高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第2节 函数的单调性与最值教学案 文(含解析)北师大版

第二节 函数的单调性与最值
[考纲传真] 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．
1．函数的单调性 (1)增、减函数
增函数 减函数
定义
在函数y ＝f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两个数x 1，x 2∈A 当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么，就称函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的，有时也称函数y ＝f (x )在区间A 上是递增的
当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么，就称函数y ＝f (x )在区间A 上是减少的，有时也称函数y ＝f (x )在区间A 上是递减的
(2)单调区间和函数的单调性
①如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么称A 为单调区间． ②如果函数y ＝f (x )在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y ＝f (x )在这个子集上具有单调性．
(3)单调函数
如果函数y ＝f (x )在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．
2．函数的最值 前提 函数y ＝f (x )的定义域为D
条件 (1)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ； (1)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ； (2)对于任意x ∈D ，都有f (x )≤M
(2)对于任意x ∈D ，都有f (x )≥M
结论 M 为最大值 M 为最小值
[常用结论]
函数单调性的常用结论
(1)对任意x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，
f x 1－f x 2
x 1－x 2
＞0⇔f (x )在D 上是增函数，
f x 1－f x 2
x 1－x 2
＜0⇔f (x )在D 上是减函数．
(2)对勾函数y ＝x ＋a x
(a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．
(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增加的．
( ) (2)函数y ＝1
x
的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
( ) (3)函数y ＝|x |是R 上是增加的．
( )
(4)函数y ＝x 2
－2x 在区间[3，＋∞)上是增函数，则函数y ＝x 2
－2x 的单调递增区间为[3，＋∞)．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)如图是函数y ＝f (x )，x ∈[－4,3]上的图像，则下列说法正确的是( )
A ．f (x )在[－4，－1]上是减少的，在[－1,3]上是增加的
B ．f (x )在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2
C ．f (x )在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3
D ．当直线y ＝t 与y ＝f (x )的图像有三个交点时－1＜t ＜2
C [由图像知，函数f (x )在[－4,1]上有最小值－2，最大值3，故选C ．] 3．(教材改编)已知函数f (x )＝2
x －1
，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．
2 25[可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上是递减的，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝2
5
.] 4．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是递减的，则k 的取值X 围是________．
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－∞，－12[由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.] 5．f (x )＝x 2
－2x ，x ∈[－2,3]的增区间为________，f (x )max ＝________.
[1,3] 8 [f (x )＝(x －1)2
－1，故f (x )的增区间为[1,3]，f (x )max ＝f (－2)＝8.]
确定函数的单调性(区间)
【例1】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2
－2x －8)的递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)
D ．(4，＋∞)
D [由x 2
－2x －8>0，得x >4或x <－2.
设t ＝x 2
－2x －8，则y ＝ln t 在t ∈(0，＋∞)上是增加的． 欲求函数f (x )的递增区间，即求函数t ＝x 2
－2x －8的递增区间． ∵函数t ＝x 2
－2x －8的递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的递增区间为(4，＋∞)． 故选D.]
(2)试讨论函数f (x )＝x ＋k x
(k ＞0)的单调性．
[解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任
取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－
x 1)·x 1x 2－k
x 1x 2
.
因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上是增加的． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)， 即函数在(0，k )上是减少的．
考虑到函数f (x )＝x ＋k x
(k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上是增加的，在(－k ，0)上是减少的．
综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上是增加的，在(－k ，0)和(0，k )上是减少的．
法二：f ′(x )＝1－k
x
2.
令f ′(x )＞0得x 2
＞k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．
令f ′(x )＜0得x 2＜k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的减区间为(－k ，0)和(0，k )．
故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上是增加的，在(－k ，0)和(0，k )上是减少的．
[规律方法] 1.确定函数单调性的4种方法 (1)定义法．利用定义判断． (2)导数法．适用于可以求导的函数．
(3)图像法．由图像确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)复合函数法．对于函数y ＝f (g (x ))，先确定y ＝f (v )，v ＝g (x )的单调性，再利用“同增异减”的原则确定y ＝f (g (x ))的单调性．
易错警示：确定函数的单调性(区间)，应先求定义域，在定义域内确定单调性(区间)． 2．熟记函数单调性的4个常用结论
(1)若f (x )，g (x )均是区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数；
(2)若k ＞0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k ＜0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )＞0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1
f x
的单调性相反；
(4)函数y ＝f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y ＝f x
的单调性相同．
(1)已知函数f (x )＝x 2
－2x －3，则该函数的递增区间为( )
A ．(－∞，1]
B ．[3，＋∞)
C ．(－∞，－1]
D ．[1，＋∞)
(2)(2019·某某模拟)函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫132x 2
－3x ＋1的递增区间为( )
A ．(1，＋∞) B．⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，34 C ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞
D ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，＋∞
(1)B (2)B [(1)设t ＝x 2
－2x －3，由t ≥0，即x 2
－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 因为函数t ＝x 2
－2x －3的图像的对称轴为x ＝1，
所以函数t 在(－∞，－1]上递减，在[3，＋∞)上递增． 所以函数f (x )的递增区间为[3，＋∞)．
(2)令t ＝2x 2
－3x ＋1，则t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342
－1
8
.
又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 是减函数，因此函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2
－3x ＋1的递增区间为⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，34.故选B ．]
(3)试讨论函数f (x )＝
ax
x －1
(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． [解] 法一：设－1＜x 1＜x 2＜1，
f (x )＝a ⎝
⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1＋1x －1，
f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
1＋1x 2－1
＝
a x 2－x 1
x 1－1x 2－1
，
由于－1＜x 1＜x 2＜1，
所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0，
故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；
当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增． 法二：f ′(x )＝
a x －1－ax x －12＝
－a
x －1
2
，
所以当a ＞0时，f ′(x )＜0，当a ＜0时，f ′(x )＞0， 即当a ＞0时，f (x )在(－1,1)上为减函数， 当a ＜0时，f (x )在(－1,1)上为增函数．
利用函数的单调性求最值(值域)
1．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 3 [函数f (x )在区间[－1,1]上是减函数，则f (x )max ＝f (－1)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－1
－log 21＝3.] 2．函数f (x )＝3x －1
x ＋2
，x ∈[－5，－3]的值域为________．
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤163，10 [f (x )＝3x －1x ＋2＝3x ＋2－7x ＋2＝3－7x ＋2，
则函数f (x )在区间[－5，－3]上是增加的． 所以f (x )max ＝f (－3)＝3－7
－3＋2
＝10，
f (x )min ＝f (－5)＝3－
7－5＋2＝16
3
. 因此函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤163，10.] 3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x
，x ≥1，
－x 2＋2，x ＜1
的最大值为________．
2 [当x ≥1时，函数f (x )＝1
x
为减少的，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；
当x ＜1时，易知函数f (x )＝－x 2
＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.
故函数f (x )的最大值为2.]
[规律方法] 求函数值域的几个常见类型
(1)若所给函数能够判断单调性，可直接利用单调性求解． (2)形如求函数y ＝ax ＋b cx ＋d 的值域或最值，可先将函数解析式变为y ＝k ＋m
cx ＋d
的形式，再用单调性求解．
(3)分段函数的最值，先求每一个子区间上的最值，则各个区间上最大值中的最大者为分段函数的最大值，各个区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．
(4)求复合函数y ＝f (g (x ))的值域，可先求g (x )的值域，再求y ＝f (g (x ))的值域． 特别地：若函数解析式的几何意义较明显，(如距离、斜率等)或函数图像易作出，可用数形结合法求解．
函数单调性的应用
►考法1 比较函数值的大小
【例2】 已知函数f (x )的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)
－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，b ＝f (2)，
c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c ＞a ＞b
B ．c ＞b ＞a
C ．a ＞c ＞b
D ．b ＞a ＞c
D [因为f (x )的图像关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52.由x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上递减．
因为1＜2＜52＜3，所以f (2)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＞f (3)，所以b ＞a ＞c .] ►考法2 解函数不等式
【例3】 (2019·某某模拟)已知函数f (x )＝x 3
＋sin x ，x ∈(－1,1)，则满足f (a 2
－1)＋f (a －1)＞0的a 的取值X 围是( )
A ．(0,2)
B ．(1，2)
C ．(1,2)
D ．(0，2)
B [由题意知f (－x )＝(－x )3
＋sin(－x )＝－x 3
－sin x ＝－(x 3
＋sin x )＝－f (x )，
x ∈(－1,1)，
∴f (x )在区间(－1,1)上是奇函数． 又f ′(x )＝3x 2
＋cos x ＞0， ∴f (x )在区间(－1,1)上递增， ∵f (a 2
－1)＋f (a －1)＞0，
∴－f (a －1)＜f (a 2
－1)，∴f (1－a )＜f (a 2
－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
－1＜1－a ＜1，－1＜a 2
－1＜1，1－a ＜a 2－1，
解得1＜a ＜2，故选B ．]
►考法3 求参数的值或取值X 围
【例4】 (1)若函数f (x )＝ax 2
＋2x －3在区间(－∞，4)上是递增的，则实数a 的取值X 围是( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞
B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞
C ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－14，0 (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
a －2x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，
若f (x )在(－∞，＋∞)上是增加的，则
实数a 的取值X 围为________．
(1)D (2)(2,3] [(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是增加的，故在(－∞，4)上增加的；
当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1
a
，
因为f (x )在(－∞，4)上是增加的，
所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－1
4
≤a ＜0.
综上所述，实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－14，0.
(2)要使函数f (x )在R 上是增加的，
则有⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＞1，a －2＞0，
f 1≤0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，
解得2＜a ≤3，
即实数a 的取值X 围是(2,3]．]
[规律方法] 函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略 (1)比较大小．
(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数．
①依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
(1)若f (x )＝－x 2
＋2ax 与g (x )＝
a
x ＋1
在区间[1,2]上都是减函数，则实数a
的取值X 围是( )
A ．(－1,0)∪(0,1)
B ．(－1,0)∪(0,1]
C ．(0,1)
D ．(0,1]
(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 3
，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0，
若f (2－x 2
)＞f (x )，则实数x 的取值X 围是
( )
A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C ．(－1,2)
D ．(－2,1)
(3)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0.设a ＝ln 1π
，b ＝(ln π)2
，c ＝ln π，则( )
A ．f (a )＞f (b )＞f (c )
B ．f (b )＞f (a )＞f (c )
C ．f (c )＞f (a )＞f (b )
D ．f (c )＞f (b )＞f (a )
(4)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
a x
，x ＜0，a －3x ＋4a ，x ≥0
满足对任意x 1≠x 2，都有
f x 1－f x 2
x 1－x 2
＜0成立，则实数a 的取值X 围是( )
A ．⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，14 B ．(1,2]
C ．(1,3)
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 (1)D (2)D (3)C (4)A [(1)因为f (x )＝－x 2
＋2ax 在[1,2]上是减函数，所以a ≤1，又因为g (x )＝
a
x ＋1
在[1,2]上是减函数，所以a ＞0，所以0＜a ≤1.
(2)因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零， 所以函数的图像是一条连续的曲线． 因为当x ≤0时，函数f (x )＝x 3
为增加的， 当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增加的， 所以函数f (x )是定义在R 上是增加的． 因此，不等式f (2－x 2
)＞f (x )等价于2－x 2
＞x ， 即x 2
＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.
(3)由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减少的，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π＞1，|b |＝(ln π)2
＞|a |，|c |＝12ln π，且0＜12ln π＜|a |，故
|b |＞|a |＞|c |＞0，∴f (|c |)＞f (|a |)＞f (|b |)，即f (c )＞f (a )＞f (b )．
(4)由题意知，函数f (x )在R 上是减少的，则⎩⎪⎨⎪
⎧
0＜a ＜1，a －3＜0，
a 0≥4a ，
解得0＜a ≤1
4
，故选A ．]
1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x
的定义域和值域
相同的是( )
A ．y ＝x
B ．y ＝lg x
C ．y ＝2x
D ．y ＝
1
x
D [函数y ＝10
lg x
的定义域与值域均为(0，＋∞)．
函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．
函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x
的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．
函数y ＝
1
x
的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]
2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1
1＋x 2，
则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值X 围是( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞)
C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，＋∞ A [法一：分析f (x )的奇偶性和单调性，然后对所给不等式作出等价转化． ∵f (－x )＝ln(1＋|－x |)－11＋－x
2
＝f (x )，
∴函数f (x )为偶函数．
∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－1
1＋x
2，
在(0，＋∞)上y ＝ln(1＋x )递增，y ＝－1
1＋x 2也递增，
根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上是递增的． 综上可知：f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)⇔
|x |>|2x －1|⇔x 2>(2x －1)2⇔3x 2
－4x ＋1<0⇔13<x <1.故选A ．
法二：(特殊值排除法)
令x ＝0，此时f (x )＝f (0)＝－1<0，f (2x －1) ＝f (－1)＝ln 2－1
2＝ln 2－ln e>0，
∴x ＝0不满足f (x )>f (2x －1)，故C 错误．
令x ＝2，此时f (x )＝f (2)＝ln 3－15，f (2x －1)＝f (3)＝ln 4－1
10.∵f (2)－f (3)＝ln 3
－ln 4－1
10
，
其中ln 3<ln 4，∴ln 3－ln 4－1
10<0，∴f (2)－f (3)<0，
即f (2)<f (3)，∴x ＝2不满足f (x )>f (2x －1)， 故B ，D 错误．故选A ．]。