多边形与平行四边形

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基础巩固
1．(2021·宜宾)下列说法正确的是()
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．平行四边形的对角线互相平分
D解析：A．平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误；B．平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误；
C．平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误；
D．平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．故选D．2．(2022·宁阳检测)如图，▱ABCD中，AC，BD交于点O，分别以点A和点
C为圆心，大于1
2AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交
AB于点E，交CD于点F，连接CE．若AD＝6，△BCE的周长为14，则CD的长为()
A．10 B．8
C．6 D．33
B解析：由已知条件可知EF是AC的垂直平分线，∴EA＝EC．
∵△BCE的周长为14，
∴BC＋CE＋EB＝14．
∴BC＋EA＋EB＝14．
即BC＋AB＝14．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC＝AB，BC＝AD＝6．
∴DC＝14－BC＝14－6＝8．故选B．
3．(2022·泰山区模拟)如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2的度数为()
A．55°B．65°
C．75°D．85°
C解析：如图，延长EG交AB于H．
∵∠BMF＝∠BGE＝90°，
∴MF∥EH．
∴∠BFM＝∠BHE．
∵∠1＝30°，
∴∠BFM＝∠BHE＝60°．
∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，
∴∠DEH＝∠BHE＝60°．
∵∠GEN＝45°，
∴∠2＝180°－60°－45°＝75°．故选C．
4．(2022·遂宁)如图，正六边形ABCDEF的顶点A，F分别在正方形BMGH
的边BH，GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为________．
4解析：∵正六边形每个外角为360°
6
＝60°，
∴∠HAF＝60°．则∠AFH＝30°．
∵正方形BMGH的边长为6，
∴BH＝6．
设AH＝x，则AF＝2x＝AB．
∴x＋2x＝6．
解得x＝2．
∴BA＝2x＝4．
故答案为4．
5．(2021·雅安)如图，ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，连接CG，则∠BCG＋∠BGC＝________．
30°解析：∵ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝(6－2)×180°
6
＝120°．
∵ABGH是正方形，∴∠ABG＝90°．
∵∠GBC＋∠ABC＋∠ABG＝360°，
∴∠GBC＝360°－(∠ABC＋∠ABG)＝360°－(120°＋90°)＝150°．
∵∠BCG＋∠BGC＋∠GBC＝180°，
∴∠BCG＋∠BGC＝180°－∠GBC＝180°－150°＝30°．
故答案为30°．
6．(2021·临沂)在平面直角坐标系中，▱ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A，B的坐标分别是(－1,1)，(2,1)，将▱ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是________．
(4，－1)解析：∵对称中心是坐标原点，A(－1,1)，B(2,1)，∴C(1，－1)．∵将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，∴C1(4，－1)．
故答案为(4，－1)．
能力提升
7．(2022·肥城模拟)如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线翻折得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D．若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝6，则B′D的长是()
A．1 B． 2
C． 3 D．
6 2
B解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠ADC＝60°，∠ACB＝∠CAD．由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠ACB′＝45°，∴△AEC为等腰直角三角形．
∴AE＝CE．
∴Rt△AEB′≌Rt△CED(HL)．
∴EB′＝DE．
在等腰Rt△AEC中，AC＝6，
∴CE＝3．
在Rt△DEC中，CE＝3，∠ADC＝60°，
∴∠DCE＝30°．
∴DE＝1．
在等腰Rt△DE B′中，EB′＝DE＝1，
∴B′D＝2．故选B．
8．(2022·岱岳区月考)如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F．若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD 的周长为______．
4a＋2b解析：由折叠的性质可得：∠ACE＝∠ACB．
∵∠ACE＝2∠ECD，
∴∠ACE＝∠ACB＝2∠ECD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠F AC＝∠FCA，∠B＋∠BCD＝180°．
即∠B＋∠ACE＋∠ACB＋∠ECD＝180°．
∴∠ECD＝20°，∠ACE＝∠ACB＝40°＝∠F AC，
∠CFD＝∠F AC＋∠FCA＝80°＝∠B＝∠D．
∴AF ＝CF ＝CD ＝a ．即AD ＝a ＋b ． 则▱ABCD 的周长为2AD ＋2CD ＝4a ＋2b ． 故答案为4a ＋2b ．
9．(2022·肥城模拟)如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，且AO ＝CO ，点E 在BD 上，满足∠EAO ＝∠DCO ．
(1)求证：四边形AECD 是平行四边形；
(2)若AB ＝BC ，CD ＝5，AC ＝8，求四边形AECD 的面积．
答案：(1)证明见解析 (2)24 解析：在△AOE 和△COD 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧
∠EAO ＝∠DCO AO ＝CO ∠AOE ＝∠COD
，
∴△AOE ≌△COD (ASA)． ∴OD ＝OE ． 又∵AO ＝CO ，
∴四边形AECD 是平行四边形． (2)∵AB ＝BC ，AO ＝CO ，
∴BO 为AC 的垂直平分线，BO ⊥AC ． ∴平行四边形 AECD 是菱形． ∵AC ＝8， ∴CO ＝1
2AC ＝4．
在 Rt △COD 中，CD ＝5， ∴OD ＝
CD 2－CO 2＝
52－42＝3．
∴DE ＝2OD ＝6．
∴S 菱形AECD ＝12DE ·AC ＝1
2×6×8＝24． ∴四边形 AECD 的面积为24．
拓展训练
10．如图，在▱ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝BC ，AE ⊥BC 于点E ，连接DE ，交AC 于点G ．以DE 为边作等边△DEF ，连接AF ，交DE 于点N ，交DC 于点M ，且M 为AF 的中点．在下列说法中：①∠EAN ＝45°；②12AE ＝3CM ；③S △AGE ＝S △DGC ；④AF ⊥DE ．正确的个数有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
B 解析：连接CF ，过点A 作AH ⊥D
C 于点H ．
∵四边形ABCD 是平行四边形，∠B ＝60°，AB ＝BC ， ∴△ABC 、△ADC 都是等边三角形，AD ∥BC ． ∵AE ⊥BC ，
∴BE ＝CE ，∠BAE ＝∠CAE ＝30°．
设BE ＝CE ＝a ，则AB ＝BC ＝AC ＝2a ． ∴AE ＝3a ．
∵∠ADC ＝∠EDF ＝60°， ∴∠ADE ＝∠CDF ．
在△DAE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧
AD ＝CD ∠ADE ＝∠CDF
ED ＝FD ，
∴△DAE ≌△DCF (SAS)． ∴AE ＝CF ，∠DAE ＝∠DCF ． ∴∠DCF ＝∠DAE ＝90°． ∴∠ACF ＝150°． ∵AC ≠CF ，
∴∠CAF ≠∠CF A ≠15°． ∴∠EAN ≠45°．故①错误．
∵∠AHM ＝∠FCM ＝90°，MA ＝MF ，∠AMH ＝∠FMC ， ∴△AHM ≌△FCM (AAS)． ∴HM ＝CM ＝1
2a ．
∴3CM ＝32a ＝1
2AE ．故②正确．
∵AD ∥BC ，∴S △AEC ＝S △DCE ． ∴S △AEC －S △GCE ＝S △DCE －S △GCE ． 即S △AGE ＝S △DGC ．故③正确． ∵△EDF 是等边三角形，
若AF⊥DE，则AF垂直平分DE，则AD＝AE．
显然AD≠AE，故AF与AD不垂直．故④错误．
∴正确的是②③，一共2个．故选B．
11．(2022·大庆)如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．连接AE，CD．
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若AE＝AC，求证：AB＝DB．
答案：(1)证明见解析(2)证明见解析
解析：(1)∵EB＝CF，
∴EB＋EC＝CF＋EC．∴BC＝FE．
∵AB＝DF，AC＝DE，
∴△ABC≌△DFE(SSS)．
∴∠ABC＝∠DFE．∴AB∥DF．
∴四边形ABDF是平行四边形．
(2)连接AD交BF于点O．
∵四边形ABDF是平行四边形，
∴OB＝OF．
∵BE＝CF，∴OB－BE＝OF－CF．
∴OE＝OC．
∵AE＝AC，∴AO⊥EC．
∴四边形ABDF是菱形．
∴AB＝DB．
12．(2022·东平月考)如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE 沿直线AE折叠，点B落在点F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．
(1)求证：AG＝GH；
(2)若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；
(3)当点E在BC边上(端点除外)运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？
答案：(1)证明见解析(2)310
5(3)不变，理由见解析．
解析：(1)∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，
∴∠BAG＝∠GAF＝1
2∠BAF．
∵B，F关于AE对称，
∴AG⊥BF．∴∠AGF＝90°．∵AH平分∠DAF，
∴∠F AH＝1
2∠F AD．
∴∠EAH＝∠GAF＋∠F AH
＝1
2∠BAF＋1
2∠F AD
＝1
2(∠BAF＋∠F AD)＝1
2∠BAD．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°．
∴∠EAH＝1
2∠BAD＝45°．
∵∠HGA＝90°，
∴∠AHG＝90°－∠EAH＝45°＝∠EAH．
∴GA＝GH．
(2)如图1，连接DH，DF，DF交AH于点N．由(1)可知AF＝AD，∠F AH ＝∠DAH，
∴AH⊥DF，FN＝DN．
∴DH＝HF，∠FNH＝∠DNH＝90°．
又∵∠GHA＝45°，
∴∠NFH＝45°＝∠NDH＝∠DHN．
∴∠DHF＝90°，DH＝FH．
∴DH的长为点D到直线BH的距离．
由(1)知AE2＝AB2＋BE2，
∴AE＝AB2＋BE2＝32＋12＝10．
∵∠BAE＋∠AEB＝∠BAE＋∠ABG＝90°，
∴∠AEB ＝∠ABG ．
又∵∠AGB ＝∠ABE ＝90°，
∴△AEB ∽△ABG ．
同理可得△EGB ∽△EBA ． ∴AG AB ＝AB AE ，BG EB ＝AB AE ．
∴AG ＝AB 2AE ＝910
＝91010， BG ＝AB ·BE AE ＝3×110
＝31010． 由(1)知GF ＝BG ，AG ＝GH ，
∴GF ＝31010，GH ＝91010．
∴DH ＝FH ＝GH －GF ＝91010－31010＝3105．
即点D 到直线BH 的距离为3105．
(3)理由如下：方法一：连接BD ，如图2．
在Rt △HDF 中，DH DF ＝sin 45°＝22，
在Rt △BCD 中，CD BD ＝sin 45°＝22，
∴DH DF ＝CD BD ．
∵∠BDF ＋∠CDF ＝45°，
∠FDC＋∠CDH＝45°，
∴∠BDF＝∠CDH．
∴△BDF∽△CDH．
∴∠CHD＝∠BFD．
∵∠DFH＝45°，
∴∠BFD＝135°＝∠CHD．
∵∠BHD＝90°，
∴∠BHC＝∠CHD－∠BHD＝135°－90°＝45°．∴∠BHC的度数不变．方法二：
∵∠BCD＝90°，∠BHD＝90°，
∴点B，C，H，D四点共圆．
∴∠BHC＝∠BDC＝45°．
∴∠BHC的度数不变．。