高中数学公式汇总(上海版)

集合命题不等式公式
1、()U C A B ⋂=_____U U C A C B ⋃____；()U C A B ⋃=_____U U C A C B ⋂______。

2、A B A ⋂=⇔__A B ⊆___；A B B ⋃=⇔__A B ⊆__；U U C B C A ⊆⇔__A B ⊆___； U A C B ⋂=∅⇔
____A B ⊆____；U C A B U ⋃=⇔______A B ⊆_____。

3、含n 个元素的集合有：__2n __个子集，__21n -__个真子集，__21n -__个非空子集，__22n -__个非空真子集。

4、常见结论的否定形式
__原命题______逆否命题______否命题____与____逆命题___互为等价命题。

6、若p q ⇒，则p 是q 的___充分____条件；q 是p 的____必要____条件。

7、基本不等式：
（1）R b a ∈,：________222a b ab +≥_____________等且仅当b a =时取等号。

（2）+∈R b a ,：__________a b +≥__________等且仅当b a =时取等号。

（3）绝对值的不等式：__________||||||||||||a b a b a b -≤±≤+_________ 8、均值不等式：
+
∈R b a ,时，_______2
11a b
+______≤≤___2a b +___≤等且仅当b a =时取等号。

9、分式不等式：
()0()f x g x ≥⇔()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩ ()
0()f x g x ≤⇔()()0()0
f x
g x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩ 10、绝对值不等式： |()|(0)____()()________________f x a a f x a f x a >>⇔<->或 11、指、对数不等式： （1）1>a 时：
()()
_____()()_______l o g ()l o
g ()_______0()()________
f x
g x a a a a
f x
g x f x
g x f x g x <⇔<<⇔<<
（2）1
0<
<a时：
()()______()()________
log()log()______()()0________
f x
g x
a a
a a f x g x
f x
g x f x g x
<⇔>
<⇔>>
函数公式
1、函数)
(x
f
y=的图象与直线a
x=交点的个数为 1 个2、一元二次函数解析式的三种形式：
一般式：2(0)
y ax bx c a
=++≠__；顶点式：
2
2
4
()(0)
4
b a
c b
y a x a
a
-
=++≠_；
零点式：____((0)
22
b b
y a x x a
a a
---
=--≠___________。

3、二次函数2
()(0)
y f x ax bx c a
==++≠，[,]
x m n
∈的最值：
10、0
a>时，
max
()
22
()
22
b m n
f m
a
y
b m n
f n
a
+
⎧
->
⎪⎪
=⎨
+
⎪-≤
⎪⎩
m i n
()
2
()
22
()
2
b
f n n
a
b b
y f m n
a a
b
f m m
a
⎧
-≥
⎪
⎪
⎪
=-<-<
⎨
⎪
⎪
-≤
⎪
⎩
20、0
a<时，
max
()
2
()
22
()
2
b
f n n
a
b b
y f m n
a a
b
f m m
a
⎧
-≥
⎪
⎪
⎪
=-<-<
⎨
⎪
⎪
-≤
⎪
⎩
m i n
()
22
()
22
b m n
f m
a
y
b m n
f n
a
+
⎧
->
⎪⎪
=⎨
+
⎪-≤
⎪⎩
4、奇函数()
f x-=_____ ()
f x
-_____，函数图象关于原点对称；
偶函数()
f x-=_____ ()
f x____=___(||)
f x___，函数图象关于y轴对称。

奇函数若在x=0有意义，则)0(f= 0
5＊、若)
(x
f
y=是偶函数，则()
f x a
+=______()
f x a
--_______；
若()
y f x a
=+是偶函数，则()
f x a
+=______()
f x a
-+_______。

6、函数()
y f x
=在[,]
x m n
∈单调递增(减)的定义：_____________任取
12
,[,]
x x m n
∈，且
12
x x
<，若
12
()()
f x f x
<，则函数()
y f x
=在[,]
x m n
∈单调递增；若
12
()()
f x f x
>，则函数()
y f x
=在[,]
x m n
∈单调递减________。

7、如果函数()
f x和()
g x在R上单调递减，那么()()
f x
g x
+在R上单调递__减___，[()]
f g x在R 上单调递___增____。

8、奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性。

（填写“相同”或“相反”）
9、互为反函数的两个函数的关系：()
f a b
=⇔___1()
f b a
-=_____。

10、)
(x
f
y=与)
(1x
f
y-
=互为反函数，设)
(x
f的定义域为D，值域为A，则有
=
-)]
(
[1x
f
f____)
(A
x
x∈_____；=
-)]
(
[1x
f
f______)
(D
x
x∈______。

11、定义域上的单调函数一定有反函数。

（填写“一定有”，“可能有”，“一定没有”）
12、奇函数如果存在反函数，则反函数的奇偶性奇函数；
互为反函数的两个函数具有相同的单调性。

（填写“相同”或“相反”）
13、函数)(x f y =的图像向右移a 个单位，上移b 个单位，得函数____b a x f y +-=)(____的图像； 曲线(,)0f x y =的图像向右移a 个单位，上移b 个单位，得曲线(,)0f x a y b --=的图像。

1、函数图像的对称性与周期性
（1）一个函数)(x f y =本身的对称性与周期性
（2)(),(x b f y x a f y -=+=图像关于2
a
b x -=
对称； )(),(x b f y x a f y --=+=图像关于)0,2
(
a
b -对称； ()y f x =和1()y f x -=图像关于____直线y x =_____对称。

2、写出满足下列恒等关系的一个（组）具体的函数：
1
、*0,,,1)m
m
n
n
a a
a m n N n -==>∈>
2、n =_____||a ___________ n n a a ⎧=⎨±⎩为奇数______ 为偶数
3、有理指数幂的运算性质：
_______;()__________;()______.(0,0,,)r s r s r s r s r r r a a a a a ab a b a b r s Q +===>>∈4、指数式与
对数式的互化：log ___________.(0,1,0)b a N b a N a a N =⇔=>≠> 5、对数换底公式：log log _
_.(0,1,0)log c a c N N a a N a =>≠>，推论：log log m n a a n
b b m
=⋅ 6、对数的四则运算：(0,1,,0)a a M N >≠>
7、对数恒等式log a N a =_______N_________(0,1,0)a a N >≠>
8、幂函数：αx y =（α为常数，0≠α），图像恒过点（1，1），画出幂函数在第一象限的图像。

9、指数函数与对数函数
三角比公式
1、设α终边上任意一点坐标为),(y x P ，这点到原点的距离为)0(22>+=r y x r ，
则sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x r r
r r x y x y
αααααα======。

2、同角三角比公式：平方关系：1=22cos sin αα+=22sec tan αα-=22csc cot αα-。

商数关系：),2(cos sin tan Z k k ∈+≠=
ππαααα ),(s i n c o s
c o t Z k k ∈≠=παα
αα 倒数关系：),(1csc sin Z k k ∈≠=πααα ),2
(1s e c c o s Z k k ∈+≠=π
πααα
3、两角和与两角差公式：
sin()αβ±=___sin cos cos sin )αβαβ±____；tan()αβ±=__tan tan 1tan tan αβ
αβ
±___
cos()αβ±=___cos cos sin sin )αβ
αβ___。

4
、辅助角公式：sin cos __arctan )___(0)b
a x
b x x a a
+=+>
5、二倍角公式
sin 2α=2sin cos αα；cos2α=22cos sin αα-=22cos 1α-=212sin α--； 6、半角公式：sin
2
α
=cos 2
α
=7、万能置换公式：
2
tan 12tan
2sin 2
α
α
α+=
，2
tan 12tan 1cos 2
2α
αα+-=
，2
tan 12tan
2tan 2
α
α
α-=。

其中)(2,2
Z k k k ∈+≠+
≠ππαπ
πα
8、（理）三角比的积化和差与和差化积公式
)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=，)]
sin()[sin(21
sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=，)]
cos()[cos(21
sin sin βαβαβα--+-=
2cos
2sin
2sin sin β
αβ
αβα-+=+，
2sin
2
cos
2sin sin β
αβ
αβα-+=- 2
cos
2
cos
2cos cos β
αβ
αβα-+=+，
2
sin
2
sin
2cos cos β
αβ
αβα-+-=-
9、正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===，其中R 是三角形外接圆半径。

10、余弦定理：A bc c b a cos 22
22-+=；bc
a c
b A 2cos 222-+=。

11、三角形面积公式
：1sin ,22
a b c
S ab C p ++===
其中 1122222331
11()21x y x y AB AC AB AC x y ==-⋅ （第三格用行列式表示，第四格用向量表示）
诱导公式
1、=
o 1180πrad ，=
rad 1π
180o
2、扇形的弧长公式=l R α；扇形的面积公式=
S lR 21=22
1
R α 3、在直角坐标系中用“+”、“—”标出各个三角比在各个象限中的符号。

4、诱导公式)Z k ∈（
诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限
三角函数图像与性质
反三角函数图像与性质
=)arcsin(sin x ]2,2[,π
π-
∈x x ；=)arccos(cos x ],0[,π∈x x ；=)arctan(tan x )2
,2(,π
π-∈x x =)sin(arcsin x ]1,1[,-∈x x ；=)cos(arccos x ]1,1[,-∈x x ；=)tan(arctan x R x x ∈,
=
-)arcsin(x ]
2
,2[arcsin π
π-
∈-x x ，；
=
-)arccos(x ],0[arccos ππ∈-x x ，；
=-)arctan(x )2,2(,arctan π
π-
∈-x x ；=+x x arccos arcsin ]1,
1[,2
-∈x π
3、最简单的三角方程：
2、a 与b 的等
差中项____
2
_______；a 与b 的等比中项_____。

3、数列的通项公式与前n 项和的关系：=n a ⎩⎨⎧∈≥-=-)
,2()1(
*
11N n n S S n S n n 。

4、b ka a n n +=-1（k ≠0,k ≠1,b ≠0），求通项时，将该式变形)
1
(1
1-+=-+-k b a k k b a n n （*2,n n N ≥∈）。

5、已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则
（1）求数列{}n n a b +前n 项和用分组求和法；（2）求数列{}n n a b ⋅前n 项和用错位相减法；
（3）求数列1
1
{
}n n a a +前n 项和用裂项相消法。

6、1lim n n →∞=__0__；lim n C →∞
=__C __；（其中C 为常数），0
||1lim 11||11n n q q q q q →∞<⎧⎪
==⎨⎪>=-⎩不存在或
7、无穷等比数列各项和：q
a S S n n -=
=∞→1lim 1
，其中公比q 的取值范围为__0,1||≠<q q __
8、已知A a n n =∞→lim ，B b n n =∞→lim ，则B A b a n n n ±=±∞→)(lim ；B A b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim ；)0,0(lim ≠≠=∞→B b B A
b a n n
n n 矩阵行列式公式
1、通过对线性方程组增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解，这里所用的矩阵变换有下列三种：
（1）互换矩阵的两行；
（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数； （3）某一行乘以一个数加到另一行。

通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时，其增广矩阵的最后一个列向量给出了方程的解。

2、已知矩阵n k A ⨯，矩阵k m B ⨯，矩阵n m C ⨯，如果矩阵C 中第i 行，第j 列的元素ij c 为A 的第i 个行向量与B 的第j 个列向量的数量积，1,2,,1,2,i n j n ==，那么C=AB 。

（1）只有当A 的列数和B 的行数相等时,矩阵之积AB 才有意义； （2）一般的，_______AB BA ≠。

（填=或≠）
例如：若()123A =，456B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
，则AB=()32， BA=48125101561218⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭。

3、矩阵变换：向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的左边乘一个2阶方阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭，就可以得到另一个向量''x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即''x y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
a b x c d y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，这个矩阵变换把向量()x y 变换成向量()''x y 。

4、1
11
2
2233
3
a b c a b c a b c 按对角线法则展开123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++--- 按第一行展开2222221
11
33
3
3
3
3
b c a c a b a b c b c a c a b -+，
2c 的代数余子式是1
1
33
a b a b -
5、二元一次方程111
222
a x
b y
c a x b y c +=⎧⎨+=⎩记D=1
122
a b a b ，Dx=
112
2
c b c b ，Dy=
112
2
a c a c
当0D ≠时，方程组有唯一解，其解为x
y D x D D y D
⎧=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
； 当0,00x y D D D =≠≠且或时，方程组无解； 当0x y D D D ===时，方程组有无数多解。

6、三元一次方程111122223
333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d
++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
记D=1
11
2
2233
3a b c a b c a b c ，Dx=1
11
22233
3d b c d b c d b c ，Dy=1
11
2
2233
3a d c a d c a d c ，Dz=1
112
223
3
3
a b d a b d a b d
当0D ≠时，方程组有唯一解，其解为x y z D x D D y D D z D
⎧
=⎪⎪⎪
=
⎨⎪⎪=⎪⎩
；
当0D =时，方程组无解或有无穷多解。

7、算法部分请看书
向量复数公式
1、向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a b +=1212(,)x x y y ++
，a b -
=1212(,)x x y y --，a λ=11(,)x y λλ，a b ⋅
=||||cos a b θ=1212x x y y ⋅+⋅，向量夹角cos θ=
||||a b
a b ⋅=||a =
2、设1122(,),(,)a x y b x y ==，则
3、向量a 与向量b 夹角为锐角⇔0a b a b ⋅>且不平行于
4、向量a 在向量b 上的投影为||cos a θ
5、定比分点公式：111222(,),(,)P x y P x y ，12PP PP λ=，则P 坐标为1212
(,)11x x y y λλλλ
++++。

6、ABC ∆顶点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则ABC ∆重心坐标为
123123
(
,)33
x x x y y y ++++。

7、三角形四心定义：内心：三角形角平分线的交点； 外心：三角形中垂线的交点；
重心：三角形中线的交点；
垂心：三角形高的交点； 三角形四“心”向量形式的充要条件：
设O 为ABC ∆所在平面上一点，,,a b c 是,,A B C 对应的边。

（1） O 为ABC ∆的外心2
2
2
OA OB OC ⇔== （2） O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=
（3） O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OA OC ⇔⋅=⋅=⋅ （4） (
)AB AC AP AB
AC
λ=+(R ∈λ)，则P 的轨迹过三角形的内心
8、A 、B 、C 三点共线⇔(0)AB AC λλ=≠⇔(1)OA tOB t OC =+-（OA 、OB 、OC 的关系式）
9、复数,(,)z a bi a b R =+∈，则||z z 是纯虚数⇔0,0a b =≠。

10、12||z z -的几何意义是：12,Z Z 两点间的距离。

11、2
||z =2
||z ≠2z ；2||a =2||a =2
a （填写,=≠）
12、z R ∈⇔z z =。

13、负实数a 的平方根是i 。

14、实数a
15、实系数一元二次方程20ax bx c ++=
的解 __
______>02 _________0
2 ___
_________02b a b
x a b i
a ⎧-±∆⎪⎪
⎪=-∆=⎨⎪⎪-±∆<⎪⎩ 16、实系数一元二次方程2
0ax bx c ++=的两根为12,x x ，则12||x x -
=0|2|0
b ∆≥∆<⎪⎩。

直线公式
1、已知),(11y x A ，),(22y x B ，则AB
k =2
121x x y y --12()x x ≠ ||AB =221221)()(y y x x -+-=||1212x x k -+=||1
1212
y y k -+
2、直线的方程：（应用以上直线方程时应考虑其存在的条件） （1）点方向式：
v
y y u x x 0
0-=-（过00(,)P x y ,一个方向向量为(,)u v ，0uv ≠） 当0u =时，该直线方程为0x x =；当0v =时，该直线方程为0y y = （2）点法向式：0)()(00=-+-y y b x x a （过00(,)P x y ，一个法向量为(,)a b ） （3）点斜式：)(00x x k y y -=- （过00(,)P x y ，斜率为k ） 当斜率不存在时，该直线方程为0x x = （4）一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为零） （5）斜截式：b kx y +=（斜率为k ，在y 轴上的截距为b ） 当斜率不存在时，该直线方程为0x =
（6）(理)参数方程：00x x ut
y y vt =+⎧⎨=+⎩（过00(,)P x y ,一个方向向量为(,)u v ）
（7）(理)参数方程：00cos sin x x t y y t α
α=+⎧⎨=+⎩（过00(,)P x y ,倾斜角为α）
3、直线斜率k 和倾斜角α的关系：
k =),2()2,0[,tan ππ
παα⋃∈； α=⎪⎩⎪⎨⎧<+>)
0(arctan )(
2
)0(
arctan k k k k k ππ不存在 4、已知直线的法向量为(,)n a b =，则该直线的方向向量为d =(,)b a -，斜率为k =a
b
-（0b ≠）
5、两条直线的平行和垂直
（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+
21//l l ⇔1212
k k b b =⎧⎨≠⎩；此时两平行直线21l l ，间的距离d
=；
12l l ⊥⇔在或一个为零另一个不存,121-=k k 。

（2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l
21//l l ⇔11
122122
1112212
200A B A B A B A B A C AC A C
A C
⎧==⎪
⎪⎨⎪≠≠⎪⎩即即；此时两平行直线21l l ，间的距离d =2221||B A C C +-；
12l l ⊥⇔02121=+B B A A 。

6、两直线夹角公式： （1）tan θ=|1|
2
11
2k k k k +-（111:l y k x b =+，222:l y k x b =+）
（2）cos θ=
2
2
222
1
2
12121||B A B A B B A A +++（0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ）
7、常见的直线系方程：
（1）定点直线系方程：经过定点00(,)P x y 的直线系方程为)(00x x k y y -=-（除直线0x x =），其中k 是待定的系数。

（2）共点直线系方程：经过两直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（除l 2），其中λ是待定的系数。

（3）平行直线系方程：与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为''0()Ax By C C C ++=≠。

（4）垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为'0Bx Ay C -+=。

8、点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d=
2
2
00|
|B
A C By Ax +++。

9、
δ=
00(,)P x y 关于直线:0l ax by c ++=的相对位置。

在直线同侧的
所有点，δ的符号是相同的，在直线异侧的所有点，δ的符号是相反的。

（填写“相同”或“相反”） 10、点),(11y x A ，),(22y x B 在直线0Ax By C ++=异侧
⇔0))((2211<++++C By Ax C By Ax 。

11、点),(11y x A ，),(22y x B 在直线0Ax By C ++=同侧
直线与圆锥曲线联立勿忘△
1、对于曲线C 和方程0),(=y x F ，满足：（1）曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；（2）以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都是曲线C 上的点，我们就把方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线。

2、圆的方程：
（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-。

（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x )04(22>-+F E D 。

（3）圆的参数方程：cos [0,2)sin x a r y b r ααπαα=+⎧∈⎨=+⎩，是参数。

（4）圆的复数方程：0||z z r -=
3、已知点M ),(00y x ，圆C ：222)()(r b y a x =-+-。

点在圆外⇔22020)()(||r b y a x r CM >-+-⇔>； 点在圆上⇔22020)()(||r b y a x r CM =-+-⇔=； 点在圆内⇔22020)()(||r b y a x r CM <-+-⇔<。

4、直线l ：0=++C By Ax 与圆C ：222)()(r b y a x =-+- 相交⇔
d r =
<；相切⇔d r =
=；
相离⇔
d r =
>。

5、圆C 1与圆C 2位置关系：
外离2121||r r C C +>⇔；外切2121||r r C C +=⇔；相交212121||||r r C C r r +<<-⇔； 内切)(||||212121r r r r C C ≠-=⇔；内含)(||||212121r r r r C C ≠-<⇔。

6、圆的切线方程：
（1）过圆C ：222r y x =+上一点M ),(00y x 的圆的切线方程为200r y y x x =+。

（2）过圆C ：222)()(r b y a x =-+-上一点M ),(00y x 的圆的切线方程为
2200))(())((r b y b y a x a x =--+--。

（3）过圆C ：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x 上一点M ),(00y x 的圆的切线方程为
02
20000=++++++F y
y E x x D
y y x x 。

（4）斜率为k 的圆C ：222r y x =+的切线方程为y kx =±
7、圆的弦AB 的长度=R ，圆心到AB 距离为d ）
8、椭圆的定义是平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数2a （2a 大于|F 1F 2|）的点的轨迹。

焦点在x 轴的椭圆标准方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ，长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦点坐标为
(,0)，对称轴为x 轴、y 轴，对称中心为(0,0)。

9、椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的参数方程是cos [0,2),sin x a y b ααπαα=⎧∈⎨=⎩是参数；
复数方程是1212||||2,2||z z z z a a Z Z -+-=>。

10、点M ),(00y x 在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 内部⇔122
022
0<+b y a x 。

11、双曲线的定义是平面内到两个定点F 1，F 2的距离之差等于常数2a （2a 小于|F 1F 2|）的点的轨迹。

焦点在x 轴的双曲线标准方程为)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦点坐标为
(,0)，对称轴为x 轴、y 轴，对称中心为(0,0)。

12、双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 的参数方程是sec [0,2),tan x a y b ααπαα=⎧∈⎨=⎩
是参数；
复数方程是1212||||||2,2||z z z z a a Z Z ---=<。

13、（1）双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐进线方程为b
y x a =±。

（2）渐进线为0x y
a b
±=的双曲线方程可设为02222≠=-λλ，b y a x 。

14、抛物线的定义是平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）距离相等的点的轨迹。

15、抛物线22(0)y px p =>，焦点坐标为)0,2(p ，准线方程为2
p
x -=，p 的几何意义是焦点到准线
的距离。

16、（1）曲线(,)0F x y =关于点M ),(00y x 成中心对称的曲线是00(2,2)0F x x y y --=。

（2）曲线(,)0F x y =关于直线0x y C ++=成轴对称的曲线是(,)0F y c x c ----=。

*****（3）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的点是
2222
2()2()
(,)A Ax By C B Ax By C F x y A B A B
++++-
-++。

排列组合二项式定理概率统计公式
1、排列数公式：*!
__(1)
(1)____
___(,,)()!
m n n P n n n m n m N m n n m =--+=∈≤-
2、组合数公式：*(1)
(1)!
______(,,)!!()!
m
n
n n n m n C n N m N m n m m n m --+==∈∈≤-
3、组合数性质：__m n m n n C C -=；1
m m n n C C -+= m n C 1+。

4、组合数恒等式： （1）12r r r r r r r n C C C C +++++
+=1
1++r n C ； （2）012
n n
n n n C C C C ++++=2n ； （3）024n
n n C C C +++=12n -=135
n
n n C C C +++。

（4）1111__;
__.k k
m m
n n n n n nP P C C m
----== 5、排列数与组合数的关系：__m m m n m n P P C = 6、二项式定理()n a b +=011
()n n r n r r
n n
n
n n n C a C a b C a b C b n N --*++++
+∈，
其中通项公式1r T +=r n r r n C a b -。

7、二项式系数，当n 是偶数时，中间一项2n n
C 取得最大值，当n 是奇数时，中间两项2121+-=n n
n n
C
C 取
得最大值。

8、记必然事件为Ω，不可能事件为Φ，随机事件为A
设E 、F 是两个随机事件（填写独立、对立、互斥） （1）满足E F ⋃=Ω且E F ⋂=Φ的E 和F 叫做对立事件；
（2）（理）E 、F 不可能同时出现，则E 和F 叫做互斥事件；此时()()()P E F P E P F ⋃=+ （3）（理）E 、F 互相之间没有影响，则E 和F 是互相独立事件；此时()()()P EF P E P F = 9、（理）概率加法公式：()P A B ⋃= ()()()P A P B P AB +-。

10、设总体有N 个个体，它们分别是123,,,
N x x x x ，且它们的平均数为μ
则总体方差2σ=
222121
[()()()]n x x x N
μμμ-+-++-
σ叫做总体标准差，反映总体中各个个体之间的差别的大小。

11、抽样方法：
（1）随机抽样：抽样过程中能使总体中的每一个个体都有同样的可能性被选入样本。

（抽签、利用随机数抽样等）
（2）系统抽样：把总体的每一个个体编号，按某种相等的间隔抽取样本的方法。

（3）分层抽样：把总体分成若干个部分，然后再每个部分进行随机抽样的方法。

将总体个数N 分成k 层，每层的个体数分别记作123,,,
k N N N N ，
在每层中分别随机抽取123,,,
k n n n n 个个体组成容量为n 的样本。

12、样本为123,,,
n x x x x ，样本容量为n ，则
总体均值的点估计值为x =
123n
x x x x n
+++
+
总体标准差的点估计值为s =
均值的σ估计区间为[,]x x σσ-+。

13、（理）取离散值的随机变量叫做离散型随机变量，其取值概率可用下表给出
随机变量所有的取值12,,
,n x x x 12,,
,n p p 叫做随机变量的概率分布律。

随机变量ξ的数学期望为E ξ=1122n n x p x p x p ++
+
随机变量ξ的方差D ξ=2221122()()()n n x E p x E p x E p ξξξ-+-+
+-
数学期望是随机变量的加权平均数，表示随机变量取值的平均水平，因此也叫做随机变量的均值；随机变量的方差或标准差刻画了随机变量取值的离散程度。

14、（理）把直角坐标系的远点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并且取相同的单位长度。

设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ
则cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， 222
t a n (0)
x y y
x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪
⎩。

15、（理）0a ρρθ=+对应的曲线叫做等速螺线（阿基米德螺线）
立体几何公式
1、如果直线l 上有两个点在平面α上，那么直线l 与平面α的关系是直线l 在平面上 如果平面α与平面β相交，那么它们所有的交点构成的图形是直线
确定平面的条件是不在同一直线上的三点确定一个平面，或直线和直线外一点确定一个平面，或两条相交直线确定一个平面，或两条平行直线确定一个平面。

平行与同一直线的两条直线平行。

如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补。

2、空间直线1l 与直线2l 所成角是指在直线1l 上任取一点M ，过M 作2l 的平行线3l ，1l 与3l 的夹角就是直线1l 与直线2l 所成角，范围是[0,]2
π。

空间直线l 与平面α所成角是指当直线l 与平面α不垂直时，直线l 与平面α所成角是指直线l 与其在平面上α的投影'l 所成的角，范围是[0,]2
π。

空间平面1α与平面2α所成角是指在两平面的交线l 上任取一点O ，过点O 分别在两平面上作垂线OM 、ON ，MON ∠就是平面1α与平面2α所成角，范围是[0,)π。

3、与平面上任何直线都垂直的直线叫做平面的垂线。

如果一条直线与平面上的两条相交直线垂直，那么它与平面上的任意直线都垂直。

4、已知平面α与平面β互相平行，平面γ与它们的交线分别为直线a ，b ，那么直线a ，b 的位置关系是//a b 。

已知直线l 平行于平面α，平面β经过l 且与平面α相交于直线'l ，那么直线l 与'l 的位置关系是//'l l 。

5、请写出定理“在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直”的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。

6、斜二测法规定在x 轴方向上线段的长度是其表示的真实长度的一半，在y 轴和z 轴方向上线段的长度与其表示的真实长度相等。

斜二测画法中原图形和直观图的面积比为1:
4。

7、祖暅原理是：体积可以看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积相等。

8、圆柱是由长方形绕其一条边所在直线旋转形成的，圆锥是由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转形成的，球是由半圆绕其直径所在直线旋转形成的。

9、设几何体的底面周长为C ，母线或斜高长为'h ，则圆柱或直棱柱的侧面积为'Ch ；圆锥或正棱
锥的侧面积为1
'2
Ch ；半径为R 的球的表面积为24R π。

10、柱体体积公式为Sh ，锥体体积公式为1
3
Sh ，半径为R 的球的体积为343R π。

11、半径为R 的球的小圆半径为r d ） 12、球面距离是指联结球面上两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧的长度。

13、（理）已知空间中，直线1l ，2l 方向向量分别为1d ，2d ，平面α、β分别法向量为1n ，2n ，则
直线1l 与2l 所成角θ满足：12
12cos |
|||||
d d d d θ⋅=
直线1l 与平面α所成角θ满足：11
11sin |
|||||
d n d n θ⋅=
平面α与平面β所成二面角θ满足：12121212cos cos ||||||||
n n n n
n n n n θθ⋅⋅=
=或
点A 到平面α的距离d=1
1||||
AM n n ⋅。