新苏科版初二数学期末下学期考试试卷及答案

新苏科版初二数学期末下学期考试试卷及答案
一、选择题
1．为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况，随机抽查了其中100名学生进行统计，并绘制成如图所示的频数直方图，已知该校共有1000名学生，据此估计，该校五一期间参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数大约是（）
A．280 B．240 C．300 D．260
2．为了解2019年泰兴市八年级学生的视力情况，从中随机调查了500名学生的视力情况．下列说法正确的是（）
A．2016年泰兴市八年级学生是总体B．每一名八年级学生是个体
C．500名八年级学生是总体的一个样本D．样本容量是500
3．下列图案中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
4．江苏移动掌上营业厅，推出“每日签到——抽奖活动”：每个手机号码每日只能签到1次，且只能抽奖1次，抽奖结果有流量红包、话费充值卷、惊喜大礼包、谢谢参与.小明的爸爸已经连续3天签到，且都抽到了流量红包，则“他第4天签到后，抽奖结果是流量红包”是（）
A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．必然事件或不可能事件
5．若分式
4
2
x
x
-
+
的值为0，则x的值为（）
A．0 B．－2 C．4 D．4或－2 6．下列条件中，不能
．．判定平行四边形ABCD为矩形的是（）
A．∠A＝∠C B．∠A＝∠B C．AC＝BD D．AB⊥BC 7．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为（）
A ．
485
cm B ．
245
cm C ．
125
cm D ．
105
cm 8．要反应一周气温的变化情况，宜采用（ ） A ．统计表
B ．条形统计图
C ．扇形统计图
D ．折线统计图
9．已知12x <≤ ，则23(2)x x -+-的值为（ ） A ．2 x - 5
B ．—2
C ．5 - 2 x
D ．2
10．如图，在周长为20cm 的平行四边形ABCD 中，AB ≠AD ，AC 和BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则ΔABE 的周长为（ ）
A ．4cm
B ．6cm
C ．8cm
D ．10cm
二、填空题
11．如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，添加一个条件_____，使四边形ABCD 为矩形．
12．要使代数式5x -有意义，字母x 必须满足的条件是_____．
13．如图，在正方形ABCD 中，△ABE 为等边三角形，连接DE ，CE ，延长AE 交CD 于F 点，则∠DEF 的度数为_____．
14．已知a ，b 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣2020＝0的两个根，则a 2+2b ﹣3的值等于_____．
15．某次测验后，将全班同学的成绩分成四个小组，第一组到第三组的频率分别为0.1，0.3，0.4，则第四组的频率为_________.
16．若点A （﹣4，y 1），B （﹣2，y 2）都在反比例函数
1
y x
=-的图象上，则y 1，y 2的大小关系是y 1_____y 2．
17．空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，宜选用_____统计图．
18．如图，△ABC 中，∠BAC ＝20°，△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AED ，连接对应点C 、D ，AE 垂直平分CD 于点F ，则旋转角度是_____°．
19．如图，E 、
F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，AC ＝8，AE ＝CF ＝1，则四边形BEDF 的周长是_____．
20．如图，点E 在▱ABCD 内部，AF ∥BE ，DF ∥CE ，设▱ABCD 的面积为S 1，四边形AEDF 的面积为S 2，则
1
2
S S 的值是_____．
三、解答题
21．如图，▱ABCD 中，BD ⊥AD ，∠A =45°，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且BE =DF ，连接EF 交BD 于O ． （1）求证：EO =FO ；
（2）若EF ⊥AB ，延长EF 交AD 的延长线于G ，当FG =1时，求AE 的长．
22．为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制了如下尚不完整的统计图表:调查结果统计表 组别
A B
C
D E
分组（元） 030x ≤＜ 3060x ≤＜
频数
调查结果频数分布直方图 调查结果扇形统计图
请根据以上图表，解答下列问题：
（1）填空：这次调查的样本容量是 ，a = ,m = ； （2）补全频数分布直方图；（3）求扇形统计图中扇形B 的圆心角度数； （4）该校共有1000人，请估计每月零花钱的数额x 在3090x ≤＜范围的人数. 23．我校对本校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查，结果分成“非常感兴趣”、“比较感兴趣”、“一般般”、“不感兴趣”四种类型，分别记为A 、B 、C 、
D .根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.
根据所给数据，解答下列问题：
（1）本次问卷共随机调查了_________名学生，扇形统计图中m _________，扇形D 所对应的圆心角为_________°；
（2）请根据数据信息补全条形统计图；
（3）若该校有2000名学生，估计选择“非常感兴趣”、“比较感兴趣”共约有多少人？
24．先化简，再求代数式（1﹣32x +）÷21
2
x x -+的值，其中x ＝4．
25．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2=0有两个实数根x 1和x 2． （1）求实数m 的取值范围； （2）当x 12﹣x 22=0时，求m 的值． 26．阅读下列材料：
已知：实数x 、y 满足22
320.25
x x
y x x +=++(0.75)x ≠-，求y 的最大值． 解：将原等式转化成x 的方程，得2
1
(3)(2)04
y x y x y -+-+
=①． 若3y =，代入①得0.75x =-，
0.75x ≠-，
3y ∴≠，因此①必为一元二次方程．
21
(2)4(3)404
y y y y ∴∆=---⨯
=-+≥，解得4y ≤，即y 的最大值为4． 根据材料给你的启示，解决下面问题：
已知实数x 、y 满足22
32
21
x x y x x ++=++15x ⎛⎫≠- ⎪⎝
⎭，求y 的最小值．
27．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且BD:AD:CD=2:3:4， (1)试说明△ABC 是等腰三角形； (2)已知ABC
S
=160cm²，如图2，动点M 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿线段BA 向点A
运动，同时动点N 从点A 出发以相同速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止，设点M 运动的时间为t(秒)， ①若△DMN 的边与BC 平行，求t 的值；
②若点E 是边AC 的中点，问在点M 运动的过程中，△MDE 能否成为等腰三角形?若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．
28．已知：ABC ∆中以CB 为边在ABC ∆外侧作等边CBP ∆．
（1）连接AP ，以AP 为边作等边APQ ∆，求证：AC BQ =； （2）当30CAB ∠=︒，4AB =，3AC =时，求AP 的值；
（3）若4AB =，3AC =，改变CAB ∠的度数，发现CAB ∠在变化到某一角度时，AP 有最大值．画出CAB ∠为这个特殊角度时的示意图，并直接写出CAB ∠的角度和AP 的最大值．
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
由题可得,抽查的学生中参加社团活动时间在8∼10小时之间的学生数为100−30−24−10−8=28(人)， ∴1000×
28
100
=280(人)， 即该校五一期间参加社团活动时间在8∼10小时之间的学生数大约是280人． 故选A.
2．D
解析：D 【分析】
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】
A. 2019年泰兴市八年级学生的视力情况是总体，故A 错误；
B. 每一名八年级学生的视力情况是个体，故B 错误；
C. 从中随机调查了500名学生的视力情况是一个样本，故C 错误；
D. 样本容量是500，故D 正确； 故选：D.
此题考查总体、个体、样本、样本容量，解题关键在于掌握它们的定义及区别.
3．A
解析：A 【分析】
本题根据中心对称图形的概念求解． 【详解】
A 选项是中心对称图形，故本选项符合题意；
B 选项是轴对称图形，故本选项不合题意；
C 选项是轴对称图形，故本选项不合题意；
D 选项是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A ． 【点睛】
本题考查中心对称图形的识别，按照其定义求解即可，注意与轴对称图形的区别．
4．C
解析：C 【解析】
分析：直接利用随机事件的定义进而得出答案．
详解：∵有流量红包、话费充值卷、惊喜大礼包、谢谢参与四种等可能情况，∴他第4天签到后，抽奖结果是流量红包为随机事件． 故选C ．
点睛：本题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题的关键．
5．C
解析：C 【分析】
根据分式的值为零的条件可以得到40
20
x x -=⎧⎨+≠⎩，从而求出x 的值.
【详解】
解：由分式的值为零的条件得40
20x x -=⎧⎨+≠⎩
，
由40x -＝，得：4x =，
由20x +≠，得：2x ≠-. 综上，得4x =，即x 的值为4. 故选：C . 【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件，以及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的值为零的条件进行解题.
6．A
【分析】
根据矩形的判定定理再结合平行四边形的性质对选项逐一进行推理即可． 【详解】
A 、∠A=∠C 不能判定这个平行四边形为矩形，故此项错误；
B 、∵∠A=∠B ，∠A+∠B=180°，
∴∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，故此项正确； C 、AC=BD ，对角线相等，可推出平行四边形ABCD 是矩形，故此项正确； D 、AB ⊥BC ，即∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，故此项正确； 故选：A ． 【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和矩形的判定，掌握知识点是解题关键．
7．B
解析：B 【解析】
试题解析：∵菱形ABCD 的对角线86AC cm BD cm ==，，
11
4322
AC BD OA AC cm OB BD cm ∴⊥=
===，，，
根据勾股定理，5AB cm ===， 设菱形的高为h ， 则菱形的面积1
2
AB h AC BD =⋅=⋅， 即1
5862h =
⨯⨯， 解得24.5
h =
即菱形的高为24
5
cm ． 故选B ．
8．D
解析：D 【分析】
反应一周气温的变化情况，即反应一周气温的升高、降低的变化情况，因此采取折线统计图较好． 【详解】
解：折线统计图能够直观反应出一组数据的增减变化情况，因此要反应一周的气温变化情况，采用折线统计图较好， 故选：D ． 【点晴】
本题考查了各种统计图表的特征及应用，掌握统计图表的特征是解题的关键.
9．C
解析：C 【分析】
结合1 < x ≤ 2 ，根据绝对值和二次根式的进行计算，即可得到答案． 【详解】
因为1 < x ≤ 2 ，所以3x -+32x x -+-= 5 - 2 x.故选择C ． 【点睛】
本题考查不等式、绝对值和二次根式，解题的关键是掌握不等式、绝对值和二次根式．
10．D
解析：D 【解析】
分析：利用平行四边形、等腰三角形的性质，将△ABE 的周长转化为平行四边形的边长之间的和差关系．
详解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AC 、BD 互相平分， ∴O 是BD 的中点． 又∵OE ⊥BD ，
∴OE 为线段BD 的中垂线， ∴BE=DE ．
又∵△ABE 的周长=AB+AE+BE ， ∴△ABE 的周长=AB+AE+DE=AB+AD ． 又∵□ABCD 的周长为20cm ， ∴AB+AD=10cm ∴△ABE 的周长=10cm ． 故选D.
点睛：本题考查了平行四边形的性质．平行四边形的对角线互相平分． 请在此填写本题解析!
二、填空题
11．∠B=90°． 【分析】
根据旋转的性质得AB=CD ，∠BAC=∠DCA ，则AB ∥CD ，得到四边形ABCD 为平行四边形，根据有一个直角的平行四边形为矩形可添加的条件为∠B=90°． 【详解】 ∵△A
解析：∠B=90°． 【分析】
根据旋转的性质得AB=CD，∠BAC=∠DCA，则AB∥CD，得到四边形ABCD为平行四边形，根据有一个直角的平行四边形为矩形可添加的条件为∠B=90°．
【详解】
∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，
∴AB=CD，∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
当∠B=90°时，平行四边形ABCD为矩形，
∴添加的条件为∠B=90°．
故答案为∠B=90°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的判定．
12．x≥5
【分析】
根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】
∵代数式有意义，
∴x﹣5≥0，
解得x≥5．
故答案是：x≥5．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，二
解析：x≥5
【分析】
根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】
∴x﹣5≥0，
解得x≥5．
故答案是：x≥5．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13．105°
【分析】
根据四边形ABCD是正方形，可得AB=AD，∠BAD=90°，△ABC为等边三角形，
可得AE=BE=AB ，∠EAB=60°，从而AE=AD ，∠EAD=30°，进而求得∠AED 的度 解析：105°
【分析】
根据四边形ABCD 是正方形，可得AB=AD ，∠BAD=90°，△ABC 为等边三角形，可得AE=BE=AB ，∠EAB=60°，从而AE=AD ，∠EAD=30°，进而求得∠AED 的度数，再根据平角定义即可求得∠DEF 的度数．
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=AD ，∠BAD=90°，
∵△ABE 为等边三角形，
∴AE=BE=AB ，∠EAB=60°，
∴AE=AD ，
∠EAD=∠BAD ﹣∠BAE=30°，
∴∠AED=∠ADE=
12
（180°﹣30°）=75°， ∴∠DEF=180°﹣∠AED=180°﹣75°=105°．
故答案为105°．
【点睛】 本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质，解决本题的关键是综合运用正方形的性质和等边三角形的性质．
14．2021
【分析】
根据一元二次方程的根与系数的关系得出，再结合原方程可知，由此进一步求解即可.
【详解】
∵a 是一元二次方程的一个根，
∴，
再由根与系数的关系可知：，
∴a2+2b −3
＝a2−
解析：2021
【分析】
根据一元二次方程的根与系数的关系得出2a b +=，再结合原方程可知222020a a -=，由此进一步求解即可.
【详解】
∵a 是一元二次方程的一个根，
∴222020a a -=，
再由根与系数的关系可知：2a b +=，
∴a 2+2b −3
＝a 2−2a +2a +2b −3，
＝2020+2(a +b )−3
＝2020+2×2−3
＝2021，
故答案为：2021.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的性质与根与系数的关系的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
15．2
【分析】
根据一个事件频率总和等于1即可求出
【详解】
解：第四组的频率
【点睛】
本题考查了在一个实验过程中，通过其它组频率求相应组频率，解决本题的关键是正确理解频率的意义，明白在一个实验中频
解析：2
【分析】
根据一个事件频率总和等于1即可求出
【详解】
解：第四组的频率10.10.30.40.2=---=
【点睛】
本题考查了在一个实验过程中，通过其它组频率求相应组频率，解决本题的关键是正确理解频率的意义，明白在一个实验中频率总和为1.
16．＜
【分析】
直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【详解】
∵反比例函数中，k ＝﹣1＜0，
∴在每个象限内，y 随x 的增大而增大，
∵点A （﹣4，y1），B （﹣2，y2）都在反比例函数的图象上，
解析：＜
【分析】
直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【详解】
∵反比例函数
1
y
x
=-中，k＝﹣1＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数
1
y
x
=-的图象上，且﹣2＞﹣4，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键．
17．扇形
【分析】
反映各个部分占整体的百分比，因此选择扇形统计图比较合适．
【详解】
解：要反映空气中各成分所占的百分比，因此用扇形统计图比较合适，
故答案为：扇形．
【点睛】
本题考查统计图的选择，
解析：扇形
【分析】
反映各个部分占整体的百分比，因此选择扇形统计图比较合适．
【详解】
解：要反映空气中各成分所占的百分比，因此用扇形统计图比较合适，
故答案为：扇形．
【点睛】
本题考查统计图的选择，扇形统计图可以反映各个部分占整体的百分比．
18．40
【分析】
根据旋转的性质得出AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°，求出∠DAE＝∠CAE＝20°，再求出∠DAC的度数即可．
【详解】
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，∠BAC
解析：40
【分析】
根据旋转的性质得出AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°，求出∠DAE＝∠CAE＝20°，再求出
∠DAC 的度数即可．
【详解】
解：∵△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AED ，∠BAC ＝20°，
∴AD ＝AC ，∠DAE ＝∠BAC ＝20°，
∵AE 垂直平分CD 于点F ，
∴∠DAE ＝∠CAE ＝20°，
∴∠DAC ＝20°+20°＝40°，
即旋转角度数是40°，
故答案为：40．
【点睛】
本题主要考查了图像旋转的性质以及垂直平分线的性质，从而得到边相等与角相等的条件．
19．20
【分析】
连接BD 交AC 于点O ，则可证得OE ＝OF ，OD ＝OB ，可证四边形BEDF 为平行四边形，且BD⊥EF ，可证得四边形BEDF 为菱形；根据勾股定理计算DE 的长，可得结论．
【详解】
解：如
解析：20
【分析】
连接BD 交AC 于点O ，则可证得OE ＝OF ，OD ＝OB ，可证四边形BEDF 为平行四边形，且BD ⊥EF ，可证得四边形BEDF 为菱形；根据勾股定理计算DE 的长，可得结论．
【详解】
解：如图，连接BD 交AC 于点O ，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴BD ⊥AC ，OD ＝OB ＝OA ＝OC ，
∵AE ＝CF ＝2，
∴OA ﹣AE ＝OC ﹣CF ，即OE ＝OF ，
∴四边形BEDF 为平行四边形，且BD ⊥EF ，
∴四边形BEDF 为菱形，
∴DE ＝DF ＝BE ＝BF ，
∵AC ＝BD ＝8，OE ＝OF ＝8232
-=，
由勾股定理得：DE 5=，
∴四边形BEDF 的周长＝4DE ＝4×5＝20，
故答案为：20．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键．
20．2
【分析】
首先由ASA 可证明：△BCE≌△ADF；由平行四边形的性质可知：S△BEC+S△AED ＝S ▱ABCD ，进而可求出的值．
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD＝BC ，AD∥B
解析：2
【分析】
首先由ASA 可证明：△BCE ≌△ADF ；由平行四边形的性质可知：S △BEC +S △AED ＝12
S ▱ABCD ，进而可求出12
S S 的值． 【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，
∴∠ABC +∠BAD ＝180°，
∵AF ∥BE ，
∴∠EBA +∠BAF ＝180°，
∴∠CBE ＝∠DAF ，
同理得∠BCE ＝∠ADF ，
在△BCE 和△ADF 中，
CBE DAF BC AD
BCE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△BCE ≌△ADF （ASA ），
∴S △BCE ＝S △ADF ，
∵点E 在▱ABCD 内部，
∴S △BEC +S △AED ＝12
S ▱ABCD ， ∴S 四边形AEDF ＝S △ADF +S △AED ＝S △BEC +S △AED ＝
12S ▱ABCD ， ∵▱ABCD 的面积为S 1，四边形AEDF 的面积为S 2， ∴12
S S ＝2， 故答案为：2．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练利用三角形和平行四边形边的关系得出面积关系是解题关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）AE ＝3．
【分析】
（1）由平行四边形的性质和AAS 证明△OBE ≌△ODF ，得出对应边相等即可； （2）先证出AE=GE ，再证明DG=DO ，得出OF=FG=1，即可得出结果．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC ∥AB ，
∴∠OBE =∠ODF ．
在△OBE 与△ODF 中，
OBE ODF BOE DOF BE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△OBE ≌△ODF （AAS ）．
∴EO =FO ；
（2）∵EF ⊥AB ，AB ∥DC ，
∴∠GEA =∠GFD =90°．
∵∠A =45°，
∴∠G =∠A =45°．
∴AE =GE ，
∵BD ⊥AD ，
∴∠ADB =∠GDO =90°．
∴∠GOD =∠G =45°．
∴DG =DO ，
∴OF =FG =1，
由（1）可知，OE =OF =1，
∴GE =OE +OF +FG =3，
∴AE =3．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．
22．（1）50，16，8；（2）补全图形见解析；（3）扇形统计图中扇形B 的圆心角度数为115.2°；（4）每月零花钱的数额x 在30≤x ＜90范围的人数大约为720人．
【解析】
分析：（1）根据C 组的频数是20，对应的百分比是40%，据此求得调查的总人数，然后求得a 的值，m 的值；
（2）根据a 的值补全频数分布直方图；
（3）利用360°乘以对应的比例即可求解；
（4）利用总人数1000乘以对应的比例即可求解．
详解：（1）调查的总人数是20÷40%=50（人），则a =50﹣4﹣20﹣8﹣2=16，A 组所占的百分比是450
=8%，则m =8． 故答案为50，16，8； （2）补全频数分布直方图如图：
（3）扇形统计图中扇形B 的圆心角度数是360°×1650
=115.2°； （4）每月零花钱的数额x 在30≤x ＜90范围的人数是1000×
162050
+=720（人）． 答：每月零花钱的数额x 在30≤x ＜90范围的人数大约为720人． 点睛：本题考查了扇形统计图，观察统计表、扇形统计图获得有效信息是解题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（1）50；32；43.2 （2）见解析 （3）1120人
【分析】
（1）由A 的数据即可得出调查的人数，得出16100%32%50m =
⨯= （2）求出C 的人数即可；
（3）由1000(16%40%)⨯+，计算即可.
【详解】
（1）816%50÷=（人），16100%32%50⨯=，10016403236043.2100
---⨯︒=︒
故答案为：50，32，43.2
（2）5040%20⨯=（人），
补全条形统计图如图所示
（3）()200016%40%1120⨯+=（人）；
答：估计选择“非常了解”、“比较了解”共约有1120人.
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．11x +；15
【分析】
首先把括号内的分式进行通分、相减，把除法转化为乘法，即可化简，最后代入数值计算即可．
【详解】 解：原式＝()()
232211x x x x x +-+⋅++- ()()12211x x x x x -+=
⋅++- 11
x =+ 当x ＝4时，原式＝
15． 【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．
25．（1）m≤
14；（2）m ＝14
． 【分析】
（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b 2-4ac≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围；
（2）由x 12-x 22=0得x 1+x 2=0或x 1-x 2=0；当x 1+x 2=0时，运用两根关系可以得到-2m-1=0或方程有两个相等的实根，据此即可求得m 的值．
【详解】
解：（1）由题意有△=（2m-1）2-4m 2≥0，
解得m≤14
， 即实数m 的取值范围是m≤
14； （2）由两根关系，得根x 1+x 2=-（2m-1），x 1•x 2=m 2，
由x 12-x 22=0得（x 1+x 2）（x 1-x 2）=0，
若x 1+x 2=0，即-（2m-1）=0，解得m ＝
12， ∵12＞14
， ∴m ＝
12
不合题意，舍去， 若x 1-x 2=0，即x 1=x 2 ∴△=0，由（1）知m ＝
14， 故当x 12-x 22=0时，m ＝
14
． 【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握公式正确计算是本题的解题关键． 26．2316
【分析】
类比阅读材料给出的方法，分类探讨得出函数的最小值即可．
【详解】
解：将原等式转化成关于x 的方程，得：
2(3)(21)(2)0y x y x y -+-+-=①，
若3y =，代入①得15x =-
， ∵15
x ≠-， ∴3y ≠，因此①必为一元二次方程．
∵3a y =-，21b y =-，2c y =+，
∴22
4(21)4(3)(2)0b ac y y y ∆=-=----≥，
解得：
23
16
y≥且3
y≠．
∴y的最小值为23 16
．
【点睛】
本题考查了根的判别式的运用，把函数转化为关于x的方程，根据系数的取值范围，结合根的判别式，分类探讨得出答案即可．
27．（1）证明见详解；（2）①5或6；②9或10或49
6
．
【分析】
（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；
②根据题意得出当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-8；分别得出方程，解方程即可．
【详解】
（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，
则AB=5x，
在Rt△ACD中，AC=5x，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，
∴S△ABC=1
2
×5x×4x=160cm2，而x＞0，
∴x=4cm，
则BD=8cm，AD=12cm，CD=16cm，AB=AC=20cm．
由运动知，AM=20-2t，AN=2t，
①当MN∥BC时，AM=AN，
即20-2t=2t，
∴t=5；
当DN∥BC时，AD=AN，
∴12=2t，
得：t=6；
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．
②存在，理由：
Ⅰ、当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；Ⅱ、当t=4时，点M运动到点D，不构成三角形
Ⅲ、当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．∵点E是边AC的中点，
∴DE=12
AC=10 当DE=DM ，则2t-8=10，
∴t=9；
当ED=EM ，则点M 运动到点A ，
∴t=10；
当MD=ME=2t-8，
如图，过点E 作EF 垂直AB 于F ，
∵ED=EA ，
∴DF=AF=12
AD=6， 在Rt △AEF 中，EF=8；
∵BM=2t ，BF=BD+DF=8+6=14，
∴FM=2t-14
在Rt △EFM 中，（2t-8）2-（2t-14）2=82，
∴t=496
． 综上所述，符合要求的t 值为9或10或
496． 【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是分情况讨论．
28．（1）证明见解析；（2）5AP =；（3）图见解析，7AP =，∠CAB=120°．
【分析】
（1）只需借助等边三角形的性质证明△ACP ≌△QBP 即可得出结论；
（2）利用（1）中的全等和等边三角形的性质可求得90ABQ ∠=︒，再借助勾股定理即可求得AQ ，即AP 的值；
（3）当AQ 最长时，AP 最长，此时Q 在QB 的延长线，由此得解．
【详解】
解：（1）证明：
∵CBP ∆和APQ ∆为等边三角形，
∴AP=PQ ，CP=BP ，
∠CPN=∠APQ=60°，
∴∠CPA=∠BPQ ，
∴△ACP ≌△QBP （SAS ）
∴AC=BQ ；
（2）∵△ACP ≌△QBP ，
∴3BQ AC ==，CAP BQP ，AP AQ =， ∵APQ ∆为等边三角形，
∴60PAQ AQP , ∵30CAB ∠=︒ ∴BAQ AQB
CAQ CAB AQP BQP 60
3060CAP BQP 90=︒
∴90ABQ ∠=︒， ∴2222435AP
AQ AB BQ ； （3）如下图，当等边△APQ 的AQ 边在AB 的延长线上时，AQ 有最大值，即AP 有最大
值，
由（1）得△ACP ≌△QBP ，
∴BQ=CA=3，∠CAP=∠Q,
∵△APQ 为等边三角形，
∴∠CAP=∠Q=60°，AP=AQ=AB+BQ=7．
∴∠CAB=120°，
故AP 最大值时，7AP =，此时∠CAB=120°．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，勾股定
理．（1）中熟练掌握等边三角形的性质，得出∠CPA=∠BPQ 是解题关键；（2）中能求得90ABQ ∠=︒是解题关键；（3）中能想到AQ 有最大值，即AP 有最大值是解题关键．。