2020-2021高中必修一数学上期中试卷(含答案)(3)

2020-2021高中必修一数学上期中试卷(含答案)(3)
一、选择题
1．设集合{}1,2,4A =，{}
2
40B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =
( ) A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
2．若集合{}
|1,A x x x R =≤∈，{
}
2
|,B y y x x R ==∈，则A B =I A ．{}|11x x -≤≤
B ．{}|0x x ≥
C ．{}|01x x ≤≤
D ．∅
3．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
4．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：
①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2
π
,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④
C ．①④
D ．①③
5．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是
（ ）
A ．()M P S ⋂⋂
B ．()M P S ⋂⋃
C ．()()
U M P S ⋂⋂ð
D ．()()
U M P S ⋂⋃ð
6．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞
D ．(,1)(1,)-∞-+∞U
7．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |1
4
x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( )
A ．{x |－2≤x ＜4}
B ．{x |x ≤3或x ≥4}
C ．{x |－2≤x ＜－1}
D ．{x |－1≤x ≤3}
8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()
1(2)f x f x +=-
，且在()0,1上()3x
f x =，则()3lo
g 54f =（ ）
A ．
32
B ．23
-
C ．
23
D ．32
-
9．函数()2
45f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．[]2,4
C ．[]0,4
D ．(]2,4
10．函数2
y 34
x x =
--+的定义域为（ ）
A ．(41)--，
B ．(41)-，
C ．(11)-，
D ．(11]
-， 11．函数2x
y x =⋅的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2
B ．2±
C ．4
D ．4±
二、填空题
13．给出下列四个命题：
（1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c =； （2）函数()2
0x
y x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；
（3）若函数()()
2
lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥；
（4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______. 14．设
，则
________
15．已知函数1)4f x x +=-，则()f x 的解析式为_________.
16．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫
++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＝ ． 17．已知函数()()2
12
log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m
的取值范围为______．
18．用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是 ． 19．若点12,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
）既在
()2ax b f x +=图象上，又在其反函数的图象上，则a b +=____
20．已知函数())2
ln
11f x x x =++，()4f a =，则()f a -=________．
三、解答题
21．已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．
（1）当[]02x ∈，
时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]
1
2，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．
22．如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3
tan 4
θ=
.
（1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？
（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3） 23．已知二次函数()2
f x ax bx c =++.
（1）若方程()0f x =两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,－1).求()0f x ≤的解集；
（2）若关于x 的不等式()0f x >的解集为(2,1)-. （ⅰ）求解关于x 的不等式20cx bx a ++>
（ⅱ）设函数2(1)(),(1)(1)
b x c
g x x a x +-=
<-，求函数()g x 的最大值 24．函数是奇函数．
求的解析式；
当
时，
恒成立，求m 的取值范围．
25．国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人,则给予优惠：每多1人,人均费用减少10元,直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元． （1）写出每人需交费用y 关于人数x 的函数； （2）旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润？
26．已知函数24
,02
()(2)2,2
x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．
（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．
（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．
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一、选择题
1．C 解析：C 【解析】
∵ 集合{}1
24A ，，=，{}
2
|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =
∴{}{}
{}2
2
|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
求出集合B 后可得A B I . 【详解】
因为集合{}
|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{
}
2
|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则
A B =I {}|01x x ≤≤，选C
【点睛】
本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}
|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}
|,y y f x x D =∈表示函数的值域，
()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
化简cos cos a A b B =得到A B =或2
A B π
+=，再判断充分必要性.
【详解】
cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=
故22A B A B =∴=或222
A B A B π
π=-∴+=
，ABC ∆为等腰或者直角三角形.
所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】
本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2
A B π
+=是解题的关键，漏解是容易发
生的错误.
4．C
解析：C
【解析】 【分析】
化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】
()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当
2x π
π<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫
π ⎪⎝⎭
单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，
()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零
点：0-π,,π，故③错误．当[](
)2,2x k k k *
∈ππ+π∈N
时，()2sin f x x =；当
[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，
()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．
【点睛】
画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】
图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】
由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，
所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】
本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．
7．D
解析：D 【解析】
依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】
由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -
+，且()()
3
31
log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2
333
log 211log 232
f f --=--=-=-，
据此可得：()()3312
log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32
-.
本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】
∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．
且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m 的取值范围是[2，4]， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．
10．C
解析：C 【解析】
要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41
x x >--<<，所以1 1.x -<< 故选C
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】
因为2x
y x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】
有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到
ax +=
.
【详解】
()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-
即：()
sin ln sin ln
sin ln
x ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅
ax ∴+=
恒成立，即：222141x a x +-=
24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.
二、填空题
13．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确
解析：（1）（2）（3） 【解析】 【分析】
根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确， 由函数()()
2
lg f x x ax a =+-的值域是R ，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函
数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确. 【详解】
解：（1）当0c =时，()=+f x x x bx ，
()()()-=---=-+=-f x x x bx x x bx f x ，
当函数为奇函数时()()f x f x -=-，即
()++=----+=+-x x bx c x x bx c x x bx c ，解得0c =，所以0c =是函数
()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件，所以（1）正确；
（2）由反函数的定义可知函数()20x
y x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<，所以
（2）正确；
（3）因为函数()()
2
lg f x x ax a =+-的值域是R ，所以2
y x ax a =+-能取遍(0,)
+∞的所有实数，所以240a a =+≥△，解得0a ≥或4a ≤-，所以（3）正确； （4）函数()1y f x =-是偶函数，所以()1y f x =-图像关于y 轴对称，函数()y f x =的图像是由()1y f x =-向左平移一个单位得到的，所以函数()y f x =的图像关于直线
1x =-对称，故（4）不正确.
故答案为：（1）（2）（3） 【点睛】
本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.
14．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f -2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-
解析：-1 【解析】 【分析】
由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得
的值.
【详解】
， ，
所以，故答案为-1. 【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外
依次求值．
15．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点 解析：2()23(1)f x x x x =--≥
【解析】 【分析】
利用换元法求解析式即可 【详解】 令11t x =
≥，则()2
1x t =-
故()()2
14f t t =--=2
23(1)t t t --≥ 故答案为2
()23(1)f x x x x =--≥ 【点睛】
本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点
16．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7
解析：7 【解析】 【分析】 【详解】
设， 则，
因为11222⎛⎫⎛⎫
++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
f x f x ， 所以
，
,
故答案为7.
17．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没
解析：{|2m m >或2}3
m <- 【解析】 【分析】
分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】
解：∵函数()()2
12
log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，
则函数2
(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.
当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.
故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 2
4(2)(2)
04m m m m
--->，
求得 2m >；
当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.
故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 2
4(2)(2)
04m m m m
--->，
求得2
3
m <-
. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3
m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3
m <-.
【点睛】
本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.
18．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题
解析：6 【解析】
试题分析：由414,418,48x x x x x x +>++>-++>-+分别解得1, 1.4,2x x x >>>，
则函数()8,2
{4,1241,1
x x f x x x x x -+≥=+<<+≤
则可知当2x =时，函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+取得最大值为6 考点：分段函数的最值问题
19．【解析】【分析】由点在函数的反函数的图象上可得点在函数的图象上把点与分别代入函数可得关于的方程组从而可得结果【详解】点在函数的反函数的图象上根据反函数与原函数的对称关系点在函数的图象上把点与分别代入
解析：1
3
【解析】 【分析】 由点12,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭在函数2ax b
y +=的反函数的图象上，可得点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
在函数2ax b y +=的图象上，
把点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
分别代入函数2ax b
y +=，可得关于,a b 的方程组，从而可得结果.
【详解】
Q 点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
在函数2ax b y +=的反函数的图象上，
根据反函数与原函数的对称关系，
∴点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
在函数2ax b y +=的图象上，
把点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
分别代入函数2ax b
y +=可得，
21a b +=-，①
1
12
a b +=，②
解得45
,33a b =-=，13
a b +=，故答案为13. 【点睛】
本题主要考查反函数的定义与性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
20．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-
【解析】 【分析】
发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果. 【详解】
因为()()))()2
2
f x f x ln
x 1ln
x 1ln 122x x +-=+++=+-+=，
()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.
故答案为-2 【点睛】
本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.
三、解答题
21．（1）3
(0,1)(1,)2
U ； （2）不存在. 【解析】 【分析】
（1）结合题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案； （2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数a 的值，得到答案． 【详解】
（1）由题意，函数()()log 3 (0a f x ax a =->且1)a ≠，设()3g x ax =-， 因为当[]0,2x ∈时，函数()f x 恒有意义，即30ax ->对任意[]
0,2x ∈时恒成立， 又由0a >，可得函数()3g x ax =-在[]0,2上为单调递减函数， 则满足()2320g a =->，解得32
a <
， 所以实数a 的取值范围是3(0,1)(1,)2
U ． （2）不存在，理由如下：
假设存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]1
2，上为减函数，并且最大值为1， 可得()11f =，即log (3)1a a -=，即3a a -=，解得32
a =，即
()3
23log (3) 2f x x =-， 又由当2x =时，33
332022
x -
=-⨯=，此时函数()f x 为意义， 所以这样的实数a 不存在． 【点睛】
本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键，着重考查了对基础概念的理解和计算能力，属于中档试题． 22．（Ⅰ）能（Ⅱ）20AB =米且5AD =米 【解析】 【分析】
（1）以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为y=3
4
x+b ，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即
可得出结论；（2）欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，即可求出截面面积最大. 【详解】
解：如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．
（1）因为AB ＝18米，AD ＝6米， 所以半圆的圆心为H (9,6)，半径r ＝9. 设太阳光线所在直线方程为y ＝－
3
4
x ＋b ， 即3x ＋4y －4b ＝02
2
27+24-4b 3+4
＝9，
解得b ＝24或b ＝
3
2
(舍)． 故太阳光线所在直线方程为y ＝－3
4
x ＋24, 令x ＝30，得EG ＝1.5＜2.5. 所以此时能保证上述采光要求． （2）设AD ＝h 米，AB ＝2r 米，
则半圆的圆心为H(r，h)，半径为r.
方法一设太阳光线所在直线方程为y＝－3
4
x＋b，
即3x＋4y－4b＝0，
r，解得b＝h＋2r或b＝h－r
2
(舍)．
故太阳光线所在直线方程为y＝－3
4
x＋h＋2r，
令x＝30，得EG＝2r＋h－45
2
，
由EG≤5
2
，得h≤25－2r.
所以S＝2rh＋1
2
πr2＝2rh＋
3
2
×r2≤2r(25－2r)＋
3
2
×r2
＝－5
2
r2＋50r＝－
5
2
(r－10)2＋250≤250.
当且仅当r＝10时取等号．
所以当AB＝20米且AD＝5米时，
可使得活动中心的截面面积最大．
方法二欲使活动中心内部空间尽可能大，
则影长EG恰为2.5米，则此时点G为(30,2.5)，设过点G的上述太阳光线为l1，
则l1所在直线方程为y－5
2
＝－
3
4
(x－30)，
即3x＋4y－100＝0.
由直线l1与半圆H相切，得r＝3r+4h-100
5
.
而点H(r，h)在直线l1的下方，则3r＋4h－100＜0，
即r＝－3r+4h-100
5
，从而h＝25－2r.
又S＝2rh＋1
2
πr2＝2r(25－2r)＋
3
2
×r2＝－
5
2
r2＋50r＝－
5
2
(r－10)2＋250≤250.当且仅当r
＝10时取等号．
所以当AB＝20米且AD＝5米时，
可使得活动中心的截面面积最大．
【点睛】
本题考查利用数学知识直线与圆的相切位置关系解决实际问题，考查二次函数配方法的运用和分析解决实际问题的能力，属于中档题．
23．（1）{}
13x x ≤≤；（2）（ⅰ）1(,)(1,)2
-∞-⋃+∞；（ⅱ）2-. 【解析】 【分析】
（1）由韦达定理及函数过点(2,－1)，列方程组()432421b a c
a f a
b
c ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪
=++=-⎪⎪⎩求解即可；
（2）（ⅰ）由不等式的解集与方程的根可得012a b
a c
a ⎧
⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，则20cx bx a ++>可化为
2210x x -->，再解此不等式即可；
（ⅱ）由（ⅰ）得()g x =4
(1)(
)21x x
⎡⎤--++⎢⎥-⎣
⎦
，再利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，得解. 【详解】
（1）由题意可得()4
32421
b a
c a
f a b c ⎧-=⎪⎪
⎪=⎨⎪=++=-⎪⎪⎩
，解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，()2
43f x x x ∴=-+，
解不等式()0f x ≤，即2430x x -+≤，即()()130x x --≤，解得13x ≤≤， 因此，不等式()0f x ≤的解集为{}
13x x ≤≤；
（2）（ⅰ）由题意可知012a b a
c
a
⎧
⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以20cx bx a ++>可化为210c b
x x a a ++<，
即2210x x -++<，得2210x x -->，解得2
1
x <-或1x > 所求不等式的解集为1(,)(1,)2
-∞-⋃+∞.
（ⅱ）由（ⅰ）可知22(1)(1)2()(1)(1)b x c a x a g x a x a x +-++==--=23
1x x +=-
2(1)2(1)41
x x x -+-+=-=4(1)()21x x ⎡⎤--++⎢⎥-⎣⎦ , 因为1,x <所以10x ->，所以4(1)()41x x
-+≥-，当且仅当4
11x x -=-时即1x =-时取
等号 , 所以4(1)(
)41x x ⎡
⎤-+≤-⎢⎥-⎣⎦，4(1)()221x x ⎡
⎤-≤-++≤-⎢⎥-⎣
⎦ 所以当1x =-时，()max 2g x =- . 【点睛】
本题考查了二次函数解析式的求法及不等式的解集与方程的根的关系，重点考查了利用均值不等式求函数的最大值及取等的条件，属中档题. 24．（1）；（2）
.
【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性的定义求出a 的值，从而求出函数的解析式即可；
问题转化为在
恒成立，令
，
，根据函数
的单调性求出的最小值，从而求出m 的范围即可．
【详解】
函数
是奇函数，
，
故，
故； 当时，
恒成立， 即在恒成立， 令，，
显然在的最小值是， 故，解得：
． 【点睛】
本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数恒成立以及转化思想，指数函数，二次函数的性质，是一道常规题．对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数单调性求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.
25．（1）900,030,120010,3075,x x N y x x x N +
+<≤∈⎧=⎨-<≤∈⎩
；（2）当人数为60时，旅行社可获最大
利润. 【解析】 【分析】
（1）当030x <≤时，900y =；当3075x <≤，用900减去优惠费用，求得y 的表达.由此求得每人需交费用y 关于人数x 的分段函数解析式.
（2）用收取的总费用，减去15000，求得旅行社获得利润的分段函数表达式，利用一次函数和二次函数最值的求法，求得当人数为60时，旅行社可获得最大利润. 【详解】
（1）当030x <≤时，900y =；
当3075x <≤，90010(30)120010y x x =--=-
即900,030,120010,3075,x x N y x x x N +
+<≤∈⎧=⎨
-<≤∈⎩
； （2）设旅行社所获利润为S 元，则 当030x <≤时，90015000S x =-；
当3075x <≤时，2
(120010)1500010120015000S x x x x =--=-+- 即2
90015000,030,10120015000,3075,x x x N S x x x x N +
+-<≤∈⎧=⎨
-+-<≤∈⎩
Q 当030x <≤时，900 15000S x =-为增函数
30x ∴=时，max 12000S =，
当3075x <≤时，2
10(60)21000S x =--+，
60x =，max 2100012000S =>.
∴当人数为60时，旅行社可获最大利润.
【点睛】
本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查一次函数、二次函数的值域的求法，属于中档题.
26．（1）2a ≤（2）03a ≤< 【解析】 【分析】
（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；
（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围． 【详解】
（1）由题意，当02x <≤时，4
()f x x x
=
-为减函数， 当2x >时，()()2
22f x x a x a =-++-，
若2a ≤时，()()2
22f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=，
此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件；
若2a >时，()()2
22f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调递增，则不满足条件．
综上所述，2a ≤．
（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==， 当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；
当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件； 当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，
对于2x >上，()f x 的最大值为2
2(2)
1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭
， 不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；
当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，
对于2x >上，22(2)(4)123
444
a a a ----=<-，
不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件； 综上所述，03a ≤<． 【点睛】
本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．。