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无锡市辅仁高中高三数学综合测试（2）2018.3
一．选择题：
1．1．集合A 中有3个元素，集合B 中有2个元素，映射f:A →B 使得B 中有且只有一个
元素在A 中的原象为2个，这样的映射f 的个数为（ C ）
A ．3
B ．5
C ．6
D ．8 2．下列判断错误的是
（B ）
A ．命题“若q 则p ”与命题“若p 则q ”互为逆否命题
B ．“am 2<bm 2”是“a<b ”的充要条件
C ．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假
D ．命题“}2,1{4}2,1{∈⊂或φ”为真（其中φ为空集）
3．已知一个简单多面体的各个顶点都有3条棱.设F,E,V 分别表示多面体的面数,棱数,顶点数,则2F-V 等于( B )
A ．2
B 。

4
C 。

8
D 。

12
4．若L 是过椭圆一个焦点且与长轴不重合的一条直线，则此椭圆与L 垂直且被L 平分的弦
（ D ）
A.有且只有一条
B. 有且只有2条
C.有3条
D. 不存在
5．函数f(x)的反函数图像向左平移1个单位，得到曲线C ，函数g(x)的图象与曲线C 关于y=x 成轴对称，那么g(x)等于（ A ）
A ．g(x)=f(x)-1
B 。

g(x)=f(x+1)
C ．g(x)=f(x)+1
D 。

g(x)=f(x-1)
6．平面向量a =(x,y)，b =(x 2,y 2
)，c =(1,1)，d =(2,2)，若a •c =b •d =1，则这样的向量a 有
（A ） A ．1个 B ．2个 C ．多于2个 D ．不存在
7．函数y ＝sin x |cot x |（0＜x ＜π ）的图像的大致形状是（B ）
8．将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点（2，0）与点 （－2，4）重合，若点（7，3）与点（m ,n ）重合，则m +n 的值为（C ） A.4 B.－4 C.10 D.－10 9．设方程|lg |2
x x
=-的两根为x 1、x 2，则（D ）
A.x 1x 2＜0
B.x 1x 2=1
C.x 1x 2＞1
D.0＜x 1x 2＜1
10．如图，正三棱锥A -BCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上．并
且
λ==FD
CF
EB AE （0＜λ＜＋∞），设α 为异面直线EF 与AC 所成的角，β 为异面直线EF 与BD 所成的角，则α＋β 的值是 （C ） A ．
6π B ．4π C ．2
π
D ．与λ 有关的变量 11．如果函数f(x)在区间D 上满足，对区间D 上的任意
x 1,x 2,…,x n ,有：
),()()()(2121n
x x x f n x f x f x f n
n +++≤+++ 则称f(x)在
区间D 为凸函数，已知：y =sinx 在区间（0，π）上是凸函数，那么在
ΔABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值为 （ C ） A ．
2
1
B ．
2
3
C ．
2
3
3 D ．
2
3 12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 1=1,点(n , S n )在曲线C 上,C 和直线x －y ＋1=0交于
A,B 两点,|AB|= 6 ,那么这个数列的通项公式是( C )
(A)21n a n =- (B) 32n a n =- (C) 43n a n =- (D) 54n a n =- 二．填空题：
13．在条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥5
2,1,
0y x x y 下，1+=x y z 的最大值为 23 。

14．如图所示，在A 、B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通. 今发现A 、
B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 13 种.
15．已知函数f(n)=5cos
π
n (n ∈N)，则)
33()22()11()2003()2()1(f f f f f f +++++ = 1 。

16．一天内的不同的时刻，经理把文件交由秘书打字。

每次都将文件堆放在秘书的文件堆的
上面，秘书有时间就将文件最上面的那份文件取来打字。

若有5份文件，且经理是按1，2，3，4，5的顺序交来的，在下列的顺序①12345，②32415，③24351，④54321，⑤45231中，秘书打字的可能顺序是_①②③④_______（只要填上序号）． 三．解答题：
17．已知A （3，0），B （0，3），C （cos α，sin α）.
（1）若BC AC ⋅=－1，求sin2α的值； （2）若13||=
+，且α∈（0，π），求OB 与OC 的夹角
.
解：（1）AC =（cos α－3，sin α），BC =（cos α，sin α－3）， ∴由AC ·BC =－1，得（cos α－3）cos α+sin α（sin α－3）=－1， 2分 ∴cos α+sin α=
3
2
， 4分 两边平方，得1+sin2α=
94，∴sin2α=－9
5. 6分
（2）OC OA +=（3+cos α，sin α）， ∴（3+cos α）2+sin 2α=13， 8分
∴cos α=
2
1
，∵α∈（0，π）， ∴α=
3π
，sin α=
2
3
， 9分 ∴2
3
3),23,21(
=
⋅OC OB C ， 设与OC 的夹角为θ，则
cos θ233233|
|||=
=OC OB OC OB ， 11分
∴θ=
6
π
即为所求. 12分
18．在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲
的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求： （1）乙连胜四局的概率； （2）丙连胜三局的概率．
解：（1）当乙连胜四局时，对阵情况如下：
第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜．
所求概率为1P ＝2
0.4)(1-×2
0.5＝2
0.3＝0.18 ∴ 乙连胜四局的概率为0.18． （2）丙连胜三局的对阵情况如下： 第一局：甲对乙，甲胜，或乙胜．
当甲胜时，第二局：甲对丙，丙胜．第三局：丙对乙，丙胜；第四局：丙对甲，丙胜． 当乙胜时，第二局：乙对丙，丙胜；第三局：丙对甲，丙胜；第四局：丙对乙，丙胜． 故丙三连胜的概率2P ＝0.4×20.6×0.5＋（1-0.4）×20.5×0.6＝0.162．
19．如右图α－l －β是120°的二面角，A 、B 两点在棱l 上，AB =2，D 在α内，三角形ABD 是等腰直角三角形，∠DAB =90°,C 在β内，三角形ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90。

（1）求三棱锥D －ABC 的体积;
（2）求二面角D －AC －B 的大小. （3）求异面直线AB 、CD 所成的角. 解：（1）过D 向平面β作垂线，垂足为O ,连结OA 并延长至E ，
∵AB ⊥AD ，OA 为DA 在平面β内的射影，
∴AB ⊥OA ，∴∠DAE 为二面角α－l －β的平面角 2分 ∴∠DAE =120°;∠DAO =60°,
∵AD =AB =2,∴DO =3,
∵△ABC 是等腰直角三角形，斜边AB =2. ∴S △ABC =1,又D 到平面β的距离DO =3，
∴V D －ABC =
3
3. 4分
（2）过O 在β内作OM ⊥AC ，连结DM ，则AC ⊥DM ， ∴∠DMO 为二面角D －AC －B 的平面角， 6分
在△DOA 中，OA =2cos60°=1, 且∠OAM =∠CAE =45°,∴OM =
2
2, ∴tan DMO =6, ∴∠DMO =arctan 6.
8分
（3）在β内过C 作AC 的平行线交AE 于F ， ∠DCF 为异面直线AB 、CD 所成的角 10分
∵AB ⊥AF ，AB ⊥AD ，CF ∥AB ，∴CF ⊥DF ， 又∠CAE =45°，即△ACF 为等腰直角三角形，
又AF 等于C 到AB 的距离，即为△ABC 斜边上的高， ∴AF =CF =1，
∴DF 2=AD 2+AF 2－2AD ·AF ·cos120°=7, ∴tan DCF =
7 CF
DF
, ∴∠DCF =arctan 7,
即异面直线AB 、CD 所成的角为arctan 7.
12分
20．已知a ＞0,n 为正整数.
（1）设y =(x －a )n ，证明y ′=n (x －a )n －
1;
（2）设f n (x )=x n －(x －a )n ,对任意n ≥a ,证明)
1(+'n f (n +1)＞(n +1)n f ' (n ). 解：（1）因为(x －a )n
=
∑=n
k k
n
C
(－a )n -k +x k ,
2分
所以y ′=
∑=n
k k n
k 1
C
(－a )
n －k x k －1
=
∑=--n
k k n n 1
11
C
(－a )n －
k ·x k －
1=n (x －a )n －
1.
6分
（2）对函数f n (x )=x n －(x －a )n 求导数：
n f '(x )=nx n －1－n (x －a )n －1
所以，n f ' (n )=n ［n n －1－(n －a )n －
1］.
当x ≥a ＞0时f ′n (x )＞0.
∴当x ≥a 时，f n (x )=x n －(x －a )n 是关于x 的增函数. 8分
因此，当x ≥a 时，(n +1)n －(n +1－a )n ＞n n －(n －a )n .
∴)
1(+'n f (n +1)=(n +1)［(n +1)n －(n +1－a )n ］＞(n +1)［n n －(n －a )n ］＞(n +1)［n n －n (n －a )n －1
］=(n +1)f n f ' (n ).
即对任意n ≥a , n f '+1(n +1)＞(n +1) n f ' (n ).
12分
21．已知点(,0)(0)F a a >，动点M 、P 分别在x 、y 轴上运动，满足,0=⋅PF PM
N 为动点，并且满足0PN PM +=
（1）求点N 的轨迹C 的方程； （2）过点(,0)F a 的直线l （不与
x 轴垂直）与曲线C 交于A B 、两点，设点
(,0)K a -，KA 与KB 的夹角为θ，求证：02
π
θ<<
.
解：（1）设(,),(0,),0(,2)N x y P b PM PN M x b y +=∴--
202M x b y y b ∴-=∴=在轴上①
又10-=-⋅-∴⊥∴=⋅a b
x b y PM
PF 2b x a
∴=
②
由①②可得，
24y ax =（也可用作直线:l x a '=-，运用抛物线的定义得出）
（2）设
:()AB l y k x a =- 2
()4y k x a y ax
=-⎧⎨=⎩由可得22222
(24)0k x ak a x a k -++= ·
设1122(,),(,)A x y B x y 2
212122
24,ak a x x x x a k
+∴+==
1122A (,),(,)K x a y KB x a y =+=+
2
00
4))(1())(1(])([])([))(())(())((22
212
2
212
22121222121212212121π
θ<
<∴>=+-+++=++-++++=--+++=+++=⋅∴k
a x x k a a x x k a x x a x x k a x x a x x a x a x k a x a x y y a x a x KB KA
22．已知122()()41,f x f x x x
-=-+数列{}{}n n a b 、满足下列条件：11a =，
12()n n a a f n +-=，1n n n b a a +=-*()n N ∈ （1）求()f x 的解析式； （2）求{}n b 的通项公式；
（3）试比较2n a 与n b 的大小，并加以证明。

解：（1）
12
2()()41f x f x x x
-=-+ ① ∴142()()21f f x x x x -=-+ ②
由①②可得，()21f x x =+ （2
）
11221,221n n n n a a n a a n +--=+-=-则，两式相减得1122n n n n a a a a +----=（），
即122n n b b --=，则有122(2)n n b b -+=+且1214b a a =-=
{}262n b ∴+是首项为，公比为的等比数列， 1
262n n b -∴+=⨯，则322n n b =⨯-．
（3）
1221,n n a a n +-=+① 又1322n n n n a a b +-==⨯- ②
由①②可得，32232324n+1)n n n n n a n a b =⨯--∴-=⨯-（
11112222333312202;220232802;320
n n n a b a b n a b a b n a b a b n a b =-=-<∴<=-=∴==-=>∴>≥->当时，当时，当时，猜测当时，
可用数学归纳法证明，或者
012
10112324n+13()4(1)3()4(1)2(1)0
n n n
n n n n n n n n n n n n n a b C C C C C n C C C C n n ---=⨯-=+++++-+≥+++-+=+>（）
112212;2232.n n n a b n a b n a b =<==≥>综上， 当时，当时，；当时，。