高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角和与差的余弦课堂导学 苏教版必修4(2021年整理)

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教版必修4
三点剖析
1。

两角和与差的余弦公式的应用
【例1】化简下列各式。

（1）sin70°cos25°—sin20°·sin25°；
（2）cos （70°+α)cos（10°+α）+sin （70°+α）sin （170°—α）。

思路分析:从整体上观察式子的特点,区别角的异同，利用诱导公式合理转化,凑成公式形式，再利用公式解题.
解：（1）原式=cos20°cos25°-sin20°sin25°
=cos （20°+25°)=cos45°=2
2. （2）原式=cos(70°+α)cos(10°+α)+sin （70°+α)sin ［180°—(10°+α)］
=cos （70°+α)cos （10°+α)+sin （70°+α)·sin(10°+α）
=cos ［(70°+α）-(10°+α）］ =cos60°=2
1. 温馨提示
在逆用公式时，要通过诱导公式变形，使之符合公式的特征,有时还可以把三角式中的系数作为特殊值转化为特殊角.
2.两角差的余弦公式的探索与证明
【例2】已知sin=53，cosβ=17
15，求cos(α-β）的值. 思路分析:本题要考查利用两角差的余弦公式求值.根据两角差的余弦公式知,还须求cosα、sinβ.由条件可知，只要对α、β所处的象限进行讨论即可.
解：∵sinα=5
3＞0， ∴α为第一、二象限角.
当α为第一象限角时,cosα=5
4； 当α为第二象限角时，cosα=-5
4. ∵cosβ=17
15＞0, ∴β为第一、四象限角。

当β为第一象限角时，sinβ=
17
8； 当β为第四象限角时，sinβ=-178。

∵cos(α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，
∴当α、β均为第一象限角时，
cos （α-β）=54×1715+53×178=85
84; 当α为第一象限角，β为第四象限角时，
cos （α-β)=54×1715+53×（-178）=85
36； 当α为第二象限角，β为第一象限角时，
cos （α—β）=（-54）×1715+53×(-178)=-85
36； 当α为第二象限角，β为第四象限角时，
cos （α—β）=（-54）×1715+53×—178=—85
84。

温馨提示
①解题时，由结论出发分析题目作了哪些条件准备，还需再求什么，明确解题的目标.②已知条件中给出某个角的三角函数值，但并未指出角α所在的象限时,一般要进行分类讨论.
3。

两角和与差的余弦公式的综合应用
【例3】已知cos （α-
2β)=-53，sin （2α-β）=1312，且α∈（2π，π），β∈（0,2
π)，求cos 2βα+的值。

思路分析：本题主要考查角的变换及两角差的余弦公式。

本题是给值求值的问题,若不考虑条
件,盲目地看cos 2β
α+无法求。

为此寻求已知条件中角α—
2β、2α-β与欲求式中角2
βα+的关系，不难发现2βα+=（α-2β）-（2α—β)，这样将cosα+2β的值转化为cos[（α-2
β)—（2
α—β）］的值,可利用两角差的余弦公式求得。

解：∵2π＜α＜π,0＜β＜2
π, ∴4π＜2α＜2π，0＜2β＜4π＜，2
π＜α+β＜π23. ∴4π＜α-2β＜π，-4π＜2α-β＜2π，4
π＜2βα+＜π43。

又cos （α-2β）=—53，sin （2α—β）=13
12. ∴sin（α—2β）=54,cos （2α—β)=13
5。

∴cosα+2β=cos[（α-2β)—(2
α-β）] =cos （α-2β）cos(2α—β）+sin （α—2β）sin （2
α-β) =（—53)×135+54×1312=653365486515131254135=+-=⨯⨯-。

温馨提示
像这类给值求值问题，关键是抓住已知条件中的角与所求式中角的联系，即想办法利用已知条件中角表示所求式中的角，这个过程我们称作“角的变换”.
各个击破
类题演练1
求值。

（1）cos24°cos36°—sin24°sin36°；
(2）cos80°cos35°+cos10°cos55°；
（3)sin100°sin(—160°)+cos200°（-280°)；
（4)sin347°cos148°+sin77°cos58°。

解：（1）原式=cos （24°+36°）=cos60°=2
1;
（2）原式=cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos（80°—35°)=cos45°=22
；
（3）原式=sin （180°-80°)sin(20°-180°)+cos(20°+180°）cos （80°—360°） =sin80°（-sin20°）+（-cos20°）cos80°
=-sin80°sin20°-cos80°cos20°
=—（cos80°cos20°+sin80°sin20°)
=—cos(80°-20°)=—cos60°=-21
；
（4）原式=sin （-13°+360°)cos（180°—32°）+sin 77°cos58°
=sin （—13°）（-cos32°）+sin77°cos58°
=-sin13°(—cos32°）+sin77°cos58°
=cos77°cos32°+sin77°sin32°
=cos （77°-32°）=cos45°=22。

变式提升1
求值。

（1）cos （—15°）；(2)cos75°。

解:（1）cos （-15°）=cos15°=cos（45°-30°） =cos45°cos30°+sin45°sin30°=42
6+; （2)cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°—sin45°sin30°=42
6-。

类题演练2
已知锐角α、β满足sinα=55，cosβ=1010
3.
（1）求cos(α—β）的值；
(2）求α+β的值。

解：(1）∵sinα=55
,α为锐角， ∴cosα=51
1sin 12-=-α=55
2。

又∵cosβ=1010
3,β为锐角, ∴sinβ=1010
109
1cos 12=-=-β。

∴cos（α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =255·10103+55·102
71010
=；
（2)由上可知，
cos （α+β）=cosαcosβ—sinαsinβ =55
2·1010
3-55·22
1010
=。

又∵α∈(0，2π
），β∈（0，2π
），
∴α+β∈(0，π）。

∴α+β=4π。

变式提升2
已知sinα=1312,cosβ=—53
,α、β均为第二象限角,求cos(α-β）、cos （α+β）。

解：由sinα=1312
，α为第二象限角， ∴cosα=.135
)1312
(1sinh 12-=--=--α
又由cosβ=-53
,β为第二象限角, ∴sinβ=22)53(1cos 1--=-β=54。

∴cos(α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=（—135）×（-53)+1312×54=6563
，
cos （α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=（—135
）×（-53
）-1312×54=-6533。

类题演练3
已知cosα=71,α、β∈(0，2π
），cos(α+β)=1411
-,求cosβ。

解：∵cosα=71，α∈（0,2π
）, ∴sinα=73
4cos 12=-α。

又∵α、β∈（0,2π
），∴α+β∈（0,π）,
且cos （α+β）=1411
-. ∴sin（α+β)=143
5
)1411(12=-。

∴cosβ=cos［(α+β)—α］
=cosα·cos(α+β)+sinα·sin（α+β） =71×(1411-）+734×1435=21
.
变式提升3 已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)
2(54cos cos )
1(5
3sin sin βαβα
求cos （α-β）的值。

解:①平方得sin 2α+2sinαsinβ+sin 2β=259。

②平方得cos 2α+2cosαcosβ+cos 2β=2516
.
以上两式相加得,
2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1,
2cos(α-β)=-1,
1 cos(α—β）=-
.
2。