人教A版高中数学选修1-1 3-1-1 变化率和导数的概念 素

变化率和导数的概念
---------学习要点
1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率
(1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
. (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
(3)意义：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．
(4)平均变化率的几何意义：
设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx
＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率，如图所示．
2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率
3．导数的概念
例1、求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13
，哪一点附近的平均变化率最大？
解析： 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx
＝2＋Δx ； 在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22
Δx
＝4＋Δx ； 在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32
Δx
＝6＋Δx ；
若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193
， 由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．
类题通法：求平均变化率的步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)．
(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0.
(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0
. 要点2：求瞬时速度
例2、一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．
解析：(1)当t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， ∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2，
Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt ，0lim t ∆→Δs Δt ＝0
lim t ∆→(3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3.
(2)取一时间段[2,2＋Δt ]，
∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22)
＝－Δt －(Δt )2，
Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt
＝－1－Δt ， 0lim t ∆→Δs
Δt ＝0lim t ∆→(－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1.
类题通法：
1．求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)．
(2)求平均速度v ＝Δs Δt
； (3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt
无限趋近于常数v ，即为瞬时速度． 2．求Δy Δx
(当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法 (1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算；
(2)求出Δy Δx
的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可．
要点3：求函数在某点处的导数
例3、 (1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为________．
(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3，
①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值Δy Δt
； ②求t 1＝4时的导数．
解析： (1)Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1
， 0lim t ∆→11＋Δx ＋1＝12
，所以y ′|x ＝1＝12. 答案：(1)12
(2)解：①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481
201，Δy Δt
＝48.120 1. ②0lim t ∆→Δy Δt ＝0
lim t ∆→[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48， 故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48，即y ′|t 1＝4＝48.
类题通法：
1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；
(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
； (3)求极限0lim x ∆→Δy Δx
. 2．瞬时变化率的变形形式
0lim
x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝0lim
x ∆→f (x 0＋n Δx )－f (x 0)n Δx ＝0
lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )2Δx ＝f ′(x 0)．。