射线理论和电磁 场理论两个方面进行分析。
n0 θ x z 图 4-1 h n1 n2 平板波导及其中的射线路径
（一）
导波与辐射模
最简单的平板型光波导是由沉积在衬底上的一层均匀薄膜 构成（因而又叫做薄膜波导），如图 4-1 所示，它的折射 率 n1 比覆盖层（通常为空气）的折射率n0 及衬底层折射率 n2都高，且n1>n2>n0。设薄膜厚度为h，沿y方向薄膜不受限， 在薄膜与衬底的界面（下界面）上平面波产生全反射的临 界角为 ，而在薄膜与覆盖层的界面（上界面）上平面波 产生全反射的临界角为 ，根据全反射原理，有：
1s arctan
n sin n n1 cos
2 1 2 2 2
0 s arctan
2 n12 sin 2 n0
n1 cos
而对于TM波（即电场矢量E平行于纸面的p波），有：
1 p arctan
n sin n n cos / n1
2 1 2 2 2 2 2
其中： m 0,1,2, 全反射时相位变化
根据图中的几何关系，上式可变为：
2k0n1h cos 21 20 2m
式中n1、h是薄膜波导的参数，k0是自由空间的波数，它决定 0 与波导的结构参数n 、n 、n 和入射角有关。 1 、 于工作波长， 1 2 0 当波导和入射波长给定时，上式是关于未知数 的方程，它 确定了形成导波的入射角的条件，因而叫薄膜波导的特征方程。 特征方程是讨论导波特性的基础。
0 p arctan
2 n12 sin 2 n0 2 n0 cos / n1
特征方程中 k0n1 cos 是薄膜中波矢量在x方向的分量，它是 薄膜中的横向相位常数，可表示为：
k1x k0n1 cos
于是特征方程可写为： 2k1x h 21 20 2m 该式表明，由波导的某点出发，沿波导横向往复一次回到原 处，总的相位变化应是 2 的整数倍。这使原来的波加强，即 相当于在波导的横向谐振，因而叫做波导的横向谐振条件。 横向谐振特性是波导导波的一个重要特性。
A1 cos(k1x h ) A0 （在x=h处，Ey连续）
A1k1x sin(k1x h ) 0 A0
有了上述7个方程式，就可联解出场方程Ey(x)中的7个未知 数，再由模式本征方程可求出不同m值对应的值。这样，就 可以确定出覆盖层、波导和衬底中的场分布。 下图给出了TE0、TE1、TE2及TE3四种模式的场分布。可以看出， 在波导内，场呈余弦分布，而在覆盖层和衬底内，均作指数 衰减。
二、平板光波导的波动理论
用射线法讨论平板波导，物理概念清楚、明确， 得出的许多结论不仅对平板波导，而且对其它形式的 介质波导也是很有价值的。但对波导中各模式对应的 电磁场的具体分布形式，射线法尚不能给出满意的解 答，必须应用电磁场的波动理论结合波导的边界条件 来确定。
n0 θ x z 图 4-1 h n1 n2 平板波导及其中的射线路径
k1z k0n1 sin
2 k0 n1 sin 2 (n2 / n1 ) 2
0 k0 n1 sin 2 (n0 / n1 ) 2
0 和 2 横向相位常数k1x决定导波模式在薄膜内的横向驻波规律， 决定导波在上、下界面的横向衰减规律，即决定了导波模式 的横向分布图形。 称为轴向相位常数(或传播常数)，它表示 导波模式的纵向传播规律，是导波的一个重要参数。
2 2h n12 n2 对于n2=n0的所谓对称平板波导，截止波长为： c m
该式对TE模和TM模都适用，这就是说，对于对称波导，模序 数相同的TE模和TM模具有相同的截止波长 c 。但是，TE0模 （或TM0模）的截止波长=∞，此时没有截止现象，这是对称 波导的特有性质。
4. 单模传输与模式数量
c1 c0
c1 arcsin
c 0 arcsin
n2 n1
n0 n1
由于n2>n0，所以 c1 c0 ，当平面波的入射角 变化时，波导内 可产生不同的波型。当入射角满足 c0 c1 90 时，入射平 面波在上下界面均产生全反射，此时形成的波称为导波。 当 c 0 c1 时，在下界面的全反射条件被破坏； 当 c 0 c1 时，上下界面的全反射条件均被破坏。 在这两种情况下均有一部分能量从波导中辐射出去，此时的 波称为辐射模。 只有导波能将能量集中在波导中导行，在平板型光波导中 即是由导波来传输光能量的。而辐射模却通过界面向外辐射能 量，是不希望存在的寄生波。
当n1与n2差别不大时，TE0模和TM0模非常接近，难以分开，此 时仍可认为是单模传输。因此，单模传输的概念并不严格。
●模数量 当单模传输的条件被破坏（如工作波长缩短）时，即出现 多模共存现象。多模共存时的模数量可由特征方程求得：
2 m
0
2 h n12 n2 0

与该m对应的模式处于截止状态，而比它低的模式处于导 行状态。波导中导波模式的数量是TE模和TM模的模式数量之 和。膜越厚（h越大），n1与n2差别越大，波导中的模式数量 就越多。
2 2 2 2 2 k0 n2
薄膜波导中的边界条件为：在x=0和x=h处，电场强度的切向分 量Ey连续，磁场强度的切向分量Hz(∝dEy/dx)连续，得 ：
A1 cos A2
（在x=0处，Ey连续）
(在x=0处，Hz连续) (在x=h处，Hz连续)
A1k1x sin 2 A2
2 2 2 ( k0 n j 2 ) E y ( x) 0,
j=0,1,2
对于 n2 n0 的非对称波导，当 k0n2 k0n1 时，由于是导波， 在薄膜中应是驻波解，可用余弦函数表示；在衬底和覆盖层 中应是衰减解，可用指数函数表示。在覆盖层、波导和衬底 中的解Ey(x)可以表述为： A0 exp[ 0 ( x h)], x h E y ( x) A1 cos(k1x x ), h x 0 A exp( 2 x), x 0 2
k 0 n1

禁区 0 1 2
k 0 n2
辐射模
图4-3 m=0,1,2时 导波的 - 曲线
c 0
c1
c 2

3. 截止波长
在平板波导中，上下界面之一的全反射条件被破坏，导波即 处于截止状态。由于n1>n2>n0，所以当 c1 时导波处于截止 临界状态。特征方程可写成如下形式：
对于TE模和TM模，把不同的 0 代入上式即可得到相应的截止 波长。显然，各模式的截止波长由波导参数n1、n2、n0和h决 定，与入射光频率无关，它是表示波导本身特征的物理量。 不同的模式有不同的截止波长，模序数越高，截止波长越短。 TE0模和TM0模的截止波长最长。模序数相同的 TE模和TM模 的截止波长不同。 TE 模的截止波长较 TM 模的长，因而在所 有的波导模式中，TE0模的截止波长最长。

A A
’
B B
’
C
’
D
C 射线
D 等相面
’
图4-2
平板波导中的平面波
所以B、B’点应有相同的相位，C、C’点也有相同的相位。可见 由B到C和由B’至C’所经历的相位变化之差为 2 的整数倍。于 是两射线的相位差为：
k0 n1 ( BC B 'C ' ) 21 20 2m ,
对于定态单色波，其电磁场满足波动方程，若不考虑时间因子， 则波动方程将转化为亥姆霍兹方程。对于TE模，其电场只有沿 y方向的一个分量Ey，并且Ey可以表达为
Ey Ey ( x) exp( iz)
式中， 是传播常数。将上式代入亥姆霍兹方程，得到各层中 的电场应满足的亥姆霍兹方程：
2 E y ( x) x
是一常数相 上式中，A0、A1、A2是三个区域中的电场复振幅， 位角，k1x是薄膜内x方向的横向相位常数，0 和 2 是导波在上、 下界面的横向衰减常数。 将Ey(x)各表达式代入亥姆霍兹方程得 到 ：
2 2 2 0 2 k0 n0 2 2 k12x k0 n1 2
由于TE0模的截止波长最长，因而它的传输条件最容易满足。 在波导术语中，把截止波长最长（截止频率最低）的模式叫做 基模。平板波导中的TE0模即是基模。如果波导的结构或选择 的工作波长只允许TE0模传输，其它模式均截止，则称为单模 传输。
●单模传输的条件是：
c (TM 0 ) 0 c (TE0 )
2
0
hn1 cos m 0 1
对一个给定的模式，m是常数。如果工作波长变化，必须调整 平面波的入射角，才能满足特征方程，形成导波。当 时 c1，导波转化为辐射模，此时的波长就是该模的截止波 长，截止波长用 c 表示。由上式有
c
2hn1 cos c1 m 0 1
设在平板波导中，衬底和覆盖层的长度延伸到无穷远，薄膜的 宽度远大于它的厚度。因此，可以认为平板波导中的光波只在 x方向受到限制（见图），并设平板波导的几何结构和折射率 分布沿y方向不变，即折射率分布n(x)只与x有关，相应的模式 也只是x坐标的函数。为简单起见，下面只讨论TE模的场分布 形式。对于TE模，在图4-1所选的坐标系中，它的电磁场分量 H x 和 H z 。由于电场与磁场有确定的关系，因此下面 为 Ey 、 只分析电场Ey。
光通信的迅速发展，促进了对与之有密切联系的光波导技 术的研究。光波导技术是一种以光的电磁场理论为基础，对 光波实施限制和传输的技术。其中，介质波导和光纤是两种 最常用和最重要的光波导。下面将以射线理论和电磁场理论 分析光波在介质波导和光纤中的传导模式和传播特性，并）
平板光波导中的导波
1.波的特征方程与横向谐振条件 当平面波的入射角大于临界角时才能形成导波。但在 c 的取值并不是连续的，只有当入射角满足某些条 的范围内， 件时，才能在薄膜中形成导波。图4-2表示平板波导中构成导波 的平面波示意图，实线ABCD和A’B’C’D’代表平面波的两条射线。 虚线BB’和CC’则代表向上斜射的平面波的两个波阵面，
对于给定的模式有确定的 值，因而也有确定的轴向相位常 数 。但特征方程是超越方程，得不到解析形式的解。 图4-3是根据数值解画出的 - 曲线，它表明了 的变化范 k0n2 ，否则将会出现辐射模。也不 围及变化规律。 不能小于 是被限制在两条直线所夹的扇 能大于 k0n1 ，因而对于导波， c 2 分别是m=0,1,2时导模的 形区域之中的。图中 c 0 、 c1 、 截止频率。
从B’到C’，平面波在其传播方向上没有经历过反射，其相位变化 了 k0 n1 B 'C ' ,而从B到C，平面波在B点和C点各经历了一次全反射。 在C点（下界面）全反射时相位变化了 21 ，而在B点（上界面） 全反射时相位变化了 20 ，这里，相位变化都以反射波比入射波 超前计算。根据全反射时相位变化公式，对于TE波（即电场矢 量E垂直于纸面的s波），有：
2．导波的模式 对给定的波导、工作波长和整数m，由特征方程可求出形 成导波的入射角。以该角入射的平面波即形成一个导波模式。
0 以s波的表达式代入时，得出模式为TE波；当以p波 当 1 、 的表达式代入时，得出模式为TM波。
当m=0,1,2,…时，可得到TE0、TM0、TE1、TM1、TE2、TM2… 模。m表示了各模式的特点，称为模序数。 各模式的特性可用横向相位常数k1x及以下几个参数表示：