第7章线性离散控制系统的分析

分别称为采样频率及采样角频率，其中T代表采 样周期。
连续性时间函数经采样开关采样后变成重复 周期等于采样周期的时间序列。该时间序列通 道在连续型时间函数上打*号来表示，如图7-2 所示。这种时间序列属于离散型时间函数。
在图7-1中，两个采样开关的动作一般是同步 的，因此，图7-l所示离散系统方块图可等效地简 化成图7-3。
Eh
(s)
k 0
e(k T )e kTs
1 eTs s
Eh (s)
1 eTs s
E * (s)
Gh (s)
Eh (s) E * (s)
1 eTs s
零阶保持器频率特性（如图7-11）
Gh
(
j
)
1
e jT
j
T
sin( T (T /
/ 2) 2)
e
jT
/
2
图7-11 零阶保持器频率特性
零阶保持器具有如下特性
通常E*(s)的全部极点均位于S平面的左半部， 因此可用jω代替上式中的复变量s，直接求得采样信 号的傅氏变换：
E *
(
j )
1 T
E[
n
j(
n s
)]
上式即为采样信号的频谱函数。它也反映了离散 信号频谱和连续信号频谱之间的关系。
一般说来，连续函数的频谱是孤立的，其带宽 是有限的，即上限频率为有限值 (见图7-8（a）)。
图7-5：数字控制系统结构图
在数字控制系统中，具有连续时间函数形式的 被控信号y(t)或c(t) (模拟量)受控于具有离散时间函 数形式的控制信号u* (t)(数字量)。既然模拟量需要 反应数字量，这中间便需要有数-模转换环节。连 续的被控制信号y(t)或c(t)经反馈环节反馈到输入端 与参考输入相比较，从而得到e(t)并经A／D得到偏 差信号e* (t) 。
图7-8：连续及离散信号的频谱
由图7-8可见，相邻两频谱互不重迭的条件是
ωs ≥2ωmax
如果满足条件，并把采样后的离散信号e*(t)加到 如图7-9所示特性的理想滤波器上，则在滤波器的输出 端将不失真地复现原连续信号(幅值相差l／T倍)。倘
若ωs <2ωmax ,则会出现图7-8所示的相邻频谱的重叠
现象，这时，即使用理想滤波器也不能将主频谱分离 出来，因而就难以准确复现原有的连续信号。
综上所述，可以得到一条重要结论，即只有在
ω s
≥2
ωmax的条件下，采样后的离散信号e*(t)才有
可能无失真地恢复到原来的连续信号。这里2
ω max
为连续信号的有限频率。这就是香农(Shannon)采
样定理。由于它给出了无失真地恢复原有连续信号
零阶保持器是一种按照恒值规律外推的保持 器。它把前一采样时刻nT的采样值e(nT)不增不减 地保持到下一采样时刻(n+1)T，其输入信号和输 出信号的关系如图7-10。
—
图7-10：输入和输出关系
e(t) |nT △T e(nT )
de dt
|nT
△T+
d 2e dt 2
|nT
△T2 2
+
e(t) |nT△T e(nT ) (0 △T T )
n-
则有
T
(t)
1 T
n
e
jnst
即
e*
(t
)
e(t
)T
(t
)
Hale Waihona Puke e(t)1 T
e jnwst
n-
(t-nT 0, (t nT ) 0)
E*(s) E*( j)
L(e* (t )) 1
T n
1 E[s T n
E( j jns )
jns ]
(2) 采样定理
E*(
j)
…+ 1 T
第7章 线性离散控制系统的分析
内容提要
离散控制系统与连续控制系统的根本区 别在于采样系统中既包含有连续信号，又包 含有离散信号，是一个混和信号系统。分析 和设计离散系统的数学工具是Z变换，采用 的数学模型是差分方程、脉冲传递函数。
第一节 线性离散控制系统的概念
连续系统：控制信号、反馈信号以及偏差信号都 是连续型的时间函数
s
一阶保持器的频率特性绘于图7-12。图中 的虚线表示零阶保持器的频率特性。
图7-12：一阶保持器的频率特性
第三节 Z变换
通过前面对线性连续系统的讨论我们知道， 线性连续系统用线性微分方程来描述，可以应用 拉氏变换的方法来分析其动态及稳态过程。
线性离散系统中包合离散信号，用差分方程来 描述，同样可以应用一种z变换的方法来进行分 析。z变换是由拉氏变换引伸出来的一种变形。
而离散函数E*(t)则具有以ωs 为周期的无限多个频
谱，如图7-8（b）所示。
在离散函数的频谱中，n=0的部分E(jω)／T称
为主频谱。它对应于连续信号的频谱。除了主频谱 外， E*(jω)还包含无限多个附加的高频频谱。为了 准确复现采样的 连续信号，必须使采样后的离散信 号的频谱彼此不重叠，这样就可以用一个比较理想 的低通滤波器，滤掉全部附加的高频频谱分量，保 留主频谱。
离散的偏差信号 e* (t)经数字计算机的加工处理 变换成数字信号u* (t)，u* (t)再经D／A转换为连续信 号uk (t)馈送到连续部分的执行元件去控制系统的被 控制信号c(t)。图中采样开关的动作是同步的。
第二节 采样过程与采样定理
一、采样过程
实现采样控制首先遇到的问题，就是如何把连 续信号变换为脉冲序列的问题。
图7-9：理想滤波器频率特性
但是，上述的理想滤波器实际上是不能实现的。 因此，必须寻找在特性上接近理想滤波器，而且在物 理上又是可以实现的滤波器。在采样系统中广泛采用 的保持器就是这样一种实际的滤波器。
保持器是一种时域的外推装置，即根据过去或现 在的采样值进行外推。
二、零阶保持器和一阶保持器
通常把具有恒值、线性和抛物线外推规律的 保持器分别称为零阶、一阶和二阶保持器。其中 最简单、最常用的是零阶保持器。 1 零阶保持器
图7-1：离散系统结构图
在图7-1中，离散反馈信号b* (t )是由连续型的时 间函数b(t)通过采样开关的采样而获得的。采样开 关经一定时间T重复闭合，每次闭合时间为 ，且 有 T，见图7-2。
图7-2：离散反馈信号
在离散系统中，采样开关重复闭合的时间 间隔T 称为采样周期。
fs
1 T
，s
2 T
上式中各项均含有e-kTs因子，为便于计算定义 一个新变量z=esT ， 其中T为采样周期，z是复数平 面上定义的一个复变量。通常称为z变换算子。
即 z esT s 1 ln z T
离散系统：一般情况下，控制信号是离散型的时 间函数r*(t) 。
取自系统输出端的负反馈信号在和上述离散控 制信号进行比较时，需要采取离散型的时间函数 b*(t) ，于是比较后得到的偏差信号将是离散型的 时间函数，即 e* (t) r* (t) b* (t)
因此，在离散系统中，通过控制器对被控对 象进行控制的直接作用信号乃是离散型的偏差信 号e*(t) 。上述离散系统的方块图示于图7-1。
于相应瞬时e(t)的幅值，即e(0T)、e(T)、
e(2T) …… e(nT)，如图7-6所示。
图7-6：实际采样过程
采样过程可以看成是一个脉冲调制过程。理 想的采样开关相当于一个单位理想脉冲序列发生 器，它能够产生一系列单位脉冲。
e*(t) e(0)[1(t) 1(t )] e(T )[1(t T ) 1(t T )]
E(
j
js )
1 T
E(
j)
1 T
E(
j
js ) ?
E*(
j
js )
…+ 1 T
E(
j
js )
1 T
E(
j)
1 T
E(
j
js ) ?
E*( j)
即 E*( j) 的周期为 s 因此，我们有
E*( j jks ) E*( j)
k 0, 1, 2,…
将其展开可得
E*(
j)
…+ 1 T
E(
j
按一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其 转换为相应的脉冲序列的过程称为采样过程。实现 采样过程的装置叫采样器或采样开关。
采样器可以用一个周期性闭合的开关来表示， 其闭合周期为T，每次闭合时间为 。在 实际上， 由于采样持续时间 通常 远小于采样周期T，也远 小于系统连续部分的时间常数，因此，在分析离 散系统时，可近似认为 趋近 于0。在这种条件下， 当采样开关的输入信号为连续信号e(t)时，其输出 信号e*(t)是一个脉冲序列，采样瞬时e*(t)的幅值等
低通特性：由于幅频特性的幅值随频率值的增大 而迅速衰减，说明零阶保持器基本上是一个低通 滤波器，但与理想滤波器特性相比，在 ω=ωs/2, 其幅值只有初值的63.7%，且截止频率不止一个， 所以零阶保持器允许主要频谱分量通过外，还允 许部分高频分量通过,从而造成数字控制系统的输 出中存在纹波。
相角特性：由相频特性可见，零阶保持器要产 生相角迟后，且随频率的增大而加大，在 ω=ωs/2 时，相角迟后可达－180o，从而使闭环 系统的稳定性变差。
图7-3：离散系统简化结构图
离散控制系统的应用范围非常广泛，一般离 散控制系统的构成如图7-4所示。
图7-4：离散控制系统结构图
数字控制系统
数字控制系统是一种离散型的控制系统，只不 过是通过数字计算机控制而已。因此，它包括工作 于离散状态下的数字计算机(或专用的数字控制器) 和具有连续工作状态的被控对象两大部分，其方块 图如图7-5所示。图中，有用于控制目的的数字计 算机，或数字控制器，它构成控制系统的数字部分， 通过这部分的信号均以离散形式出现。被控对象一 般用G(s)表示是系统的不可变部分，它是构成连续 部分的主要成分。
一、Z变换定义
设连续时间函数f(t)可进行拉氏变换，其拉氏 变换为F(s)。连续时间函数f(t)经采样周期为T的采 样开关后，变成离散信号f*(t)
f *(t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
k 0
k 0
离散信号的拉氏变换为
F * (s) f (kT)ekTs k 0
△T
由于未引进高阶差分，一阶保持器的输出信号与原 连续信号之间仍有差别。一阶保持器的单位脉冲响 应可以分解为阶跃函数和斜坡函数之和。
一阶保持器的单位脉冲函数的拉氏变换式 可用下式表示，
e(t)
|nT
△T
e(nT
)
e((n
1)T ) T
e(nT
)△T
Gh (s)
Eh (s) E* (s)
1 e Ts T (1 Ts)
号的调制过程如图7-7所示。
图7-7：采样信号的调制过程
二、采样定理
采样定理(shannon定理)，由于它给出了从采 样的离散信号恢复到原连续信号所必需的最低采 样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。
(1) 采样信号的频谱 e*(t) e(t) (t nT )
n-
令
T (t) (t nT )
e(2T )[1(t 2T ) 1(t 2T )]
e(kT)[1(t kT) 1(t kT )] k 0
当 0时，上式可写成
e* (t) e(kT) (t kT) k 0
或 e*(t) e(t) (t kT) e(t)T (t) k 0 采样开关相当于一个单位脉冲发生器，采样信
eh (t) e(kT )[1(t kT ) 1(t (k 1)T )] k 0 由图7-10可见，零阶保持器的输出信号是阶梯
信号。它与要恢复的连续信号是有区别的，包含有
高次谐波。若将阶梯信号的各中点连接起来，可以
得到比连续信号退后T／2的曲线。这反映了零阶 保持器的相位滞后特性。
零阶保持器的传递函数
j2s )
1 T
E(
j
js )
1 T
E(
j)
1 T
E(
j
js )
1 T
E(
j
j2s )+?
若想从上述离散信号恢复为连续信号，则需要满足
1 T
E(
j
jns )
0
采样频率怎么选？
n 1, 2,…
分析表明，采样函数的拉氏变换式E*(s)是以ωs 为周期的周期函数。另外，上述分析还表示了采样
函数的拉氏变换式E*(s)与连续函数拉氏变换式E(s) 之间的关系。
时间迟后：零阶保持器的输出为阶梯信号eh(t) 其平均响应为e[t－(T/2)],表明输出比输入在时间 上要迟后T/2，相当于给系统增加一个延迟时间 为T/2的延迟环节，对系统稳定不利。
2 一阶保持器
一阶保持器是种按线性规律外推的保持器，其
外推关系为
e(t) |nT △T
e(nT )
de dt
|nT
的条件，所以成为设计采样系统的一条重要依据。
第三节信号复现与零阶保持器
一、信号复现概念
实现采样控制遇到的另一个重要问题，是如何 把采样信号恢复为连续信号。
根据采样定理，在满足ω s
≥2
ω 的条件下， max
离散信号的频谱彼此互不重叠。这时，就可以用具
有图7-9特性的理想滤波器滤去高频频谱分量，保
留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。