2019年考研数学三真题完整版

全国硕士研究生入学统一考试备考资料
2019年全国硕士研究生入学考试数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1、当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则k 是（）
(A)1(B)2(C)3(D)4
2、已知055=+-k x x 有3个不同的实根，则k 的取值范围为（）
(A)(),-4-∞(B)()+∞4,(C)[]4,4-(D)()
4,-4-3、已知x ce by ay y =++'''的通解为x x e e x C C y ++=)(21则a,b,c的值为（）
(A)1，0，1
(B)1，0，2(C)2，1，3(D)2，1，4
4、已知∑∞=1
n n nu 绝对收敛，∑∞=1
n n n v 条件收敛，则下列正确的是（）(A)n n n v u ∑∞=1
条件收敛
(B)n n n v u ∑∞
=1
绝对收敛
(C))(1
n n n v u ∑∞
=+收敛
(D))(1
n n n v u ∑∞
=+发散
5、设A 是4阶矩阵,*A 是A 的伴随矩阵，且0=Ax 的基础解析有2个线性无关的
解，则
)(*A r =（）(A)0(B)1(C)2(D)3
6、设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若E A A 22=+,且4=A ,则二次型Ax x T 的规范形为()
(A)232221y y y ++(B)232221-y y y +(C)232221--y y y (D)23
2221---y y y 7、设A ,B 为随机事件,则)()(B P A P =的充分必要条件为（）
(A))()()(B P A P B A P +=⋃。

(B))()()(B P A P AB P =。

(C))()(--=A B P B A P 。

(D))()(-
-=B A P AB P 。

8、设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则}1{<-Y X P （）
(A)与μ无关，而与2σ有关。

(B)与μ有关，而与2σ无关。

(C)与μ，2σ都有关。

(D)与μ，2σ都无关。

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、n n n n ))1(1321211(lim +++⨯+⨯∞→ =。

10、曲线232(cos 2sin ππ<<-
+=x x x x y 的拐点坐标为。

11、已知dt t x f x ⎰+=141)(，则⎰1
02)(dx x f x =。

12、A，B两种商品的价格为B A p p ,,A 商品的价格需求函数为222-500B
B A A p p p p +-,则当20,10==B A p p 时，A 商品的价格需求弹性)0(>AA AA ηη=。

13、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=a b a A 10,1101111012，若b Ax =有无穷多解，则a=。

14、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<,
,0,20,2)(其他x x x f ，)(x F 为X 的分布函数，EX 为X 的数学期望，则}1)({->EX X F P =。

三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案写在答题纸指定位置上.
15、(本题满分10分)
已知函数0,01
,)(2≤>⎩⎨⎧+=x x xe x x f x x ，求)('x f ，并求)(x f 的极值。

设),(v u f 具有连续的2阶偏导数，),(),(y x y x f xy y x g -+-=，求22222y
g y x g x g ∂∂+∂∂∂+∂∂。

17、(本题满分10分)
)(x y 是微分方程2
2
21
'x e x xy y =-满足条件e y =)1(的特解。

（1）求)(x y ；（2）设平面区域{})(0,21),(x y y x y x D ≤≤≤≤=，求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

18、(本题满分10分)
求曲线)0(sin >=-x x e y x 与X 轴之间图形的面积。

19、(本题满分10分)设)2,1,0(,121
0 =-=⎰n dx x x a n n （1）证明数列}{n a 单调减少，且)3,2(2
12 =+-=
-n a n n a n n ；（2）求1lim -∞→n n n a a 。

已知向量组⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321,401,411 (I)2321a ααα，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=331,120,311 (II)2321a a a βββ，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求a 是取值，并将3β用321,,ααα线性表示。

21、(本题满分11分)
已知矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A 与⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似（1）求y x ,；
（2）求可逆矩阵P ,使得B AP P =-1。

22、(本题满分11分)
设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为)10(,1}1{,}1{<<-===-=p p Y P p Y P ，令XY
Z =（1）求z 的概率密度；
（2）p 为何值时，Z X 与不相关。

（3）Z X 与是否相互独立。

设总体X 的概率密度为,,0,),(222)(2μμσσσ<≥⎪⎩⎪⎨⎧=--x x e A x f u
x 其中μ是已知参数，0
>σ是未知参数，A 是常数，n X X X ,,21来自总体X 的简单随机样本。

（1）求A ；
（2）求2σ的最大似然估计量。