高中数学高考二轮复习高考中的数列教案

第二讲 高考中的数列(解答题型)
对应学生用书P043
[必记公式]
1．累加法公式：a n ＋1－a n ＝f (n )． 2．累乘法公式：a n ＋1
a n
＝f (n )．
3．递推公式：a n ＋1＝pa n ＋q (p 、q 为常数)，求通项的构造法：a n
＋1
＋t ＝p (a n ＋t )(q ＝pt －t )．
[重要结论]
1．分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋
b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．
2．裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即a n ＝f (n ＋1)－f (n )的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形
如⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为0的等差数列，c 为常数)的数列等． 3．错位相减法：形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和．
4．倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，
命题全解密
1.命题点 数列通项公式的求法，数列前n 项
和的求法．
2.交汇点 常与函数、方程、不等式等知识交
汇考查．
3.常用方法 累加法、累乘法、构造法求通项公式；裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组
求和法求和．
一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思．
[易错提醒]
1．公比为字母的等比数列求和时，需注意分类讨论． 2．错位相减法求和时，易漏掉减数式的最后一项.
例1 [2015·洛阳高三统考]设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n 都有6S n ＝1－2a n .
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 12a n ，求T n ＝1b 21－1＋1b 22－1＋…＋1b 2n －1.
[解] (1)由6S n ＝1－2a n ， 得6S n －1＝1－2a n －1(n ≥2)．
两式相减得6a n ＝2a n －1－2a n ，即a n ＝1
4a n －1(n ≥2)，
由6S 1＝6a 1＝1－2a 1得a 1＝1
8，∴数列{a n }是等比数列，公比q ＝14，∴a n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122n ＋1.
(2)∵a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
122n ＋1，∴b n ＝2n ＋1，
从而1b 2n －1＝14n (n ＋1)＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －
1n ＋1， ∴T n ＝14⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1
＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1n ＋1＝n
4(n ＋1).
求数列通项公式的常见类型及方法
(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．
(2)已知S n 与a n 的关系，利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
S 1，n ＝1，
S n －S n －1，n ≥2，
求a n .
(3)累加法：数列递推关系形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，其中数列{f (n )}前n 项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．
(4)累乘法：数列递推关系形如a n ＋1＝g (n )a n ，其中数列{g (n )}前n 项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．
(5)构造法：①递推关系形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 为常数)可化为a n
＋1＋
q
p －1＝p ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a n ＋q p －1(p ≠1)的形式，利用 ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n ＋q p －1是以p 为公比的等比数列求解； ②递推关系形如a n ＋1＝pa n a n ＋p (p 为非零常数)可化为1a n ＋1－1a n
＝1p 的
形式．
1．[2015·南昌高三一模]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1
＝1，S 3＝6，正项数列{b n }满足b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n .
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)若λb n >a n 对n ∈N *均成立，求实数λ的取值范围． 解 (1)∵a 1＝1，S 3＝6，∴数列{a n }的公差d ＝1，a n ＝n .
由题知，⎩
⎪⎨⎪⎧
b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n ①b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2S n －1(n ≥2) ②，
①÷②得b n ＝2S n －S n －1＝2a n ＝2n (n ≥2)，
又b 1＝2S 1＝21＝2，满足上式，故b n ＝2n . (2)λb n >a n 恒成立⇒λ>n
2n 恒成立， 设c n ＝n
2n ，则c n ＋1c n
＝n ＋12n ，
当n ≥2时，c n <1，数列{c n }单调递减， ∴(c n )max ＝12，故λ>1
2.
2．[2015·广东高考]设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，已知a 1
＝1，a 2＝32，a 3＝5
4，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.
(1)求a 4的值；
(2)证明：⎩⎨⎧
⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；
(3)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)∵4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1， ∴n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，
∴4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋5(a 1＋a 2)＝8(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1， ∴4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8×( 1＋32＋5
4 )＋1，
解得a 4＝78.
(2)证明：∵n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1，
∴4(S n ＋2－S n ＋1)－2(S n ＋1－S n )＝2[
(S n ＋1－S n )－1
2(S n －S n －1) ]，
∴(S n ＋2－S n ＋1)－12(S n ＋1－S n )＝12[ (S n ＋1－S n )－1
2(S n －S n －1) ]， ∴a n ＋2－12a n ＋1＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫a n ＋1－12a n .
又a 3－12a 2＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2－12a 1， ∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为1
2的等比数列．
(3)由(2)知⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为1
2的等比数列， ∴a n ＋1－1
2a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1，
两边同乘以2n ＋1得，a n ＋1·2n ＋1－a n ·2n ＝4. 又a 2·22－a 1·21＝4，
∴{a n ·2n }是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a n ·2n ＝2＋4(n －1)＝2(2n －1)， ∴a n ＝2(2n －1)2n ＝2n －12
n －1.
热点二 数列求和问题
例2 [2015·陕西质检]已知正整数数列{a n }是首项为2的等比数列，且a 2＋a 3＝24.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2n
3a n
，求数列{b n }的前n 项和T n .
[解] (1)设正整数数列{a n }的公比为q ，则2q ＋2q 2＝24， ∴q ＝3， ∴a n ＝2×3n －1.
(2)∵b n ＝2n 3a n ＝2n 3×2×3n －1＝n
3n ，
∴T n ＝13＋232＋333＋…＋n
3n ，① ∴13T n ＝132＋233＋…＋n －13n ＋n
3n ＋1.②
由①－②，得
23T n ＝13＋132＋133＋…＋13n －n 3n ＋1.。