原创1：2.2.2 直线方程的几种形式(二)（讲授式）
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(2)反之，任何一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.
直线的一般式方程
我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0），
叫做直线的一般式方程，简称为一般式.
适用条件
这个条件一定要记住
直线的一般式方程可以表示任线的一般式方程的再研究
二元一次方程Ax+By+C=0
这表示经过点(0, − )，斜率为− 的直线；
（A、B不同时为0）表示的
都是一条直线.
② 当B=0时,此时必有A≠0，方程变为 = − ，
这表示一条垂直于x轴，横截距为− 的直线.
新课讲授
总结
直线的一般式方程
由上面的讨论可知：
(1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示；
即：kx-y+(y0-kx0)=0，这是一个关于x，y的二元一次方程.
结论：任何一条直线的方程都可以写成
②当直线l的斜率不存在时(即倾斜角α=90°)，直线l的方程为x-x
0=0，
关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0
这也可以看成是y的系数为0的二元一次方程，即：x-0·y-x0=0.
（A、B不同时为0）的形式.
C1，C2应满足什么条件呢？相交呢？垂直呢？重合呢？
答：若l1//l2，则两条直线的斜率相等且纵截距不等，
即−
=
− ，−
同理可得，若
≠
≠
− .所以当
时，l1与l2相交.
若A1A2+B1B2=0，l1⊥l2.
若
=
=
时，l1与l2重合.
O
x
跟踪训练
练习1
直线的一般式方程的应用
如果A·C<0,且B·C<0，那么直线Ax+By+C=0不通过(
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
解析
选C.
C
)
y
−
O
−
由已知得A≠0，且B≠0，所以在直角坐标系下
令y=0，得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距为−
> ，
这就是今天我们要学习的内容
————直线的一般式方程
新课引入
引入新课
直线方程的求法
已知直线 l 经过P(1,3),在下列条件下求直线 l 的方程．
(1)垂直于x轴；
直线方程为x=1.
(2)垂直于y轴；
直线方程为y=3.
(3)斜率为2.
直线方程为: y-3=2(x-1)，即2x-y+1=0.
你能归纳出上述方程的共同特征吗？
即
+
+
+
−
−
= ,
= − 整理得a+1=1,∴a=0，即直线方程为x+y+2=0.
课堂小结
总结本节课的学习内容.
1.直线方程的一般式Ax+By+C=0（A，B不同时为零）
两方面含义：
（1）直线方程都是关于x,y的二元一次方程；
（2）关于x,y的二元一次方程的图象又都是一条直线.
x-y+4=0
直线 l 的一般式方程是___________.
达标检测
直线的一般式方程的应用
2.设直线 l 的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下
列条件分别确定m的值．
(1) l 在 x 轴上的截距是－3；(2) l 的斜率是－1.
解：(1)由题意可得
− − ≠ , ①
达标检测
直线的一般式方程的应用
4.设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
若直线 l 在两坐标轴上的截距相等，求直线 l 的方程.
解：当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，显然相等.
∴a=2,方程即为3x+y=0.
当直线不过原点时，a≠2,化简可得截距式方程
−
③当 A=0，B≠0，C=0时，方程表示的直线与x轴重合 ；
新课讲授
思考3
直线的一般式方程的再研究
在方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）中，A、B、C为何值时，
方程所表示的直线
①平行于x轴；②与x轴垂直；③与x轴重合；
④平行于y轴；⑤与y轴垂直；⑥与y轴重合；⑦过原点.
答：④当B=0，A≠0，C≠0 时，方程表示的直线与y轴平行；
=
且
=
时，l1//l2.
典例精析
直线的一般式方程的应用
例1 已知直线经过点A（6，- 4），斜率为
般式方程.
−
，求直线的点斜式和一
解：经过点A(6，-4),斜率为− 的直线的点斜式方程为
+=− −
化成一般式，得4x+3y−12=0.
典例精析
直线的一般式方程的应用
例2 把直线l的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以
及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
解：将原方程化成斜截式得
y
= +
因此，直线 l 的斜率 =
，它在
3
-6
y 轴上的截距是3，
令y=0，可得 x=-6，即直线 l 在x轴上的截距是-6，
连结(0,3)和(-6,0)两点，图形如右图所示.
若A≠0，则方程可变为x＋ y＋ ＝0，只需确定 与 的值；
若B≠0，则方程可变为
x＋y＋
＝0，只需确定 与
的值．
因此，只要给出两个独立的条件就可求出直线方程，这与两点确定一条
直线相似．
新课讲授
思考4
直线的一般式方程的再研究
直线的一般式方程Ax+By+C=0与直线方程的其它形式之间有什
在方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）中，A、B、C为何值时，
方程所表示的直线
①平行于x轴；②与x轴垂直；③与x轴重合；
④平行于y轴；⑤与y轴垂直；⑥与y轴重合；⑦过原点.
答：①当A=0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行；
②当 A≠0，B=0，C为任意实数时，方程表示的直线与x轴垂直；
三维目标及重难点分析
3．情感、态度与价值观
(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化；
(2)培养学生用联系的观点看问题．
4 ．重点与难点
重点
直线方程的一般式及各种形式的互化．
难点
对直线方程一般式的理解与应用．
复习回顾
直线方程的各种形式
各类方程的适用范围
直线方程名称
直线方程形式
点斜式
− = ( − )
3.若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则(
A．ab>0，bc>0
B．ab>0，bc<0
C．ab<0，bc>0
D．ab<0，bc<0
D)
解析：将直线方程的一般式化成斜截式得：
y＝－ x－ (由题设条件可知b≠0)．
∵直线过第一、二、三象限，∴它的斜率与在y轴上的截距均为正，
∴－ >0，－ >0.∴ab<0，bc<0，∴应选择D.
①若A＝0，则y＝− ，它表示一条与y轴垂直的直线；
②若B＝0，则x＝
− ，它表示一条与x轴垂直的直线．
新课讲授
思考5
直线的一般式方程的再研究
如果直线的l1，l2的一般式方程为l1 :A1x+B1y+C1=0，
l2 :A2x+B2y+C2=0 (A1B1C1≠0， A2B2C2≠0).若l1与l2平行，则A1，A2，B1，B2，
也就是说过点 ， 的一切直线的方程都可以写成一个形如
Ax+By+C=0的方程，且x与y的系数不同时为0.
新课讲授
思考2
直线的一般式方程的探究
对于任意一个二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同时为零）能
否表示一条直线？
答：①当B≠0时,方程变为 =
−
−
，
结论：任何一个关于x，y的
2.直线方程的一般式与特殊式的互化.
注意B=0
第
二
章
解
析
几
何
初
步
么关系呢？
答：(2)直线方程的其他形式都可化为一般式，解题时如果没有其他说明
一般把最后结果化为一般式，且x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不
出现分数，一般按含x项、y项、常数项的顺序排列.
但并不是所有的一般式都可化为其他形式，例如当C＝0时，一般式就不
能化为截距式，在解题时，有时把一般式化为其他形式可以直观地得到
令x=0，得直线Ax+By+C=0在y轴上的截距为−
> ，
草图如右图所示，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.
x
达标检测
直线的一般式方程的应用
1.若直线 l 在 x 轴上的截距为-4，倾斜角的正切值为1，
y-0=x+4
则直线 l 的点斜式方程是___________.
y=x+4
直线 l 的斜截式方程是___________.
⑤当B≠0，A=0，C为任意实数时，方程表示的直线与y轴垂直；
⑥当 B=0，A≠0，C=0 时，方程表示的直线与y轴重合；
⑦当C=0时，方程表示的直线过原点.
新课讲授
思考4
直线的一般式方程的再研究
直线的一般式方程Ax+By+C=0与直线方程的其它形式之间有什
么关系呢？
答：(1)对于直线方程Ax＋By＋C＝0（A、B不同时为0），
一些量，如将一般式化为斜截式就可直接从方程中得到斜率和纵截距．
新课讲授
思考4
直线的一般式方程的再研究
直线的一般式方程Ax+By+C=0与直线方程的其它形式之间有什
么关系呢？
答：(3)一般式化斜截式的步骤：①移项：By＝-Ax－C；
②当B≠0时，得y＝−
−
．
(4)若A，B全不为0，表示与两坐标轴都相交的直线．将其化为截距式的
不垂直x轴(斜率k存在)
斜截式
= +
−
−
=
− −
+ =
不垂直x轴(斜率k存在)
两点式
截距式
适用范围
不垂直两个坐标轴
不垂直两个坐标
轴且不经过原点
新课引入
引入新课
直线方程的求法
以上各种直线方程，都有其使用的局限性，是否能找到
一种直线方程，它没有局限性，可以表示任何直线呢？
可以变形为x-0·y-1=0
可以变形为0·x+y-3=0
三个方程的共同点为：
关于x与y的二元一次方程
Ax+By+C=0的形式.
新课讲授
思考1
直线的一般式方程探究
一般的，已知直线 l 经过点 ， ，试讨论直线 l 的方程．
答：①如果直线l的斜率为k存在 (即倾斜角α≠90°），
则由直线的点斜式方程可得 − = ( − )，
൞ −
= −
②
− −
由①可得m≠－1且m≠3.
由②得m＝3或m＝－ .
∴m＝－ .
+ − ≠ , ③
(2)由题意得ቐ
−−
−
+−
= − ④
由③得m≠－1且m≠ .
由④得m＝－1或m＝－2.
∴m＝－2.
达标检测
直线的一般式方程的应用
步骤：①把常数项移到方程右边Ax＋By＝－C；②当C≠0时，方程两边同
除以－C，得
－
x＋
－
y ＝1，即
−
+
−
= ．
新课讲授
思考4
直线的一般式方程的再研究
直线的一般式方程Ax+By+C=0与直线方程的其它形式之间有什
么关系呢？
答：(5)在一般式Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)中，
解析
几何
解析几何
解析几何
解析几何
2.2.2 直线方程的几种形式（二）
学习目标
三维目标及重难点分析
1．知识与技能
(1)明确直线方程一般式的形式特征；
(2)会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
(3)会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式．
2．过程与方法
学会用分类讨论的思想方法解决问题．
学习目标
直线的一般式方程
我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0），
叫做直线的一般式方程，简称为一般式.
适用条件
这个条件一定要记住
直线的一般式方程可以表示任线的一般式方程的再研究
二元一次方程Ax+By+C=0
这表示经过点(0, − )，斜率为− 的直线；
（A、B不同时为0）表示的
都是一条直线.
② 当B=0时,此时必有A≠0，方程变为 = − ，
这表示一条垂直于x轴，横截距为− 的直线.
新课讲授
总结
直线的一般式方程
由上面的讨论可知：
(1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示；
即：kx-y+(y0-kx0)=0，这是一个关于x，y的二元一次方程.
结论：任何一条直线的方程都可以写成
②当直线l的斜率不存在时(即倾斜角α=90°)，直线l的方程为x-x
0=0，
关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0
这也可以看成是y的系数为0的二元一次方程，即：x-0·y-x0=0.
（A、B不同时为0）的形式.
C1，C2应满足什么条件呢？相交呢？垂直呢？重合呢？
答：若l1//l2，则两条直线的斜率相等且纵截距不等，
即−
=
− ，−
同理可得，若
≠
≠
− .所以当
时，l1与l2相交.
若A1A2+B1B2=0，l1⊥l2.
若
=
=
时，l1与l2重合.
O
x
跟踪训练
练习1
直线的一般式方程的应用
如果A·C<0,且B·C<0，那么直线Ax+By+C=0不通过(
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
解析
选C.
C
)
y
−
O
−
由已知得A≠0，且B≠0，所以在直角坐标系下
令y=0，得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距为−
> ，
这就是今天我们要学习的内容
————直线的一般式方程
新课引入
引入新课
直线方程的求法
已知直线 l 经过P(1,3),在下列条件下求直线 l 的方程．
(1)垂直于x轴；
直线方程为x=1.
(2)垂直于y轴；
直线方程为y=3.
(3)斜率为2.
直线方程为: y-3=2(x-1)，即2x-y+1=0.
你能归纳出上述方程的共同特征吗？
即
+
+
+
−
−
= ,
= − 整理得a+1=1,∴a=0，即直线方程为x+y+2=0.
课堂小结
总结本节课的学习内容.
1.直线方程的一般式Ax+By+C=0（A，B不同时为零）
两方面含义：
（1）直线方程都是关于x,y的二元一次方程；
（2）关于x,y的二元一次方程的图象又都是一条直线.
x-y+4=0
直线 l 的一般式方程是___________.
达标检测
直线的一般式方程的应用
2.设直线 l 的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下
列条件分别确定m的值．
(1) l 在 x 轴上的截距是－3；(2) l 的斜率是－1.
解：(1)由题意可得
− − ≠ , ①
达标检测
直线的一般式方程的应用
4.设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
若直线 l 在两坐标轴上的截距相等，求直线 l 的方程.
解：当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，显然相等.
∴a=2,方程即为3x+y=0.
当直线不过原点时，a≠2,化简可得截距式方程
−
③当 A=0，B≠0，C=0时，方程表示的直线与x轴重合 ；
新课讲授
思考3
直线的一般式方程的再研究
在方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）中，A、B、C为何值时，
方程所表示的直线
①平行于x轴；②与x轴垂直；③与x轴重合；
④平行于y轴；⑤与y轴垂直；⑥与y轴重合；⑦过原点.
答：④当B=0，A≠0，C≠0 时，方程表示的直线与y轴平行；
=
且
=
时，l1//l2.
典例精析
直线的一般式方程的应用
例1 已知直线经过点A（6，- 4），斜率为
般式方程.
−
，求直线的点斜式和一
解：经过点A(6，-4),斜率为− 的直线的点斜式方程为
+=− −
化成一般式，得4x+3y−12=0.
典例精析
直线的一般式方程的应用
例2 把直线l的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以
及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
解：将原方程化成斜截式得
y
= +
因此，直线 l 的斜率 =
，它在
3
-6
y 轴上的截距是3，
令y=0，可得 x=-6，即直线 l 在x轴上的截距是-6，
连结(0,3)和(-6,0)两点，图形如右图所示.
若A≠0，则方程可变为x＋ y＋ ＝0，只需确定 与 的值；
若B≠0，则方程可变为
x＋y＋
＝0，只需确定 与
的值．
因此，只要给出两个独立的条件就可求出直线方程，这与两点确定一条
直线相似．
新课讲授
思考4
直线的一般式方程的再研究
直线的一般式方程Ax+By+C=0与直线方程的其它形式之间有什
在方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）中，A、B、C为何值时，
方程所表示的直线
①平行于x轴；②与x轴垂直；③与x轴重合；
④平行于y轴；⑤与y轴垂直；⑥与y轴重合；⑦过原点.
答：①当A=0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行；
②当 A≠0，B=0，C为任意实数时，方程表示的直线与x轴垂直；
三维目标及重难点分析
3．情感、态度与价值观
(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化；
(2)培养学生用联系的观点看问题．
4 ．重点与难点
重点
直线方程的一般式及各种形式的互化．
难点
对直线方程一般式的理解与应用．
复习回顾
直线方程的各种形式
各类方程的适用范围
直线方程名称
直线方程形式
点斜式
− = ( − )
3.若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则(
A．ab>0，bc>0
B．ab>0，bc<0
C．ab<0，bc>0
D．ab<0，bc<0
D)
解析：将直线方程的一般式化成斜截式得：
y＝－ x－ (由题设条件可知b≠0)．
∵直线过第一、二、三象限，∴它的斜率与在y轴上的截距均为正，
∴－ >0，－ >0.∴ab<0，bc<0，∴应选择D.
①若A＝0，则y＝− ，它表示一条与y轴垂直的直线；
②若B＝0，则x＝
− ，它表示一条与x轴垂直的直线．
新课讲授
思考5
直线的一般式方程的再研究
如果直线的l1，l2的一般式方程为l1 :A1x+B1y+C1=0，
l2 :A2x+B2y+C2=0 (A1B1C1≠0， A2B2C2≠0).若l1与l2平行，则A1，A2，B1，B2，
也就是说过点 ， 的一切直线的方程都可以写成一个形如
Ax+By+C=0的方程，且x与y的系数不同时为0.
新课讲授
思考2
直线的一般式方程的探究
对于任意一个二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同时为零）能
否表示一条直线？
答：①当B≠0时,方程变为 =
−
−
，
结论：任何一个关于x，y的
2.直线方程的一般式与特殊式的互化.
注意B=0
第
二
章
解
析
几
何
初
步
么关系呢？
答：(2)直线方程的其他形式都可化为一般式，解题时如果没有其他说明
一般把最后结果化为一般式，且x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不
出现分数，一般按含x项、y项、常数项的顺序排列.
但并不是所有的一般式都可化为其他形式，例如当C＝0时，一般式就不
能化为截距式，在解题时，有时把一般式化为其他形式可以直观地得到
令x=0，得直线Ax+By+C=0在y轴上的截距为−
> ，
草图如右图所示，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.
x
达标检测
直线的一般式方程的应用
1.若直线 l 在 x 轴上的截距为-4，倾斜角的正切值为1，
y-0=x+4
则直线 l 的点斜式方程是___________.
y=x+4
直线 l 的斜截式方程是___________.
⑤当B≠0，A=0，C为任意实数时，方程表示的直线与y轴垂直；
⑥当 B=0，A≠0，C=0 时，方程表示的直线与y轴重合；
⑦当C=0时，方程表示的直线过原点.
新课讲授
思考4
直线的一般式方程的再研究
直线的一般式方程Ax+By+C=0与直线方程的其它形式之间有什
么关系呢？
答：(1)对于直线方程Ax＋By＋C＝0（A、B不同时为0），
一些量，如将一般式化为斜截式就可直接从方程中得到斜率和纵截距．
新课讲授
思考4
直线的一般式方程的再研究
直线的一般式方程Ax+By+C=0与直线方程的其它形式之间有什
么关系呢？
答：(3)一般式化斜截式的步骤：①移项：By＝-Ax－C；
②当B≠0时，得y＝−
−
．
(4)若A，B全不为0，表示与两坐标轴都相交的直线．将其化为截距式的
不垂直x轴(斜率k存在)
斜截式
= +
−
−
=
− −
+ =
不垂直x轴(斜率k存在)
两点式
截距式
适用范围
不垂直两个坐标轴
不垂直两个坐标
轴且不经过原点
新课引入
引入新课
直线方程的求法
以上各种直线方程，都有其使用的局限性，是否能找到
一种直线方程，它没有局限性，可以表示任何直线呢？
可以变形为x-0·y-1=0
可以变形为0·x+y-3=0
三个方程的共同点为：
关于x与y的二元一次方程
Ax+By+C=0的形式.
新课讲授
思考1
直线的一般式方程探究
一般的，已知直线 l 经过点 ， ，试讨论直线 l 的方程．
答：①如果直线l的斜率为k存在 (即倾斜角α≠90°），
则由直线的点斜式方程可得 − = ( − )，
൞ −
= −
②
− −
由①可得m≠－1且m≠3.
由②得m＝3或m＝－ .
∴m＝－ .
+ − ≠ , ③
(2)由题意得ቐ
−−
−
+−
= − ④
由③得m≠－1且m≠ .
由④得m＝－1或m＝－2.
∴m＝－2.
达标检测
直线的一般式方程的应用
步骤：①把常数项移到方程右边Ax＋By＝－C；②当C≠0时，方程两边同
除以－C，得
－
x＋
－
y ＝1，即
−
+
−
= ．
新课讲授
思考4
直线的一般式方程的再研究
直线的一般式方程Ax+By+C=0与直线方程的其它形式之间有什
么关系呢？
答：(5)在一般式Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)中，
解析
几何
解析几何
解析几何
解析几何
2.2.2 直线方程的几种形式（二）
学习目标
三维目标及重难点分析
1．知识与技能
(1)明确直线方程一般式的形式特征；
(2)会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
(3)会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式．
2．过程与方法
学会用分类讨论的思想方法解决问题．
学习目标