陕西省黄陵中学高二下学期开学考试数学(文)试题(重点班)

黄陵中学高二下学期开学考试
重点班数学试题（文）
第I 卷（共60分）
一、 选择题 (本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.)
1．若m 、n 都是正整数，那么“m 、n 中至少有一个等于1”是“m n mn +>”的（ ）
A. 充分而不必要的条件
B. 必要而不充分的条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要的条件 2.在△ABC 中，若222,b c a bc +-=则A =
A.060
B.090
C.0135
D.0150
3.不等式2340x x -++<的解集为
A.{|14}x x -<<
B.{|41}x x x ><-或
C.{|14}x x x ><-或
D.{|41}x x -<<
4.若1,a >则11
a a +-的最小值是
A.2
B.a 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于 A.3 B.
53 C.1 D.-2 6．设P 为曲线f (x )=x 3+x -2上的点,且曲线在P 处的切线平行于直线y =4x -1,则P 点的坐标为( )
A ．(1,0)
B ．(2,8)
C ．(1,0)或(-1,-4)
D ．(2,8)或(-1,-4)
7．已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为
21，E 的右焦点与抛物线C ：y 2=8x 的焦点重合，点A 、B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |= ( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12 8．若ab ≠0，则ax -y +b =0和bx 2+ay 2=ab 所表示的曲线只可能是下图中的 ( )
9．已知x 2+y 2
= 1 ,若x + y －k ≥0对符合条件一切x 、y 都成立,则实数k 的最大值为（ ）
A ．2
B ．－2
C ．0
D ．1 10、侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的全面积是( ) A . 3＋34a 2 B. 34a 2 C. 3＋32a 2 D. 6＋34
a 2 11、平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β
B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥β
C ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β
D ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α
12、用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；
③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b .
其中真命题的序号是( )
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．③④
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分,请将答案填在答题纸上) 13.已知数列{}n a 满足：111,2+3
n n n a a a a +==（n ∈N *），则4=a ． 14.某物流公司有6辆甲型卡车和4辆乙型卡车，此公司承接了每天至少运送280t 货物的业务，已知每辆甲型卡车每天的运输量为30t ，运输成本为0.9千元；每辆乙型卡车每天的运输量为40t ，运输成本为1千元，则当每天运输成本最低时，所需甲型卡车的数量．．．．．．．
是____________． 15.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是 .
第1个 第2个 第3个
16.若不等式mx 2
+4mx -4＜0对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为 .
三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
(1)n S 为等差数列{a n }的前n 项和，62S S =,14=a ，求5a .
(2)在等比数列{}n a 中，若422324,6,a a a a -=+=求首项1a 和公比q .
18.（本小题满分12分）
过点P （2，1）作直线 交x 、y 正半轴于A 、B 两点，当PB PA ⋅取得最小值时，求直线 的方
程．（12分）
19.（本小题满分12分）
有三个数成等差数列，前两个数的和的3倍正好是第三个数的2倍，如果把第二个数减去2，那么所得到数是第一个数与第三个数的等比中项.求原来的三个数.
20. （本小题满分12分）
若0≤a ≤1, 解关于x 的不等式(x －a )(x +a －1)＜0. 21. （本小题满分12分）已知函数()221ax x f x x
+-=的定义域恰为不等式()212
log 3log 3x x ++≤的解集，且()f x 在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围.
22. （本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S
，已知数列是首项为1，公差为1的等差数列.
(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）令n b =，若不等式123n b b b b +++
+≥对任意n ∈N *都成立，求实数m 的取值范围.
高二数学参考答案
一、选择题：CABCD CBCBA DC
二、填空题：13.
153
14. 4 15.4n +2； 16.-1<m ≤0. 三、解答题：
17.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意，得1112615,31,a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩即11
270,31,a d a d +=⎧⎨+=⎩ ………………………3分 解得，12,7.d a =-=所以，51474(2) 1.a a d =+=+⨯-=- …………………6分
(2)设等比数列{a n }的公比为q ，
由题意，得211(1)24,(1)6,
a q q a q q ⎧-=⎨+=⎩ …………………………………3分
解得，115,.5q a ==
……………………………………………6分 18.： 设 ：
θ=∠>=+BAO b a b y a x ),0,(1（如图） 则,sin ,sin 1,sin 122b a b
b PB PA +=-==θθθ又
]1))[(1()
)(1(2222+-=+-=⋅∴b
a b b b a b PB PA 又P （2，1）在 上，
,2112-=⇒=+∴a b
a b a ,21082]1)2)[(12(22-+-=+---=⋅∴a a a a a a PB PA 设)0(2>=-t t a ，则,4)1(2222≥+=+=⋅t t t t PB PA 等号当其仅当11==t t
t 即时成立，这时a =b=3. 03=-+∴y x 的方程：直线 .
……………………………………………12分
19.解：设成等差数列的三个数分别为,,,a d a a d -+
由题意，得23(2)2(),()()(2),a d a d a d a d a -=+⎧⎨-+=-⎩ 即245,44,
a d a d =⎧⎨=+⎩ …………………4分 解得，4,5,d a =⎧⎨=⎩或1,5,4
d a =⎧⎪⎨=⎪⎩ ……………………8分 所以，原来的三个数分别为1,5,9或159,,.444 …………………………12分
20.解：原不等式即为(x －a )>0，
因为a -(1-a )=2a -1，所以，
当0≤12a <
时，1,a a <-所以原不等式的解集为{|1x x a >-或}x a <；…………3分 当12
a <≤1时，1,a a >-所以原不等式的解集为{|x x a >或1}x a <-；…………6分 当12a =时，原不等式即为21()2x ->0,所以不等式的解集为1{|,R}.2
x x x ≠∈……9分 综上知，当0≤12a <
时，原不等式的解集为{|1x x a >-或}x a <； 当12
a <≤1时，所以原不等式的解集为{|x x a >或1}x a <-； 当12a =时，原不等式的解集为1{|,R}.2
x x x ≠∈ ……………………12分 21. 解：由f （x ）的定义域为［
73，+∞）. ∵f （x ）在定义域［73，+∞）内单调递减，∴当x 2＞x 1≥7
3时，f （x 1）－f （x 2）＞0恒成立，即 （ax 1－11x +2）－（ax 2－21x +2）＞0⇔a （x 1－x 2）－（11x －2
1x ）＞0 ⇔（x 1－x 2）（a +2
11x x ）＞0恒成立. ∵x 1＜x 2，∴（x 1－x 2）（a +
211x x ）＞0⇔a +211x x ＜0. ∵x 1x 2＞499⇒－211x x ＞－9
49， 要使a ＜－211x x 恒成立，则a 的取值范围是a ≤－9
49. …………… 12分 22. 解：（1
）∵数列是首项为1,公差为1的等差数列，
()11n n =+-=. ∴2n S n =.
当1n =时，111a S ==； 当n ≥2时，1n n n a S S -=-()2
21n n =--21n =-. 又11a =适合上式. ∴21n a n =-. …… 4分
（2
）n b =
=
1
2
===
∴12
n
b b b
++
+
111
1
222
2
⎛
=+++
⎝⎝
1
1
2
⎛
=
⎝
=.
≥对任意n∈N*都成立，
得
11
m
≤=n∈N*
都成立.
令
n
c=1
1
1
n
n
n
c
c
+
+
==>
.
∴
1
n n
c c
+
>.
∴
113
n n
c c c
-
>>>=. ∴
3
m≤.
∴实数m的取值范围为
⎛
-∞
⎝⎦
. …… 10分。