[总结]关系数据库设计基础（函数依赖、无损连接性、保持函数依赖、范式、……）

[总结]关系数据库设计基础（函数依赖、⽆损连接性、保持函数
依赖、范式、……）
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函数依赖（Function Dependency）
定义
设关系模式R（U），属性集合U= {A1，A2，…，An}，X，Y为属性集合U的⼦集，如果对于关系模式R(U)的任⼀可能的关系r，r中的任意两个元组u、v，若有 u[X]=v[X]，就有
u[Y]=v[Y]，则称X函数决定Y，或称Y函数依赖于X。

⽤符号X→Y表⽰。

其中X为决定因素，Y为被决定因素。

若对于R（U）的任意⼀个可能的关系r，r中不可能存在两个元组在X上的属性值性等，⽽在Y上的属性值不等。

　(1) 函数依赖是语义范畴的概念，只能根据语义来确定⼀个函数依赖关系。

　(2) 函数依赖X→Y的定义要求关系模式R的任何可能的关系r中的元组都满⾜函数依赖条件。

术语
　(1)若X→Y，则X称作决定因素（Determinant）
　(2)若X→Y，Y→X，称作X<->Y。

　(3)若Y不函数依赖于X，称作X -/-> Y。

　(4)X→Y，若Y不包含X,即X ⊄ Y，则称X→Y为⾮平凡的函数依赖。

正常讨论的都是⾮平凡的函数依赖。

　(5)X→Y，若Y包含X，即X ⊂ Y，则称X→Y为平凡的函数依赖。

　(6)完全函数依赖(full functional dependency)：在R(U)中，设X、Y是关系模式R（U）中不同的属性⼦集(即X ⊂ U,Y ⊂ U),
若存在 X→Y，且不存在 X的任何真⼦集X'(即 X' ⊊ X)，使得 X'→Y，则称Y完全函数依赖 ( full functional dependency ) 于X。

记作 X-F->Y。

　(7)部分函数依赖：在关系模式R（U）中，X、Y是关系模式R（U）中不同的属性⼦集(即X ⊂ U,Y ⊂ U),
若X→Y成⽴，如果X中存在任何真⼦集X'(即 X' ⊊ X)，⽽且有X'→Y也成⽴，则称Y对X是部分函数依赖，记作：X-P->Y。

(8)设R是关系模式，U是其属性集，K包含于U(即K ⊂ U)。

若K完全函数确定U，则称K是R的候选键(⼜叫候选关键字，候选码)。

包含在任意候选键内的属性称为键属性（⼜叫主属性），不是键属性的属性称为⾮键属性（⼜叫⾮主属性）。

显然，候选键可以唯⼀ 标识关系的元组。

候选键可能不唯⼀，通常指定⼀个候选键作为识别元组的主键。

　(9)若关系R的属性⼦集X是另⼀关系S的候选键，则称X是R关于S的外部键。

主键和外部键描述了关系之间的联系。

(10)传递函数依赖：在关系模式R(U) 中，如果X→Y，Y→A，且Y X（Y不决定X）， A Y（A不属于Y）,那么称X→A是传递依赖。

⼀题搞懂什么是候选键
【题⽬】数据库中有⼀个学⽣信息表如上所⽰，在该表中不能作为候选键的属性集合为（）（选择⼀项）
a）{学号} b）{学号、姓名} c）{年龄、系别} d）{姓名、性别} e）{姓名、专业}
【解析】透过概念，我们可以了解到，超键包含着候选键，候选键中包含着主键。

主键⼀定是惟⼀的。

为什么呢？因为他的爷爷超键就是惟⼀的。

我们分析⼀下上⾯的题⽬，a，b，c，d，e，5个答案都可以作为超键，他们组合在⼀起的集合可以⽤来惟⼀的标识⼀条数据记录（实体）。

请注意我们的要求：候选键。

候选键要求是不能包含多余属性的超键，我们看⼀下答案b。

在答案b中，如果我们不使⽤姓名也可以惟⼀的标识⼀条数据实体，可以说姓名字段在这⾥是多余的。

那么很明显，b选项包含了多余字段属性。

那么这题答案应该选择b。

那么其他的4个选项都可以作为候选键，假设很幸运，a）｛学号｝被选择作为⽤户正在使⽤的候选键来惟⼀标识元组了，那么他很幸运的获得了主键的称号
【答案】b
函数依赖的推理规则
1. 逻辑蕴含
给定⼀个关系模式，只考虑给定的函数依赖是不够的，必须找出在该关系模式上成⽴的其他函数依赖。

逻辑蕴含：设F是关系模式R（U）的函数依赖集合，由F出发，可以证明其他某些函数依赖也成⽴，我们称这些函数依赖被F逻辑蕴含。

"F蕴含X→Y"意味着关系实例只要满⾜F就满
⾜X→Y。

例如，设F={ A→B，B→C }，则函数依赖A→C被F逻辑蕴含，记作：F |= A→C。

即函数依赖集 F 逻辑蕴含函数依赖A→C。

2. F的闭包F+
对于⼀个关系模式，如何由已知的函数依赖集合F，找出F逻辑蕴涵的所有函数依赖集合呢？这就是我们下⾯要讨论的问题。

F的闭包F+：设F为⼀个函数依赖集，F的闭包是指F逻辑蕴涵的所有函数依赖集合。

F的闭包记作F+。

例如，给定关系模式R(A,B,C,G,H,I)，函数依赖集合F={A→B，A→C，CG→H，CG→I，B→H}。

可以证明函数依赖A→H被F逻辑蕴涵。

设有元组s和t，满⾜s[A]=t[A]，根据函数依赖的定义，由已知的A→B，可以推出s[B]=t[B]。

⼜根据函数依赖B→H，可以有 s[H]=t[H]。

因此，已经证明对任意的两个元组s和t，只要有s[A]=t[A]，就有s[H]=t[H]。

所以，函数依赖A→H被F逻辑蕴涵。

计算F的闭包F+，可以由函数依赖的定义直接计算，如上⾯的⽰例。

当F很⼤时，计算的过程会很长。

为了从已知的函数依赖推导出其它函数依赖，Armstrong 提出了⼀套推理规则，称为Armstrong 公理，通过反复使⽤这些规则，可以找出给定F的闭包F+。

3．Armstrong 公理
设U为属性总体集合，F为U上的⼀组函数依赖集，对于关系模式R（U，F），X、Y、Z为属性U的⼦集，有下列推理规则：
在此先说⼀下 Armstrong 的基本公理和推理规则：
基本公理：
1）（⾃反律）如果 Y ∈ X∈ U，则 X → Y 成⽴。

（平凡函数依赖）
2）（增⼴律）如果 X → Y 在 R(U) 成⽴，且 Z∈ U，则 XZ → YZ成⽴
3）（传递律）如果 X → Y，Y → Z 成⽴，则 X → Z 成⽴。

推理规则：
1）（合并）：{X → Y，X → Z}，则 X → YZ
2）（分解）：{X → Y，Z ∈ Y}，则 X → Z。

（或：X → YZ，那么 X → Y，X → Z）
3）（伪传递）：{X → Y,YW → Z}，则 WX → Z
4）（复合）：{X → Y，W → Z},则 XW → YZ
5）（⾃积律）：{X → YZ，Z → W}，则 X → YZW
4．属性集的闭包
原则上讲，对于⼀个关系模式R(U,F)，根据已知的函数依赖F，反复使⽤前⾯的规则，可以计算函数依赖集合F的闭包F+。

但是，利⽤推理规则求出其全部的函数依赖F+是⾮常困难的，⽽且也没有必要。

因此，可以计算闭包的⼦集，即选择⼀个属性⼦集，判断该属 性⼦集能函数决定哪些属性，这就是利⽤属性集闭包的概念。

　（1）属性集闭包的定义
设F为属性集U上的函数依赖集，X∈U，即X为U的⼀个⼦集。

在函数依赖集F下被X函数决定的所有属性为F+下属性集X的闭包，记作X+。

即X+＝{ A| X→A } 。

　（2）计算属性集闭包X+的算法如下：
输⼊：X，F
输出： X+
迭代算法的步骤：
①选取X+的初始值为X ，即X+＝{X}；
②计算X+， X+＝{X,Z} ，其中Z要满⾜如下条件：
Y是X+的真⼦集，且F中存在⼀函数依赖Y→Z。

实际上就是以X+中的属性⼦集作为函数依赖的决定因素，在F中搜索函数依赖集，找到函数依赖的被决定属性Z放到X+中。

③判断：如果X+没有变化？或X+等于U？则X+就是所求的结果，算法终⽌。

否则转②。

　因为U是有穷的，所以上述迭代过程经过有限步骤之后就会终⽌。

5. Armstrong公理系统的有效性和完备性
①Armstrong公理系统的有效性指的是：由F出发根据Armstrong公理系统推导出来的每⼀个函数依赖⼀定是F所逻辑蕴含的函数依赖。

②Armstrong公理系统的完备性指的是：对于F所逻辑蕴含的每⼀函数依赖，必定可以由F出发根据Armstrong公理系统推导出来。

6. 极⼩函数依赖集（最⼩函数依赖集）
概念：对于函数集 F ，称函数集F min为F 的最⼩函数依赖集，如果 F min满⾜⼀下条件：
1）F min与 F等价：F min+=F+。

2）F min中每个函数依赖 X→Y 的依赖因素为单元素集，即Y中只含有⼀个属性集合。

3）F min中每个函数依赖 X→Y的决定因素不存在冗余，即既要删除X中任何⼀个属性，就会改变F min的闭包。

4）F min中每个函数毒不是冗余的，即删除 F min中任意⼀个函数依赖，就会改变Fmin 的闭包。

定义：如果函数依赖集F满⾜下列条件，则称F为最⼩函数依赖集或最⼩覆盖。

① F中的任何⼀个函数依赖的右部仅含有⼀个属性；
② F中不存在这样⼀个函数依赖X→A，使得F与F-{X→A}等价；
③ F中不存在这样⼀个函数依赖X→A，X有真⼦集Z使得F-{X→A}∪{Z→A}与F等价。

求最⼩函数依赖集分三步:
1.将F中的所有依赖右边化为单⼀元素
此题fd={abd->e,ab->g,b->f,c->j,cj->i,g->h};已经满⾜
2.左边的冗余属性.
作法是属性中去掉其中的⼀个,看看是否依然可以推导
此题:abd->e,去掉a,则(bd)+不含e,故不能去掉,同理b,d都不是冗余属性
ab->g,也没有
cj->i,因为c+={c,j,i}其中包含i所以j是冗余的.cj->i将成为c->i
F={abd->e,ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h};
3.去掉F中所有冗余依赖关系.
做法为从F中去掉某关系,如去掉(X->Y),然后在F中求X+,如果Y在X+中,则表明x->是多余的.需要去掉.
此题如果F去掉abd->e,F将等于{ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h},⽽(abd)+={a,d,b,f,g,h},其中不包含e.所有不是多余的.
同理(ab)+={a,b,f}也不包含g,故不是多余的.
b+={b}不多余,c+={c,i}不多余
c->i,g->h多不能去掉.
所以所求最⼩函数依赖集为 F={abd->e,ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h};
多值依赖
1、定义
设R(U)是属性集U上的⼀个关系模式。

X，Y，Z是U的⼦集,并且Z=U-X-Y。

关系模式R(U)中多值依赖X→→Y成⽴，当且仅当对R(U)的任⼀关系r,给定的⼀对(x，z)值有⼀组Y的值，这组值仅仅决定于x值⽽与z值⽆关。

若X→→Y，⽽Z＝，则称X→→Y为平凡的多值依赖。

否则称X→→Y为⾮平凡的多值依赖。

多值依赖也可以形式化地定义如下：在关系模式R（U）的任⼀关系r中，如果对于任意两个元组t,s,有t[X]=s[X]，就必存在元组w,v∈r（w和v 可以与s和t相同）,使得 w[X]=v[X]=t[X]，⽽w[Y]=t[Y],w[Z]=s[Z],v[Y]=t[Z]，即交换s,t元组的Y值所得的两个新元组必在r中，则称Y多值依赖于X，记为X→→Y。

其中，X和Y是U的⼦集，Z＝U-X-Y。

多值依赖属4nf的定义范围，⽐函数依赖要复杂得多，很多书上都没有讲清楚。

2、说得简单点就是
在关系模式中，函数依赖不能表⽰属性值之间的⼀对多联系，这些属性之间有些虽然没有直接关系，但存在间接的关系，把没有直接联系、但有间接的联系称为多值依赖的数据依赖。

例如，教师和学⽣之间没有直接联系，但教师和学⽣可通过系名，或任课把教师和学⽣联系起来。

3、举例如下
【例1】有这样⼀个关系 <仓库管理员，仓库号，库存产品号> ，假设⼀个⼀个产品只能放到⼀个仓库中，但是⼀个仓库可以由若⼲管理员，那么对应于⼀个 <仓库管理员，库存产品〉有⼀个仓库号，⽽实际上，这个仓库号只与库存产品号有关，与管理员⽆关，就说这是多值依赖。

【例2】（C，B）上的⼀个值（物理，光学原理）对应⼀组T值（李平，王强，刘明），这组值仅仅决定于课程C上的值，也就是说对于（C，B）上的另⼀个值（物理，普通物理学），它对应的⼀组T值仍是（李平，王强，刘明），尽管这时参考书B的值已经改变了。

因此T 多值依赖于C，即C→→T。

4、多值依赖具有下列性质
●多值依赖具有对称性。

即若X→→Y，则X→→Z，其中Z＝U－X－Y。

●多值依赖具有传递性。

即若X→→Y，Y→→Z，则X→→Z－Y。

●函数依赖可以看作是多值依赖的特殊情况。

●若X→→Y，X→→Z，则X→→YZ。

●若X→→Y，X→→Z，则X→→Y∩Z。

●若X→→Y，X→→Z，则X→→Y－Z，X→→Z－Y。

●多值依赖的有效性与属性集的范围有关。

●若多值依赖X→→Y在R（U）上成⽴，对于Y'Y，并不⼀定有X→→Y’成⽴。

但是如果函数依赖X→Y在R上成⽴，则对于任何Y'Y均有X→Y’成⽴。

范式
⽆重复的列】
• 如果关系模式R为第⼀范式，并且R中每⼀个⾮主属性完全函数依赖于R的某个候选键，则称为第⼆范式模式。

【消去⾮主属性对键的部分函数依赖】
缺点：删除异常，插⼊异常，修改复杂
消去⾮主属性对键的部分和传递函数依赖】
部分和传递函数依赖】
X)，X都含有码,则称R∈4NF。

【消除⾮平凡且⾮函数依赖的多值依赖】
⾸先我们给出⼀个看似⽆关却⾮常重要的概念：属性集的闭包。

令α为⼀属性集。

我们称在函数依赖集F下由α函数确定的所有属性的集合为F下α的闭包，记为α+ 。

下⾯给出⼀个计算α+的算法，该算法的输⼊是函数依赖集F和属性集α，输出存储在变量result中。

算法⼀：
result:=α;
while(result发⽣变化)do
for each 函数依赖β→γ in F do
begin
if β∈result then result:=result∪γ;
end
属性集闭包的计算有以下两个常⽤⽤途：
·判断α是否为超码，通过计算α+（α在F下的闭包），看α+ 是否包含了R中的所有属性。

若是，则α为R的超码。

·通过检验是否β∈α+，来验证函数依赖是否成⽴。

也就是说，⽤属性闭包计算α+，看它是否包含β。

（请原谅我⽤∈符号来表⽰两个集合之间的包含关系，那个表⽰包含的符号我找不到，⼤家知道是什么意思就⾏了。

）
看⼀个例⼦吧，2005年11⽉系分上午37题：
●给定关系R(A1，A2，A3，A4)上的函数依赖集F={A1→A2，A3→A2，A2→A3，A2→A4}，R的候选关键字为________。

（37）A. A1 B. A1A3 C. A1A3A4 D. A1A2A3
⾸先我们按照上⾯的算法计算A1+ 。

result=A1，
由于A1→A2，A1∈result，所以result=result∪A2=A1A2
由于A2→A3，A2∈result，所以result=result∪A3=A1A2A3
由于A2→A4，A2∈result，所以result=result∪A3=A1A2A3A4
由于A3→A2，A3∈result，所以result=result∪A2=A1A2A3A4
通过计算我们看到，A1+ =result={A1A2A3A4}，所以A1是R的超码，理所当然是R的候选关键字。

此题选A 。

好了，有了前⾯的铺垫，我们进⼊正题。

⽆损分解的判断。

如果R1∩R2是R1或R2的超码，则R上的分解（R1，R2）是⽆损分解。

这是⼀个充分条件，当所有的约束都是函数依赖时它才是必要条件（例如多值依赖就是⼀种⾮函数依赖的约束），不过这已经⾜够了。

保持依赖的判断。

如果F上的每⼀个函数依赖都在其分解后的某⼀个关系上成⽴，则这个分解是保持依赖的（这是⼀个充分条件）。

如果上述判断失败，并不能断⾔分解不是保持依赖的，还要使⽤下⾯的通⽤⽅法来做进⼀步判断。

该⽅法的表述如下：
算法⼆：
对F上的每⼀个α→β使⽤下⾯的过程：
result:=α;
while(result发⽣变化)do
for each 分解后的Ri
t=(result∩Ri)+ ∩Ri
result=result∪t
这⾥的属性闭包是在函数依赖集F下计算出来的。

如果result中包含了β的所有属性，则函数依赖α→β。

分解是保持依赖的当且仅当上述过程中F的所有依赖都被保持。

下⾯给出⼀个例题，2006年5⽉系分上午43题：
●设关系模式R<U, F>，其中U=｛A, B, C, D, E｝，F＝{A→BC，C→D，BC→E，E→A｝，则分解ρ={R1（ABCE），R2（CD）｝满⾜（43）。

（43） A．具有⽆损连接性、保持函数依赖
B．不具有⽆损连接性、保持函数依赖
C．具有⽆损连接性、不保持函数依赖
D．不具有⽆损连接性、不保持函数依赖
先做⽆损链接的判断。

R1∩R2={C}，计算C+。

Result=C
由于C→D，C∈result，所以result=result∪D=CD
可见C是R2的超码，该分解是⼀个⽆损分解。

再做保持依赖的判断。

A→BC，BC→E， E→A都在R1上成⽴（也就是说每⼀个函数依赖左右两边的属性都在R1中），C→D在R2上成⽴，因此给分解是保持依赖的。

选A。

再看⼀个复杂点的例题。

2007年5⽉数⼯40-41题。

●给定关系模式R<U, F>，U=｛A, B, C, D, E｝，F＝{B→A，D→A，A→E，AC→B｝，其候选关键字为
（40），则分解ρ={R1（ABCE），R2（CD）｝满⾜（41）。

（40） A．ABD
B．ABE
C．ACD
D．CD
（41） A．具有⽆损连接性、保持函数依赖
B．不具有⽆损连接性、保持函数依赖
C．具有⽆损连接性、不保持函数依赖
D．不具有⽆损连接性、不保持函数依赖
看见了吧，和前⾯⼀题多么的相像！
对于第⼀问，分别计算ABCD四个选项的闭包，
（ABD）+ = { ABDE }
（ABE）+ = { ABE }
（ACD）+ = { ABCDE }
（CD）+ = { ABCDE }
选D。

再看第⼆问。

先做⽆损链接的判断。

R1∩R2={C}，计算C+。

result=C
因此C既不是R1也不是R2的超码，该分解不具有⽆损分解性。

再做保持依赖的判断。

B→A，A→E，AC→B在R1上成⽴，D→A在R1和R2上都不成⽴，因此需做进⼀步判断。

由于B→A，A→E，AC→B都是被保持的（因为它们的元素都在R1中），因此我们要判断的是D→A是不是也被保持。

对于D→A应⽤算法⼆：
result=D
对R1，result∩R1=ф（空集，找不到空集的符号，就⽤这个表⽰吧），t=ф，result=D
再对R2，result∩R2=D，D+ =ADE ，t=D+ ∩R2=D，result=D
⼀个循环后result未发⽣变化，因此最后result=D，并未包含A，所以D→A未被保持，该分解不是保持依赖的。

选D。