高一年级期末[下学期]江苏教育版

、高一年级第二学期
高一数学期末复习综合试题一
班级 姓名
一、选择题：
1．已知角α的终边经过点(8, 6cos60)P m --︒；且4
cos 5
α=-
；则m 的值是（ D ）
A 、12-
B 、
C
D 、1
2
2．如果向量(,1)a k =与(4,)b k =共线且方向相反；则k =（ B ）
A 、2±
B 、2-
C 、2
D 、0
3．若不等式|2x －3|>4与不等式20x px q ++>的解集相同；则p
q
= （ C ）
A 、
712 B 、127
- C 、712 D 、43
- 4．设等差数列{a n }前n 项和为S n ；则使S 6=S 7的一组值是（ C ） A 、3109, 9a a ==- B 、3109, 9a a =-=
C 、31012, 9a a =-=
D 、3109, 12a a =-=
5．为了得到R x x y ∈+=),63sin(2π
的图像；只需把R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（ C ）
A 、向左平移6π个单位长度；再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变）
B 、向右平移6π个单位长度；再把所得各点的横坐标缩短到原来的3
1
倍（纵坐标不变）
C 、向左平移6
π
个单位长度；再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
D 、向右平移
6
π
个单位长度；再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 6．已知两点(2, 0)M -、(2, 0)N ；点P 为坐标平面内的动点；满足||||0MN MP MN NP +=；则动点P （x ；y ）的轨迹方程为（ B ） A 、x y 82= B 、x y 82-= C 、x y 42= D 、x y 42-= 7．设a 、b 、c 是互不相等的正数；则下列等式中不恒成立．．．．
的是（ C ） A 、||||||c b c a b a -+-≤- B 、a
a a a 1
12
2+
≥+ C 、21
||≥-+
-b
a b a D 、a a a a -+≤+-+213 8．等比数列前3项依次为：1；a ；
1
16
；则实数a 的值是（ D ） A 、116 B 、14 C 、14- D 、14或14
-
二、填空题：
9．函数24log (5)y x =-的定义域为 [2, 2]- ．
10．在△ABC 中；已知BC ＝12；∠A ＝60°；∠B ＝45°；则AC ＝ 46．
11．设变量x 、y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪
-≥-⎨⎪+≥⎩
；则y x z 32+=的最大值为 18 ．
12．︒-︒︒+︒︒40cos 270tan 10sin 310cos 20cot ＝ 2 ．
13．不等式3)61
(log 2≤++x
x 的解集为(322,322){1}---+．
14．对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”；
仿此；52“分裂”中最大的数是 9 ；若m 3的“分裂”中最小的数是211；则m 的值为 105 ． 三、解答题：
15．若a 为实数；设函数x x x a x f -+++-=111)(2；令t ＝x x -++11；求t 的取值
范围；并把f (x )表示为t 的函数m (t )．
解：由11x x ++-有意义可知：11x -≤≤；
可设：sin , [,]22x ππ
αα=∈-
；从而[,]244
αππ
∈-； ∴ 1sin 1sin |cos sin
||cos
sin
|2cos
[2,2]2
2
2
2
2
t α
α
α
α
α
αα=++-=++-=∈
故：t 的取值范围[2, 2]；
由t ＝11x x ++-可知：221
112
x t -=- 故：22
11()(1), [2,2]22
m t a t t at t a t =-+=
+-∈．
16．在△ABC 中A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ；已知向量(1, 2sin )m A =；
(sin , 1cos )n A A =+；满足//m n ；b +c
；
（1）求A 的大小；（2）求sin()6
B π
+的值． 解：（1）由//m n ；得22sin 1cos 0A A --=………………2分
即22cos cos 10A A +-=；
∴1
cos 2
A =或cos 1A =-………………4分
∵A 是△ABC 的内角；∴cos 1A =- 舍去
∴3
A π
=
………………6分
（2
）∵b c +=
；∴由正弦定理；3
sin sin 2
B C A +=
………………8分 ∵23
B C π+=；
∴23
sin sin()3
2B B π+-=
………………10分
3
3sin 2
2B B +=
即sin()6B π+=……………12分
17．已知数列{}n a 、{}n b 满足：121, (a a a a ==为常数）；且1n n n b a a +=；其中1,2,3n =… （1）若{a n }是等比数列；试求数列{b n }的前n 项和n S 的表达式；
（2）当{b n }是等比数列时；甲同学说：{a n }一定是等比数列；乙同学说：{a n }一定不是等比数列；
你认为他们的说法是否正确？为什么？ 解：（1）∵{a n }是等比数列a 1=1；a 2=a ；
∴ a ≠0；a n =a n －
1； 又∵1n n n b a a +=⋅；
∴1
2112211211, n n n n n n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a
+++++-+⋅=⋅=====⋅； 即{}n b 是以a 为首项；a 2为公比的等比数列；∴ 22
(1)
, (1);1 , (1);, (1).n n a a a a S n a n a ⎧-≠±⎪-⎪
⎪==⎨⎪-=-⎪⎪⎩
；
（2）甲、乙两个同学的说法都不正确；理由如下：
{a n }可能是等比数列；也可能不是等比数列；举例说明如下： 设{b n }的公比为q ；
①取a =q =1时；a n =1(n ∈N )；此时b n =a n a n +1=1；{a n }、{b n }都是等比数列. ②取a =2；q =1时；*2121 ()
; 2 ()2 ()
n n k k n a b n N n =-=⎧==∈⎨
⎩
所以{b n }是等比数列；而{a n }不是等比数列．
18．设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ；2132++++=n n n n a a a c （n =1,2,3,…）；
证明：（1）当数列}{n a 为等差数列时；数列}{n c 也为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…）；
（2）当数列}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…）时；数列}{n a 也为等差数列．
证：（1）设数列{}n a 是公差为1d 的等差数列；则：
113()n n n n b b a a +++-=--2()n n a a +-=1()n n a a +--32()n n a a ++-=1d 1d -=0； ∴1n n b b +≤（n =1,2,3,…）成立；
又11()2n n n n c c a a ++-=-+21()n n a a ++-323()n n a a +++-=61d （常数）（n =1,2,3,…） ∴数列{}n c 为等差数列。

（2）设数列{}n c 是公差为2d 的等差数列；且1n n b b +≤（n =1,2,3,…）；
∵1223n n n n c a a a ++=++ ……① ∴223423n n n n c a a a ++++=++……②
①－②得：22()n n n n c c a a ++-=-132()n n a a +++-243()n n a a +++-=1223n n n b b b ++++；
∵21()n n n n c c c c ++-=-+122()2n n c c d ++-=-； ∴122232n n n b b b d ++++=-……③
从而有：1232232n n n b b b d +++++=-……④
④－③得：12132()2()3()0n n n n n n b b b b b b +++++-+-+-=……⑤
∵1()0n n b b +-≥；210n n b b ++-≥；320n n b b ++-≥； ∴由⑤得：10n n b b +-=（n =1,2,3,…）；
由此；不妨设3n b d =（n =1,2,3,…）；则23n n a a d +-=（常数） 故：121323423n n n n n n c a a a a a d +++=++=+-……⑥
从而：1123423n n n c a a d +++=+-13425n n a a d +=+-……⑦ ⑦－⑥得：1132()2n n n n c c a a d ++-=--；
故；1131()2n n n n a a c c d ++-=-+231
2
d d =+（常数）（n =1,2,3,…）；
∴数列{}n a 为等差数列．。