2017高考数学仿真卷二文

2017高考仿真卷·文科数学(二)
(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
第Ⅰ卷 选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知i 是虚数单位,则复数=( )
A.-2+i
B.i
C.2-i
D.-i
2.已知集合M={x|x 2
-4x<0},N=,则M ∪N=( ) A.[-2,4) B.(-2,4) C.(0,2) D.(0,2]
3.采用系统抽样的方法从 1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C 的人数为( ) A.12 B.13 C.14 D.15
4.已知命题p :函数y=ln(x 2
+3)+的最小值是2;命题q :“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是( ) A.p ∧q B.( p )∧( q ) C.( p )∧q D.p ∧( q )
5.已知点A 是抛物线C 1:y 2
=2px (p>0)与双曲线C 2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C 1的焦点的距离为p ,则双曲线C 2的离心率等于( ) A. B. C. D.
6.某产品的广告费用x (单位:万元)与销售额y (单位:万元)的统计数据如下表:
x 0 1 3 4 y
22 35 48 75
根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于( ) A.22 B.26 C.33.6 D.19.5
7.设a ,b ,c 分别是△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的边长,则直线sin A ·x-ay-c=0与bx+sin B ·y+sin C=0的位置关系是( ) A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直 8.
如图,正四棱锥P-ABCD 底面的四个顶点A ,B ,C ,D 在球O 的同一个大圆上,点P 在球面上,若V 正四棱锥P-ABCD =,则球O 的表面积是( ) A.4π B.8π C.12π D.16π
9.已知变量x ,y 满足线性约束条件若目标函数z=kx-y 仅在点(0,2)处取得最小值,则k 的取值范围是( )
A.k<-3
B.k>1
C.-1<k<1
D.-3<k<1
10.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()
A. B. C. D.
11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()
A.26
B.32
C.36
D.48
12.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:
①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()
A.①②
B.②③
C.①④
D.②④
第Ⅱ卷非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.
执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.
14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.
15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:
①函数f(x)的最大值为;
②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x 的图象;
③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;
④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.
其中正确的结论有个.
16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.
三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.
(1)求tan C的值;
(2)若a=,求△ABC的面积.
18.(本小题满分12分)
国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.
(1)请求出分数在[70,80)内的人数;
(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.
19.(本小题满分12分)
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.
(1)求证:EF⊥平面A1D1B;
(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.
20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C 上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|PA|2+|PB|2为定值.
21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.
(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;
(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.
22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.
(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.
23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
2017高考仿真卷·文科数学(二)
1.B解析 (方法一)=i.
(方法二)=i.
2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).
3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C 的有12人.
4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.
5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.
6.B解析由题意知=2,=45.
又由公式,得=26,故选B.
7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.
8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.
因为V正四棱锥P-ABCD=,所以·2R2·R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.
9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k满足-3<k<1.
10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.
可知PA2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时PA=,AC=.所以该几何体的体积V=×1×.
11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.
故(x+y+z)
=1+4+9+≥14+4+6+12=36,
当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.
12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于
③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.
13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.
14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.
所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.
15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.
因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.
由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.
由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.
16.a n= 解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.
所以,…,.
所以.
所以.
所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.
所以a n=.
17.解 (1)∵A=,∴B+C=.
∴sin=3sin C.
∴cos C+sin C=3sin C.
∴cos C=sin C.∴tan C=.
(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.
在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2.
∵a=,∴c=1,b=3.
∴△ABC的面积为S=bc sin A=.
18.解 (1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.
故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.
因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,
所以参加测试的总人数为=40.
所以分数在[70,80)内的人数为40×0.45=18.
(2)因为参加测试的总人数为=40,
所以分数在[50,60)内的人数为40×0.1=4.
设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),( A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,
其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种, 则选出的2人为“互补组”的概率为.
19.(1)证明如图,连接AB1.
因为E,F分别为AB与AB1的中点,
所以EF∥AB1.
因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.
又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.
又因为A1B∩D1A1=A1,
所以EF⊥平面A1D1B.
(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,
所以.
所以
=S△DEB·DD1
=×2=.
20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.
将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.
(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,
由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.
所以x1+x2=m,x1x2=.
所以|PA|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+
=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2
=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]
=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.
所以|PA|2+|PB|2为定值.
21.(1)证明由题意可得f'(x)=
=(x>0,x≠1).
令g(x)=2ln x-,
则g'(x)=.
当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.
于是f'(x)=g(x)>0,
故f(x)在(0,1)内为增函数.
当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,
于是f'(x)=g(x)>0,
故f(x)在(1,+∞)内为增函数.
(2)解af(x)-x=-x
=.
令h(x)=-ln x(x>0),
则h'(x)=.
令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,
所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,
若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,
所以af(x)-x=h(x)>0;
若x>1,则h(x)>h(1)=0,
所以af(x)-x=h(x)>0,
所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.
当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,
所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.
故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.
当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.
综上所述,a≥,即a的取值范围是.
22.解 (1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),
直线l的普通方程为x-y+2=0.
(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)
由Δ=8a(4+a)>0,
可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.
由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.
由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.
则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.
因为a>0,所以a=1.
23.解 (1)原不等式等价于
解得x≤-或x≥.
故原不等式的解集为.
(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,
则g(x)=
当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.
因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.
所以实数a的取值范围是(-1,1).。