广西省桂林市2019-2020学年第五次中考模拟考试数学试卷含解析

广西省桂林市2019-2020学年第五次中考模拟考试数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．二元一次方程组
436
24
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的解为（）
A．
3
2
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
B．
2
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
C．
3
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
D．
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
2．在平面直角坐标系中，点（-1，-2）所在的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．由一些大小相同的小正方形搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方形的个数最少是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．一、单选题
如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）
A．75°B．80°C．85°D．90°
5．中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF，观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（）
A．EF CF
AB FB
=B．
EF CF
AB CB
=C．
CE CF
CA FB
=D．
CE CF
EA CB
=
6．不等式23
x+…的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．
D．
7．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝14，BC＝1．则∠BDC的度数是（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
8．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是
BC、CD，测得BC=6 米，CD=4 米，∠BCD=150°，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，则电线杆AB 的高度为（）
A．2+23B．4+23C．2+32D．4+32
9．安徽省2010年末森林面积为3804.2千公顷，用科学记数法表示3804.2千正确的是（）A．3804.2×103B．380.42×104C．3.8042×106D．3.8042×105
10．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则的值为
A．B．C．D．
11．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）
的步数，并绘制成如下统计表：
步数（万步） 1.0 1.2 1.1 1.4 1.3
天数 3 3 5 7 12
在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）
A．1.3，1.1 B．1.3，1.3 C．1.4，1.4 D．1.3，1.4
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，且AB=AC，若CD=22，则OE的长为_____．
Ð的大小14．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上，则B
为________.
15．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，点D为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、点B，且AB=4，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留π）．
16．用48米长的竹篱笆在空地上,围成一个绿化场地,现有两种设计方案,一种是围成正方形的场地;另一种是围成圆形场地.现请你选择,围成________(圆形、正方形两者选一)场在面积较大.
17．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中»CD所在圆的圆心．
已知：»CD．
求作：»CD所在圆的圆心O．
（2）分别作弦CM，DM的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是»CD所在圆的圆心．
老师说：“曈曈的作法正确．”
请你回答：曈曈的作图依据是_____．
18．如图，随机闭合开关1K，2K，3K中的两个，能让两盏灯泡1l和2l同时发光的概率为___________．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）某公司对用户满意度进行问卷调查，将连续6天内每天收回的问卷数进行统计，绘制成如图所示的统计图．已知从左到右各矩形的高度比为2:3:4:6:4:1．第3天的频数是2．请你回答：
（1）收回问卷最多的一天共收到问卷_________份；
（2）本次活动共收回问卷共_________份；
（3）市场部对收回的问卷统一进行了编号，通过电脑程序随机抽选一个编号，抽到问卷是第4天收回的概率是多少？
（4）按照（3）中的模式随机抽选若干编号，确定幸运用户发放纪念奖，第4天和第6天分别有10份和2份获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？
20．（6分）如图①是一副创意卡通圆规，图②是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂．使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA＝OB＝10cm.
(1)当∠AOB＝18°时，求所作圆的半径(结果精确到0.01cm)；
(2)保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度(结果精确到0.01cm，参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，
21．（6分）计算：﹣22+2cos60°
+（π﹣3.14）0+（﹣1）2018 22．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD ，对角线AC 与BD 相交于点E ，点G 为AD 的中点，连接CG ，CG 的延长线交BA 的延长线于点F ，连接FD ．求证：AB=AF ；若AG=AB ，∠BCD=120°，判断四边形ACDF 的形状，并证明你的结论．
23．（8分）如图，抛物线2y a(x 1)4=-+与x 轴交于点A ，B ，与
轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴，
交抛物线的对称轴于点D ，连结BD ，已知点A 坐标为（-1，0）．
求该抛物线的解析式；求梯形COBD 的面积．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝﹣
1
3
x+2的图象交x 轴于点P ，二次函数y ＝﹣12x 2+32
x+m 的图象与x 轴的交点为（x 1，0）、（x 2，0），且21x +22x ＝17 （1）求二次函数的解析式和该二次函数图象的顶点的坐标． （2）若二次函数y ＝﹣
12x 2+3
2x+m 的图象与一次函数y ＝﹣13
x+2的图象交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），在x 轴上是否存在点M ，使得△MAB 是以∠ABM 为直角的直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（12分）已知边长为2a 的正方形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点Q ，对于平面内的点P 与正方形ABCD ，给出如下定义：如果2a PQ a <<
，则称点P 为正方形ABCD 的“关联点”.在平面直角坐标系
xOy 中，若A （﹣1，1），B （﹣1，﹣1），C （1，﹣1），D （1，1）.
（1）在11,02P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，213,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，()
30,2P 中，正方形ABCD 的“关联点”有_____； （2）已知点E 的横坐标是m ，若点E 在直线3y x =上，并且E 是正方形ABCD 的“关联点”，求m 的取值范围；
（3）若将正方形ABCD 沿x 轴平移，设该正方形对角线交点Q 的横坐标是n ，直线31y x =+与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点.如果线段MN 上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”，求n 的取值范围. 27．（12分）如图，在等边△ABC 中，点D 是 AB 边上一点，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转60°后得到CE ，连接AE ．求证：AE ∥BC ．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．） 1．C
利用加减消元法解这个二元一次方程组. 【详解】
解：
436
24
x y
x y
+=⋯⋯⎧
⎨
+=⋯⋯
⎩
①
②
①-②⨯2，得：y=-2，
将y=-2代入②，得：2x-2=4，解得，x=3，
所以原方程组的解是
3
2 x
y
=
⎧
⎨
=-⎩
.
故选C.
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点，解此题的关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程，题目比较典型，难度适中.
2．C
【解析】
：∵点的横纵坐标均为负数，∴点（-1，-2）所在的象限是第三象限，故选C
3．C
【解析】
试题分析：由题中所给出的左视图知物体共两层，每一层都是两个小正方体；从俯视图可以可以看出最底层的个数
所以图中的小正方体最少2+4=1．故选C．
4．A
【解析】
分析：依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．
详解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
5．B
【解析】
分析：由平行得出相似，由相似得出比例，即可作出判断.
详解: ∵EF∥AB, ∴△CEF∽△CAB, ∴EF CF CE
AB CB CA
==,故选B.
点睛：本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
6．B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质：先移项，再合并即可解得不等式的解集，最后将解集表示在数轴上即可．
【详解】
解：解：移项得，
x≤3-2，
合并得，
x≤1；
在数轴上表示应包括1和它左边的部分，如下：
；
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的解集的求法及在数轴上表示不等式的解集，注意数轴上包括的端点实心点表示．
7．B
【解析】
【分析】
只要证明△OCB是等边三角形，可得∠CDB=1
2
∠COB即可解决问题.
【详解】
如图，连接OC，
∵AB=14，BC=1， ∴OB=OC=BC=1， ∴△OCB 是等边三角形， ∴∠COB=60°， ∴∠CDB=1
2
∠COB=30°， 故选B ． 【点睛】
本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题，属于中考常考题型． 8．B 【解析】 【分析】 【详解】
延长AD 交BC 的延长线于E ，作DF ⊥BE 于F ，
∵∠BCD=150°，
∴∠DCF=30°，又CD=4，
∴DF=2，22CD DF -3 由题意得∠E=30°， ∴EF=
23tan DF
E
= ， ∴3
∴AB=BE×tanE=（3×
3
3
=（3+4）米， 即电线杆的高度为（3+4）米．
点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
∵3804.2千=3804200，
∴3804200=3.8042×106；
故选：C．
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．C
【解析】
∵，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED。

∴。

∴。

故选C。

11．C
【解析】
【分析】
设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
【详解】
设参加酒会的人数为x人，依题可得：
1
x（x-1）=55，
2
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为C.
【点睛】
考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.
【分析】
在这组数据中出现次数最多的是1.1，得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数．
【详解】
在这组数据中出现次数最多的是1.1，即众数是1.1．
要求一组数据的中位数，把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数都是1.1，所以中位数是1.1．
故选B．
【点睛】
本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．2
【解析】
【分析】
连接OA，所以∠OAC＝90°，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C，根据圆周角定理可知∠AOD＝2∠B＝2∠C，故可求出∠B和∠C的度数，在Rt△OAC中，求出OA的值，再在Rt△OAE中，求出OE的值，得到答案.
【详解】
连接OA，
由题意可知∠OAC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
根据圆周角定理可知∠AOD＝2∠B＝2∠C，
∵∠OAC＝90°
∴∠C＋∠AOD＝90°，
∴∠C＋2∠C＝90°，
故∠C＝30°＝∠B，
∴在Rt△OAC中，sin∠C＝OA
OC
＝
1
2
，
∴OC ＝2OA ，
∵OA ＝OD ，
∴OD ＋CD ＝2OA ，
∴CD ＝OA ＝，
∵OB ＝OA ，
∴∠OAE ＝∠B ＝30°，
∴在Rt △OAE 中，sin ∠OAE ＝
OE OA ＝12， ∴OA ＝2OE ，
∴OE ＝12
OA
.
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，角的转换，以及在直角三角形中的三角函数的运用，解本题的要点在于求出OA 的值，从而利用直角三角形的三角函数的运用求出答案.
14．40°
【解析】
【分析】
根据旋转的性质可得出AB ＝AD 、∠BAD ＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B 的度数，此题得解．
【详解】
根据旋转的性质，可得：AB ＝AD ，∠BAD ＝100°，
∴∠B ＝∠ADB ＝
12
×（180°−100°）＝40°． 故填：40°
. 【点睛】
本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B 的度数是解题的关键．
15．4﹣π
【解析】
【分析】
由在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AB=4，可求得直角边AC 与BC 的长，继而求得△ABC 的面积，又由扇形的面积公式求得扇形EAD 和扇形FBD 的面积，继而求得答案．
【详解】
解：∵在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AB=4，
∴AC=BC=AB•sin45°=
2
∴S△ABC=1
2
AC•BC=4，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD=1
2
AB=2，
∴S扇形EAD=S扇形FBD=
45
360
×π×22=
1
2
π，
∴S阴影=S△ABC﹣S扇形EAD﹣S扇形FBD=4﹣π．
故答案为：4﹣π．
【点睛】
此题考查了等腰直角三角形的性质以及扇形的面积．注意S阴影=S△ABC﹣S扇形EAD﹣S扇形FBD．
16．圆形
【解析】
【分析】
根据竹篱笆的长度可知所围成的正方形的边长，进而可计算出所围成的正方形的面积；根据圆的周长公式，可知所围成的圆的半径，进而将圆的面积计算出来，两者进行比较．
【详解】
围成的圆形场地的面积较大．理由如下：
设正方形的边长为a，圆的半径为R，
∵竹篱笆的长度为48米，
∴4a=48，则a=1．即所围成的正方形的边长为1；2π×R=48，
∴R=24
π
，即所围成的圆的半径为
24
π
，
∴正方形的面积S1=a2=144，圆的面积S2=π×（24
π
）2=
576
π
，
∵144＜576π
，
∴围成的圆形场地的面积较大．
故答案为：圆形．
【点睛】
此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．
17．①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）
【解析】
【分析】
（1）在»CD上任意取一点M，分别连接CM，DM；
（2）分别作弦CM，DM的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是»CD所在圆的圆心．
【详解】
解：根据线段的垂直平分线的性质定理可知：OC OM OD
==，
所以点O是»CD所在圆的圆心O（理由①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）：）
故答案为①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）
【点睛】
本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．1 3
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：画树状图得：
由树状图得：共有6种结果，且每种结果的可能性相同，其中能让两盏灯泡同时发光的是闭合开关为：K1、K3与K3、K1共两种结果，
∴能让两盏灯泡同时发光的概率
21 ==
63
，
故答案为：1
3
．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．18 60分
【解析】
分析：（1）观察图形可知，第4天收到问卷最多，用矩形的高度比=频数之比即可得出结论；
（2）由于组距相同，各矩形的高度比即为频数的比，可由数据总数=某组的频数÷频率计算；
（3）根据概率公式计算即可；
（4）分别计算第4天，第6天的获奖率后比较即可．
详解：（1）由图可知：第4天收到问卷最多，设份数为x ，则：4：6=2：x ，解得：x=18；
（2）2÷[4÷（2+3+4+6+4+1）]=60份；
（3）4183P 6010==∴第天，抽到第4天回收问卷的概率是310
； （4）第4天收回问卷获奖率105189=，第6天收回问卷获奖率23
． ∵5293
<， ∴第6天收回问卷获奖率高．
点睛：本题考查了对频数分布直方图的掌握情况，根据图中信息，求出频率，用来估计概率．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．概率=所求情况数与总情况数之比．
20． (1)3.13cm(2)铅笔芯折断部分的长度约是0.98cm
【解析】
试题分析：（1）根据题意作辅助线OC ⊥AB 于点C ，根据OA=OB=10cm ，∠OCB=90°，∠AOB=18°，可以求得∠BOC 的度数，从而可以求得AB 的长；
（2）由题意可知，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，则AE=AB ，然后作出相应的辅助线，画出图形，从而可以求得BE 的长，本题得以解决．
试题解析：（1）作OC ⊥AB 于点C ，如右图2所示，由题意可得，OA=OB=10cm ，∠OCB=90°，∠AOB=18°，
∴∠BOC=9°，∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm ，即所作圆的半径约为3.13cm ；
（2）作AD ⊥OB 于点D ，作AE=AB ，如下图3所示，∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE ，∵∠AOB=18°，OA=OB ，∠ODA=90°，∴∠OAB=81°，∠OAD=72°，∴∠BAD=9°，
∴BE=2BD=2AB•sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm ，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm ．
考点：解直角三角形的应用；探究型．
21．-1
【解析】
【分析】
原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂法则计算即可求出值．
【详解】
解：原式＝﹣4+1+1+1＝﹣1．
【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF是矩形．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；
（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BE∥CD，AB=CD，
∴∠AFC=∠DCG，
∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF=CD，
∴AB=CF．
（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF=CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠FAG=60°，
∵AB=AG=AF，
∴△AFG 是等边三角形，
∴AG=GF ，
∵△AGF ≌△DGC ，
∴FG=CG ，∵AG=GD ，
∴AD=CF ，
∴四边形ACDF 是矩形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.
23．（1）2y (x 1)4=--+（2）()OCDA 133S 62
+⨯==梯形 【解析】
【分析】
（1）将A 坐标代入抛物线解析式，求出a 的值，即可确定出解析式．
（2）抛物线解析式令x=0求出y 的值，求出OC 的长，根据对称轴求出CD 的长，令y=0求出x 的值，确定出OB 的长，根据梯形面积公式即可求出梯形COBD 的面积．
【详解】
（1）将A （―1，0）代入2y a(x 1)4=-+中，得：0=4a+4，解得：a=－1．
∴该抛物线解析式为2y (x 1)4=--+．
（2）对于抛物线解析式，令x=0，得到y=2，即OC=2，
∵抛物线2y (x 1)4=--+的对称轴为直线x=1，∴CD=1．
∵A （－1，0），∴B （2，0），即OB=2．
∴()OCDA 133S 62
+⨯==梯形． 24．（1）y ＝﹣
12x 2+32x+2＝（x ﹣32）2+258，顶点坐标为（32，258
）；（2）存在，点M （9227，0）．理由见解析．
【解析】
【分析】 （1）由根与系数的关系，结合已知条件可得9+4m ＝17，解方程求得m 的值，即可得求得二次函数的解析式，再求得该二次函数图象的顶点的坐标即可；（2）存在，将抛物线表达式和一次函数y ＝﹣13
x+2联
立并解得x ＝0或113，即可得点A 、B 的坐标为（0，2）、（113，79），由此求得， ，
过点B 作BM ⊥AB 交x 轴于点M ，证得△APO ∽△MPB ，根据相似三角形的性质可得AP OP MP PB = ，代入数据即可求得MP ＝7027，再求得OM ＝9227，即可得点M 的坐标为（9227
，0）． 【详解】 （1）由题意得：x 1+x 2＝3，x 1x 2＝﹣2m ，
x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝17，即：9+4m ＝17，
解得：m ＝2，
抛物线的表达式为：y ＝﹣
12x 2+32x+2＝（x ﹣32）2+258， 顶点坐标为（32，258
）； （2）存在，理由：
将抛物线表达式和一次函数y ＝﹣
13x+2联立并解得：x ＝0或113
， ∴点A 、B 的坐标为（0，2）、（113，79
）， 一次函数y ＝﹣13
x+2与x 轴的交点P 的坐标为（6，0）， ∵点P 的坐标为（6，0），B 的坐标为（113，79），点B 的坐标为（0，2）、 ∴PB ＝221176039
()()-+-=710， AP=2262+=210
过点B 作BM ⊥AB 交x 轴于点M ，
∵∠MBP ＝∠AOP ＝90°，∠MPB ＝∠APO ，
∴△APO ∽△MPB ，
∴AP OP MP PB = 210710= ， ∴MP ＝7027
，
∴OM ＝OP ﹣MP ＝6﹣7027＝9227
， ∴点M （
9227
，0）． 【点睛】 本题是一道二次函数的综合题，一元二次方程根与系数的关系、直线与抛物线的较大坐标．相似三角形的判定与性质，题目较为综合，有一定的难度，解决第二问的关键是求得PB 、AP 的长，再利用相似三角形的性质解决问题．
25．x ﹣1，1．
【解析】
【分析】
先通分计算括号里的，再计算括号外的，最后根据分式性质，找一个恰当的数2（此数不唯一）代入化简后的式子计算即可．
【详解】 解：原式＝(1)(1)1x x x x x
++⨯－＝x ﹣1， 根据分式的意义可知，x≠0，且x≠±1，
当x ＝2时，原式＝2﹣1＝1．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，化简过程中要注意运算顺序，化简结果是最简形式，难点在于当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式的各分式都有意义，且除数不能为零．
26．（1）正方形ABCD 的“关联点”为P 2，P 3；（2）122
m ≤≤或122m -≤≤-；（3n ≤≤【解析】
【分析】
（1）正方形ABCD 的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点），由此画出图形即可判断；
（2）因为E 是正方形ABCD 的“关联点”，所以E 在正方形ABCD 的内切圆和外接圆之间（包括两个圆
上的点），因为E 在直线y =上，推出点E 在线段FG 上，求出点F 、G 的横坐标，再根据对称性即可解决问题；
（3）因为线段MN 上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”，分两种情形：
①如图3中，MN 与小⊙Q 相切于点F ，求出此时点Q 的横坐标；②M 如图4中，落在大⊙Q 上，求出点Q 的横坐标即可解决问题；
【详解】
（1）由题意正方形ABCD 的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点），
观察图象可知：正方形ABCD 的“关联点”为P 2，P 3； （2）作正方形ABCD 的内切圆和外接圆，
∴OF ＝1，2OG =.
∵E 是正方形ABCD 的“关联点”，
∴E 在正方形ABCD 的内切圆和外接圆之间（包括两个圆上的点）， ∵点E 在直线3y x =上，
∴点E 在线段FG 上.
分别作FF’⊥x 轴，GG’⊥x 轴，
∵OF ＝1，2OG =
∴12OF '=，22
OG '=. ∴122m ≤≤. 根据对称性，可以得出212m ≤≤-. ∴1222
m ≤≤或2122m -≤≤-. （3）∵3M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、N （0，1）
，
∴33OM =，ON ＝1. ∴∠OMN ＝60°.
∵线段MN 上的每一个点都是正方形ABCD
的“关联点”，
①MN 与小⊙Q 相切于点F ，如图3中，
∵QF ＝1，∠OMN ＝60°，
∴233
QM =. ∵3OM =， ∴33OQ =
. ∴13,03Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
. ②M 落在大⊙Q 上，如图4中，
∵2QM =3OM = ∴32OQ =.
∴
2
Q
⎫
⎪⎪
⎭
.
n
≤≤
【点睛】
本题考查一次函数综合题、正方形的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题.
27．见解析
【解析】
试题分析:根据等边三角形的性质得出AC=BC,∠B=∠ACB=60°,根据旋转的性质得出CD=CE,∠DCE=60°,求出∠BCD=∠ACE,根据SAS推出△BCD≌△ACE,根据全等得出∠EAC=∠B=60°,求出∠EAC=∠ACB,根据平行线的判定得出即可.
试题解析:∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠B=∠ACB=60°,
∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到CE,
∴CD=CE,∠DCE=60°,
∴∠DCE=∠ACB,即∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE,
∴∠BCD=∠ACE,
在△BCD与△ACE中,
BC AC
BCD ACE
DC EC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△BCD≌△ACE,
∴∠EAC=∠B=60°,
∴∠EAC=∠ACB,
∴AE∥BC.。