2018版高考数学复习计数原理概率随机变量及其分布课时跟踪检测69理新人教版

2018版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其
分布 课时跟踪检测69 理 新人教A 版
[高考基础题型得分练]
1．为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位：cm)，其频率分布直方图如图所示．
(1)求该植物样本高度的平均数x 和样本方差s 2
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)假设该植物的高度Z 服从正态分布N (μ，σ2
)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2
近似为样本方差s 2
.利用该正态分布求P (64.5<Z <96)．
附：110≈10.5；若Z ～N (μ，σ2
)，则P (μ－σ<Z ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z ≤μ＋2σ)＝0.954 4.
解：(1)x ＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.05＝75.
s 2＝(55－75)2×0.1＋(65－75)2×0.2＋(75－75)2×0.35＋(85－75)2×0.3＋(95－
75)2
×0.05＝110.
(2)由(1)知，Z ～N (75,110)，
从而P (64.5<Z ≤75)＝12×(75－10.5<Z <75＋10.5)＝1
2
×0.682 6＝0.341 3；
P (75<Z ≤96)＝1
2×P (75－2×10.5<Z <75＋2×10.5)＝12
×0.954 4＝0.477 2.
所以P (64.5<Z ≤96)＝P (64.5<Z <75)＋P (75<Z <96)＝0.341 3＋0.477 2＝0.818 5. 2．[2017·广东佛山质检]贵广高速铁路从贵阳北站起终至广州南站．其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站．记者对广东省内的6
个车站随机抽取3个进行车站服务满意度调查．
(1)求抽取的车站中含有佛山市内车站(包括三水南站和佛山西站)的概率；
(2)设抽取的车站中含有肇庆市内车站(包括怀集站、广宁站、肇庆东站)个数为X ，求X 的分布列及其均值(即数学期望)．
解：(1)设“抽取的车站中含有佛山市内车站”为事件A ，则P (A )＝C 22C 1
4＋C 12C 2
4C 3
6＝4
5. (2)X 的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 03C 3
3C 36＝1
20，
P (X ＝1)＝C 13C 23C 36＝9
20，
P (X ＝2)＝C 23C 13C 36＝9
20，
P (X ＝3)＝C 33C 03C 36＝1
20.
所以X 的分布列为
X 的数学期望E (X )＝0×20
＋1×20
＋2×20
＋3×20＝2
.
3．一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：
(1)得60分的概率；
(2)所得分数X 的分布列和数学期望．
解：(1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A ，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件B ，“有一道题不理解题意”选对为事件C ，
∴P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝14，
∴得60分的概率为P ＝12×12×13×14＝1
48.
(2)X 可能的取值为40,45,50,55,60.
P (X ＝40)＝12×12×23×34＝18
；
P (X ＝45)＝C 12×12×1
2×23×34＋12×12×13×34＋12×12×23×14＝
1748
； P (X ＝50)＝12 ×12×23×34
＋C 12×12
×12×13×34＋C 12×12×12×23×14＋12×12×13×14＝
1748
； P (X ＝55)＝C 12×12×12×13×14＋12×12×23×14
＋12×12×13×34＝748
； P (X ＝60)＝12×12
×13×14
＝148
. X 的分布列为
E (X )＝40×1
8
＋45×48
＋50×48＋55×48
＋60×48
＝
12
. [冲刺名校能力提升练]
1．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位： t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T 表示为X 的函数；
(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T 的数学期望．
解：(1)当X ∈[100,130)时，
T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000；
当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.
所以T ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
800X －39 000，100≤X <130，
65 000，130≤X ≤150.
(2)由(1)知，利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150. 由直方图知，需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，
所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意，可得T 的分布列为
所以E (T )59 400(元)． 2.延迟退休年龄的问题，近两年引发社会广泛关注，延迟退休年龄似乎已是一种必然趋势，然而反对的声音也随之而起．现对某市工薪阶层关于“延迟退休年龄”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“延迟退休年龄”持反对态度的人数如下表.
下认为月收入以5 000为分界点的“延迟退休年龄”的态度有差异？
记选中的4人中赞成“延迟退休年龄”的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．
附：临界值表：
∵K 2
＝a
＋b
c ＋
d a ＋c
b ＋d
＝
－
2
10×40×32×18
≈6.27<6.635.
∴不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为月收入以5 000为分界点的“延迟退休年龄”的态度有差异．
(2)在[1 000,2 000)中被调查对象有5人，其中赞成“延迟退休年龄”的人数为1人； 在[2 000,3 000)中被调查对象有10人，其中赞成“延迟退休年龄”的人数为2人，则X 的可能取值为0,1,2,3，
且P (X ＝0)＝C 24C 2
8C 25C 210＝2875；
P (X ＝1)＝C 14C 2
8＋C 24C 18C 12C 25C 2
10＝104
225； P (X ＝2)＝C 14C 28C 1
2＋C 24C 2
2C 25C 2
10＝7
45； P (X ＝3)＝C 14C 22C 25C 210＝2
225.
∴X 的分布列为
∴E (X )＝0×2875＋1×225＋2×45＋3×225＝5
.
3．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：
若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
解：(1)依题意，
p 1＝P (40<X <80)＝10
50
＝0.2， p 2＝P (80≤x ≤120)＝3550
＝0.7， p 3＝P (X >120)＝550
＝0.1.
由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为
p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3
p 3
＝(0.9)4＋4×(0.9)3
×(0.1)＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．
由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000. ②安装2台发电机的情形．
依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200， 因此P (Y ＝4 200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；
当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000， 因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8. 由此得Y 的分布列为：
所以E (Y )③安装3台发电机的情形．
依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400， 因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；
当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；
当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.
因此得Y 的分布列为
所以E(Y)
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．。