高中数学 第一章 三角函数 1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(1)课时训练(含解析)苏教版必修4

1．3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)
课时目标 1．了解φ、ω、A 对函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响.2.掌握y ＝sin x 与f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系．
用“图象变换法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象 1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响
y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点________(当φ>0时)或________(当φ<0时)平行移动________个单位长度而得到． 2．ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响
函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的________倍(纵坐标________)而得到．
3．A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A >1时)或________(当0<A <1时)到原来的______倍(横坐标不变)而得到，函数y ＝A sin x 的值域为________，最大值为________，最小值为________． 4．函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程．
一、填空题
1．要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π3的图象，只要将函数y ＝sin x 2的图象向左平移________个单位．
2．将函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π6个单位，所得函数的解析式为____________．
3．为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是__________．
4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π上的简图是________．(填正确图象的代码)
5．为得到函数y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象________．
①向左平移π
6个单位长度；
②向右平移π
6个单位长度；
③向左平移5π
6个单位长度；
④向右平移5π
6
个单位长度．
6．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π
10
个单位长度，再把所得各点的横
坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是_______________________．
7．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π
3
个单位长度，再把所得
图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数的解析
式是________．
8．把函数y ＝3sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|≤π)的图象向左平移π
6
个单位，再将图象
的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的解析式为y ＝3sin x ，则ω＝________，φ＝________. 9．某同学给出了以下论断：
①将y ＝cos x 的图象向右平移π
2
个单位，得到y ＝sin x 的图象；
②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象；
④函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的． 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．
10．设ω>0，函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是__________． 二、解答题
11．请叙述函数y ＝cos x 的图象与y ＝－2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2的图象间的变换关系．
12．已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π3－2x (x ∈R ).
(1)求f (x )的单调减区间；
(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)．
能力提升
13．要得到y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象________． ①向左平移π
8个单位；
②向右平移π
8个单位；
③向左平移π
4个单位；
④向右平移π
4
个单位．
14．使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的1
2
倍，然后
再 将其图象沿x 轴向左平移π
6
个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，则f (x )
的表达式为____________________.
1．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，其变化途径有两条：
(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换
y ＝A sin(ωx ＋φ)．
(2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω
)]＝sin(ωx ＋φ)――→
振幅变换
y ＝A sin(ωx ＋φ)．
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期
变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|
ω
个单位，这是很容易
出错的地方，应特别注意．
2．类似地y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到．
1．3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)
知识梳理
1．向左 向右 |φ|
2．缩短 伸长 1
ω
不变
3．伸长 缩短 A [－A ，A ] A －A
4．y ＝sin(x ＋φ) y ＝sin(ωx ＋φ) y ＝A sin(ωx ＋φ)
作业设计 1.2
3π 2.y ＝cos 2x 3.32
π 解析 y ＝sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2向右平移φ个单位后得y ＝
cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －φ－π2， ∴φ＋π
2
＝2k π，k ∈Z ，
∴φ＝2k π－π
2
，k ∈Z .
∴φ的最小正值是3
2
π.
4．①
解析 由各图象特点，知可选用－π2和π
6这两个特殊值来断定．
当x ＝－π2时，y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫－π－π3＝32； 当x ＝π
6
时，y ＝sin 0＝0.
符合这两个特点的只有①. 5．③
解析 ∵y ＝sin x ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2，
又x －π2＋5π6＝π
3
＋x ，
∴只需将y ＝sin x 的图象向左平移5π6个单位长度，便可得到y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．
6．y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －π10 解析
y ＝sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫x －π10
――→横坐标伸长到原来的2倍
纵坐标不变 y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －π10. 7．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3
解析 将y ＝sin x 图象上的所有的点向左平移π3个单位长度得到y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3.再将
图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 8．2 －π
3
解析
y ＝3sin 2⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －π6＝3sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x －π3
，
∴ω＝2，φ＝－π
3
.
9．①③ 10.32
解析 向右平移4
3
π得
y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝
⎛⎭⎪⎫x －43π＋π3＋2
＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2. 因为与原函数图象相同，故－4π
3
ω＝2n π(n ∈Z )，
∴ω＝－32n (n ∈Z )，∵ω>0，∴ωmin ＝3
2
.
11．解 ∵y ＝－2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2 ＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6＋2 ＝2cos 2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋7π12＋2
先将y ＝cos x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的1
2
，纵坐标不变，则得到y ＝cos 2x
的图象．
再将y ＝cos 2x 的图象向左平移7π
12
个单位，
则得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π12，即y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6的图象，再将y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6的图象
上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，即得函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋7π6的图象． 最后，沿y 轴向上平移2个单位所得图象即是
y ＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6＋2的图象． 即得到函数y ＝－2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2的图象． 12．解 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3.欲求函数的单调递减区间，只需求y
＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2 (k ∈Z )，
解得k π－π12≤x ≤k π＋5
12
π (k ∈Z )，
∴原函数的单调减区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π (k ∈Z )． (2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
－2x
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π12. ∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称，
∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π
12
个单位即可．
13．①
解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π8－π4
y ＝cos[2(x －π8＋π8)－π4]＝cos(2x －π
4)．
14．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3
解析 方法一 正向变换
y ＝f (x )
y ＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 即y ＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 所以f ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x . 令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π
3
，
∴f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3.
方法二 逆向变换 据题意，
y ＝sin 2⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －π6＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x －π3
――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π3.。