逻辑代数基础模板.pptx

定理5(对合律) A＝A
定理6(德摩根定理) A＋B＝A＋B A B ＝A＋B
定理7 AB+AB＝A
(A+B)(A+B)＝A
定理8(包含律) AB+AC+BC＝AB+AC
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2.2.2 逻辑代数的重要规则
2.2一.2、代入规则
任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将 所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F， 则等式仍然成立。 例如：给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若
求某一函数F的对偶式时，同样要注意保持
原函数的运算顺序不变。
对偶规则：若两个逻辑函数F的G相等，则其对
偶式F' 和G' 也相等。
例: AB+AC+BC=AB+C 则 (A+B)∙(A+C)∙(B+C)=(A+B)∙C
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吉林大学远程教育课件
数字逻辑
(第九讲)
主讲人 ： 魏 达
F＝A B 或者 F=AB 读作"F等于A与B"，意思是若A B 均为1，则F
为1；否则F为0。
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"与"运算表
AB F 00 0 01 0 10 0 11 1
+u A
B F
由“与”运算的运算表可知0 0 = 0 1 0 = 0
“与”运算法则为：
01=0 11=1
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二、逻辑函数的相等
设有两个逻辑函数
F1=f1 (A1, A2, …, An) F2=f2 (A1, A2, …, An)
若对应于A1, A2, …, An的任何一组取值, F1 和F2的值都相同, 则称函数F1和函数F2相等, 记 作F1= F2 亦称函数F1与F2等价。
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2.1.3 2.1.3 逻辑函数的表示法
一、逻辑表达式
由逻辑变量、常量和逻辑运算符构成的合法表达式。 例： F ( A, B) A B A B
逻辑表达式书写省略规则：
• 进行"非"运算可不加括号, 如 A，A B等. • "与"运算符一般可省略, AB可写成AB.
• 可根据先"与"后"或"的顺序去括号, 如： (AB)＋(CD)＝AB＋CD
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三、对偶规则 如果将逻辑函数F中所有的" "变成"+", "+"
变成" ", "0"变成"1", "1"变成"0", 则所得到的新
逻辑函数F的对偶式F'。如果F'是F的对偶式，
则F也是F' 的对偶式，即F与F'互为对偶式。
例: F = A+ B + C
F‘=A+ B + C
读作"F等于A或B",其中A、B是参加运算的
两个逻辑变量，F为运算结果。意思是：只
要A、B中有一个为1，则F为1；仅当A、B
2019-1均1-2 为0时，F才为0。 谢谢聆听
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"或"运算表 A
AB F
00 0
+u
01 1 10 1 11 1
B F
由“或”运算的运算表可知 0+0=0 “或”运算的法则为： 0+1=1
0＋0＝0 0＋1＝1 0 0 ＝0 0 1 ＝0
1＋0＝1 1＋1＝1 1 0 ＝0 1 1 ＝1
推论： 1 = 0 0 = 1
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定理2(重叠律) A＋A＝A
A A ＝A
定理3(吸收律) A＋A B＝A A ( A +B)＝A
定理4(吸收律) A＋A B＝A+B A ( A +B)＝A B
用A+BC代替A，则该等式仍然成立，即：
(A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C
由公理5(A+A=1)同样有等式
f (A1, A2, …, An)＋f (A1, A2, …, An)＝1
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二、反演规则
如果将逻辑函数F中所有的" "变成"+", "+"变成" ", "0"变成"1", "1"变成"0", 原变量 变成反变量，反变量变成原变量，所得到
称为A1, A2, …, An , 的逻辑函数，记为
F=f (A1, A2, …, An)
•逻辑电路的功能可由相应逻辑函数完全描述。
•与普通函数概念相比逻辑函数有如下特点：
1）逻辑变量与逻辑函数的取值只有0和1；
2）逻辑函数与逻辑变量的关系由“或”、
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“与”、“非谢”谢聆听运算决定。
2n 1
而 f ( A1, A2,, An ) f ( A1, A2,, An ) mi
i0 2n 1
所以 mi 1 i0
即n个变量的所有最小项之和恒等于1。
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最小项的性质：
1）当函数以最小项之和形式表示时，可很容易列出 函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的 最小项填“1”） 。
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三变量函数的最小项：
变量的各组取值 对应的最小项及其编号
ABC
000 001 010 011 100 101 110 111
最小项
A BC A BC
A BC
A BC
A BC A BC A BC A BC
编号
mo m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
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一、"或"运算 如果决定某一事件发生的多个条件，只
要有一个或一个以上的条件成立，事件便可发
生，这种因果关系称之为"或"逻辑。在逻辑代
数中，"或"逻辑关系用"或"运算描述。"或"运
算又称逻辑加，其运算符为"+"或" "，两个
变量的"或"运算可表示为:
F=A+B 或者 F=AB
逻辑代数是一个由逻辑变量集K，常量0和 1以及“与”、“或”、“非”3种基本运算构 成的一个封闭的代数系统，记为L={K, +, •, -, 0, 1}。它是一个二值代数系统。常量0和1表示真 和假，无大小之分。
该系统满足下列公理：
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公理1 交换律 A+B=B+A, A B=B A
A+ A =1, AA=0
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2.1.1 2.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算
逻辑变量：仅取值0或取值1的变量。这里0和1 无大小之分，实际上代表着矛盾的双方或事件 的真假，例如开关的接通与断开，电压的高和 底，信号的有和无，电灯的亮和灭等等。 只要是两种稳定的物理状态，都可以用0和1这 两种不同的逻辑值来表征。
公理2 结合律 公理3 分配律
(A+B)+C=A+(B+C),
(A B) C=A (B C)
A+ ( B C ) =(A+B) (B+C),
A ( B+C ) =A B+A C
公理4 0－1律 公理5 互补律
A+ 0 =A, A 1=A A+1=1, A 0=0，
2）当 i j 时， mi m j 0 。
3）n变量的最小项有n个相邻项。 相邻项：只有一个变量不同（以相反的形式出现）。
一对相邻项可以消去一个变量。
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二、最大项
如果一个具有n个变量的函数的"和"项包含全部 n个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现， 且仅出现一次，则这个"和"项称为最大项。假如一 个函数完全由最大项组成，那么这个函数表达式称 为标准"和之积"表达式。
而 F ( AB D )( AB CD)
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既不是与或表达式也不是或与表达式。
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2.3.2 2.3.2 逻辑函数表达式的标准形式
一、最小项
如果一个具有n个变量的函数的"积"项包含全 部n个变量, 每个变量都以原变量或反变量形式出 现, 且仅出现一次，则这个"积"项被称为最小项。 假如一个函数完全由最小项所组成, 那么该函数 表达式称为标准"积之和"表达式, 即"最小项之和".
实现“与”运算的逻辑电路称为“与”门。
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三、"非"运算
如果某一事件的发生取决于条件的否定， 则这种因果关系称为"非"逻辑。"非"逻辑用" 非"运算描述。"非"运算又称求反运算，运算 符为"－"或"¬". "非"运算可表示为
F=A 或 F= ¬A
读作"F等于A非"，意思是若A＝0，则F为1； 反之，若A=1, 则F为0。
A B C M6 A B C M7
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例如：
F(A, B,C) (A B C)( A B C)( A B C)( A B C)
M0M1M 4M5 M (0,1,4,5) 注意：变量顺序.
因f (A1, A2,, An ) f (A1, A2,, An ) 0
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例如：F ( A, B,C) ABC ABC ABC ABC
因F ( A, B, C) ABC ABC ABC ABC
=m2+ m3+ m6+ m7 = m(2, 3, 6, 7)
注意：变量的顺序. 因此，f (A1, A2,, An) f (A1, A2,, An) 1
第二章 逻辑代数基础
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学习要求：
• 掌握逻辑代数的基本概念，学会用逻辑函描 述逻辑问题的基本方法。
• 掌握逻辑代数的公理、基本定理和重要规则； • 学会用代数法化简逻辑函数； • 熟练掌握用卡诺图化简逻辑函数。
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2.1
2.1 逻辑代数的基本概念
真值表如右所示：
ABC F
000 0 001 1 010 0 011 1 100 1 101 1 110 0 111 0
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三、卡诺图 卡诺图是一种用图形描述逻辑函数的方法。
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2.2.12.2 逻辑代数的基本定理和规则
2.2.1 基本定理
定理1
的新函数是原函数的反函数 F
例如：已知F＝AB＋CD，根据反演规可得
到: F＝(A+B) (C+D) 使用反演规则时, 应注意保持原函式中 运算符号的优先顺序不变。 例如：已知 F A B (C DE),则
F A [B C(D E)] F A B C D E
2n 1
而 f ( A1, A2,, An ) f ( A1, A2,, An ) Mi
2n 1
i0
与最小项类似，有 Mi 0
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学 时：48
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2.3.21.3 逻辑函数表达式的形式与变换
2.3.1 逻辑函数表达式的基本形式
两种基本形式："积之和"表达式与"和之积"表达式.
"积之和"：由若干个"与"项经"或"运算形成的 表达式。例如：F B AB ABC
"和之积"：由若干个"或"项经"与"运算形成的表达 式。例如：F ( A B)(B C)( A B D)
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三变量函数的最大项：
变量的各组取值 对应的最大项及其编号
A B C 最大项 编 号
000 001 010 011 100 101 110 111
A B C Mo
A B C M1 A B C M2 A B C M3
A B C M4 A B C M5
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“非"运算表
A
F
0
1
1
0
+u AF
由“非”运算的运算表可知
“非”运算法则为：
0 1
1 0
实现“非”运算的逻辑电路称为“非”门。
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2.1一.、22逻.1辑.2函逻数辑的函定数义
设某一电路的输入逻辑变量为A1, A2, …, An , 输出逻辑变量为F。如果当A1, A2 , …, An 的值确定后，F的值就唯一地被定下来，则F
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AB读作A与B非； AB读作A非与B； AB读作AB的与非； A＋B读作A非B非； A＋B读作A或B非； A＋B读作A非或B； A B读作AB的或非.
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二、真值表
真值表是一种由逻辑变 量的所有可能取值组合及其 对应的逻辑函数值所构成的 表格. 例如：函数 F=AB + AC 的
1+0=1 1+1=1
实现"或"运算的逻辑电路称为"或"门。
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二、"与"运算
如果决定某一事件的发生的多个条件必须 同时具备，事件才能发生，这种因果关系称为" 与"逻辑。逻辑代数中"与"逻辑关系用"与"运算 描述。"与"运算又称逻辑乘，其运算符为""或 ""。两变量的"与"运算可表示为