概率论与数理统计：1.4等可能概型(古典概型)

解 假设接待站的接待时间没有规定,且各来
访者在一周的任一天中去接待站是等可能的,
那么,12次接待来访者都是在周二、周四的概
率为
212 p 0.0000003
712
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的， 从而可知接待时间是有规定的.
例5 将4只球随机地放入6个盒子中去,试求 每个盒子至多有一只球的概率.
故所求概率为
P( AB) 83 . 2000
P( AB) 1 P( A) P(B) P( AB)
1
333 2000
250 2000
83 2000
3 4
.
例3 将一枚硬币抛掷三次.(i)设事件A1为"恰有一 次出现正面",求 P( A1 ). (ii)设事件A2为"至少有一 次出现正面",求P( A2 ). 解 设H 为出现正面,T 为出现反面.
故
PA
43
2 .
65 5
(2) 有放回地摸球
问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋 中有放回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次 摸到红球的概率.
解 设 A 前2次摸到黑球,第三次摸到红球
第3次摸到红球 4种 第12次摸到黑球 6种
第123次摸球 10种
故
PA
664 103
0.144
基本模型之二球放入杯子模型
8 2
5 2
140
请思考： 还有其它解法吗？
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
有n个人，每个人都以相同的概率 1/N (N≥n) 被分在 N 间房的每一间中，求指定的n间房中各有 一人的概率.
人 房
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为 1/365. 求这n (n ≤365)个人的生日互不相同的概率.
少?
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有
C
n N
种,
在N件产品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法
共有
C
Dk C
种, nk
ND
于是所求的概率为
p
C C k nk D ND来自Cn N例2 在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到
的整数既不能被6整除 ,又不能被8整除的概率是
多少?
解 设A为事件“取到的数能被6整除”,B为事件
于是可得
54
1
P A
C52 C140
21 10 9 8
7
1. 21
4321
2
P
B
C54C21C21C21C21 C140
80 210
8. 21
3
PC
C51C22C42C21C21 C140
120 210
4. 7
请注意：
1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条 件.
“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我 们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本 事件或样本点是等可能的.
(1)杯子容量无限
问题1 把4个球放到3个杯子中去,求第1、2 个杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子 可放任意多个球.
3
3
3
3
4个球放到3个杯子的所有放法 3 3 3 3 34种
C42种
C22种
2
2
因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为
p
C42C22 34
2. 27
(2) 每个杯子只能放一个球
P( A)
15
8 2
140
从5双中取1双，从剩 下的 8只中取2只
错在同样的“4只配成两 双”算了两次.
2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不 要重复计数，也不要遗漏.
例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中 “至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？
正确的答案是：
P( A)
15
车祸 天
小结
最简单的随机现象 古典概型
古典概率
PA
m n
A所包样含本样点本总点数的个数.
答案 : p 2 9
生日问题 某班有20个学生都是同一年出 生的, 求有10 个学生生日是1月1日、另外10 个 学生生日是12月31日的概率.
答案:
p
C C 10 10 20 10
36520
例1 设有N 件产品,其中有D件次品 ,今从中任
取n件,问其中恰有 k(k D) 件次品的概率是多
第四节 等可能概型（古典概型）
一、等可能概型 二、古典概型的求法举例
一、等可能概型（古典概型）
1. 定义
(1) 试验的样本空间只包含有限个元素; (2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同. 具有以上两个特点的试验称为等可能概型或 古典概型.
2.古典概型中事件概率的计算公式
设试验E的样本空间由n个样本点构成,A为 E的任意一个事件 , 且包含 m 个样本点,则事件 A出现的概率记为:
P(A)
m n
A所包样含本样点本总点数的个数.
称此为概率的古典定义.
二、古典概型的求法举例
基本模型之一摸球模型
(1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有4只白球和2只黑球,现从袋
中无放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球 的概率.
解 设 A 摸得2只球都是白球
基本事件总数为 6×5 A所包含基本事件的个数为 4×3
5!5!5!
ii 三名优秀生分到同一个班级的分法为
3
1210 5 2 5 5
3
12! 2!5!5!
.
于是所求概率为
12!
p2
3 2!5!5! 15!
6. 91
5!5!5!
例1 在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10 号的纪念章 , 任选3个记录其纪念章的号码. （1）求最小号码为5的概率； （2）求最大号码为5的概率.
“取到的数能被8整除”则所求概率为P( AB)
P(AB) P(A B) 1 P( A B)
1 P( A) P(B) P( AB)
333 2000 334, P( A) 333 ,
6
2000
2000 250, P(B) 250 .
8
2000
又83 2000 84, 24
解
（1）总的选法种数为
n
C3 10
.
最小号码为5的选法种数为
m
C2 5
故小号码为5的概率为
P
C52 C130
1 12
（2）最大号码为5的选法种数为
C2 4
故最大号码为5的概率为
P
C42 C130
1. 20
例2 有 5 双不同型号的鞋子, 从中任取4 只 ,求
下列各事件的概率 :
1 取出的 4 只鞋恰好为两双 ; 2 取出的 4 只鞋都是不同型号的; 3 取出的 4 只鞋恰好有两只配成一双 .
解 设 A 取出的 4 只鞋恰好为两双 , B 取出的 4 只鞋都是不同型号的, C 取出的 4 只鞋恰好有两只配成一双.
从 5 双鞋子 10只中任取 4 只 ,取法总数为 C140 .
A中所含有的基本事件数为 C52 .
B 中所含有的基本事件数为 C54C21C21C21C21 .
C 中所含有的基本事件数为 C51C22C42C21C21 .
解 15 名新生平均分到三个班级的分法总数为
1510 5 5 5 5
15! 10! 10!5! 5!5!
15! . 5!5!5!
i 每一个班级各分到一名优秀生的分法为
3!12 8 4 4 4 4
3! 12! 4!4!4!
.
于是所求概率为
12!
p1
3! 4!4!4! 15!
25 . 97
人 任一天
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在 每站下车的概率为1/ N(N ≥ n) ，求指定的n个站各 有一人下车的概率.
旅客 车站
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸 的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸的概率.
在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可 以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事 件的概率.
2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不 要重复计数，也不要遗漏.
例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中 “至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？
13579
下面的算法错在哪里？ 2 4 6 8 10
解 将4只球随机地放入6个盒子中去 , 共有 64
种放法.
每个盒子中至多放一只球共有654 3 种 不同放法.
因而所求的概率为
p
6
54 64
3
0.2778.
例6 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去 , 这 15 名新生中有3 名是优秀生. 求
i 每一个班级各分配到一名优秀生的概率; ii 3 名优秀生分配在同一班级的概率.
问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子 只能放一个球,求第1至第4个杯子各放一个球的 概率.
解 第1至第4个杯子各放一个球的概率为
p
p44 p4
10
4321 1 10 9 8 7 210
模型的应用
分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.
S HHH, HHT, HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT.
A1 HTT ,THT ,TTH.
P(
A1
)
3 8
,
A2 HHH , HHT , HTH ,THH , HTT ,THT ,TTH.
P(
A2
)
7 8
.
例4 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已 知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的， 问是否可以推断接待时间是有规定的.