永济市高中2018年2019年学年高中高二上学期第一次月考试卷习题数学

优选高中模拟试卷
永济市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学
班级__________姓名__________分数__________
一、选择题
1．一个几何体的三视图如下图，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为
（）
A）8
B）4
8
（C）
3
4
（D）
3
2．i是虚数单位，计算
i+i2+i3
=（）
A．﹣
1B．1
C
．﹣i
D．i
3．数列1，﹣4，7，﹣10，13，，的通项公式an为（）
A．2n﹣1B．﹣3n+2C．（﹣1）n+1（3n﹣2）D．（﹣1）n+13n﹣2
4．如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=1，半圆的直径为AB．在长方形ABCD内随机取一点，则该点取自暗影部分的概率是（）
A．B．1﹣C．D．1﹣
第1页，共16页
5．已知等比数列{a n}的公比为正数，且
2
）a4?a8=2a5，a2=1，则a1=（
A．B．2C．D．
6．设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
7．“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（）
A．充足不用要条件B．必需不充足条件
C．充要条件D．既不充足也不用要条件
8．在△ABC中，已知a=2，b=6，A=30°，则B=（）
A．60°B．120°C．120°或60°D．45°
9．sin（﹣510°）=（）
A．B．C．﹣D．﹣
10．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四周体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四周体S﹣ABC的体积为V，则r=（）
A．B．
C．D．
11．在等差数列{a n}中，首项a10,公差d0，若a k a1a2a3a7，则k
A、22
B、23
C、24
D、25
12．若P是以F1，F2为焦点的椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，且=0，tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知平面上两点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型”
直线，以下直线中：
①y=x+1②y=2③y=x④y=2x+1
“”
．
是单曲型直线的是
第2页，共16页
14．在△ABC中，已知=2，b=2a，那么cosB的值是．
15．设函数，此中[x]表示不超出x的最大整数．若方程f（x）=ax有三个不一样的实数根，则实数a的取值范围是．
C x
2y
2
2x4ym0
，则其圆心坐标是_________，m的取值范围是________．
16．已知圆：
【命题企图】此题考察圆的方程等基础知识，意在考察运算求解能力. 17．以下四个命题申是真命题的是（填全部真命题的序号）
①“p∧q为真”是“p∨q为真”的充足不用要条件；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；
③
在侧棱长为2
，底面边长为
3
的正三棱锥中，侧棱与底面成
30°
的角；
④
动圆P
过定点
A
（﹣
20B x22+y2=36
的内部与其相内切，则动圆圆心
P
的轨迹为一，），且在定圆：（﹣）
个椭圆．
18．已知i是虚数单位，复数的模为．
三、解答题
19．已知函数f（x）=lnx﹣ax+（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，求a的取值范围．
20．已知函数f（x）=xlnx，求函数f（x）的最小值．
第3页，共16页
21．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，直线l：y=x+2与以原点为圆心，以椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）抛物线C2：y2=2px（p＞0）与椭圆C1有公共焦点，设C2与x轴交于点Q，不一样的两点R，S在C2上（R，
S
与Q
不重合），且知足?
=0
，求
||
的取值范围．
22．（本小题满分12分）
数列{b n}知足：b n12b n2，b n a n1a n，且a1 2,a24.
1）求数列{b n}的通项公式；
2）求数列{a n}的前项和S n.
23．已知椭圆，过其右焦点F且垂直于x轴的弦MN的长度为b．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）已知点A的坐标为（0，b），椭圆上存在点P，Q，使得圆x2+y2=4内切于△APQ，求该椭圆的方程．
第4页，共16页
优选高中模拟试卷
（24．已知{a n}为等比数列，a1=1，a6=243．S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35．1）求{a n}和{B n}的通项公式；
2）设T n=a1b1+a2b2++a n b n，求T n．
第5页，共16页
优选高中模拟试卷
永济市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参照答案）一、选择题
1．【答案】A
【分析】
依据三视图可知，该几何体是长方体中挖去一个正四棱锥，故该几何体的体积等于2231
238
2
3
2．【答案】A
【分析】解：由复数性质知：i2=﹣1
故i+i2+i3=i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1
应选A
【评论】此题考察复数幂的运算，是基础题．
3．【答案】C
【分析】解：经过察看前几项能够发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（﹣1）n+1，绝对值为3n ﹣2，故通项公式a n=（﹣1）n+1（3n﹣2）．
应选：C．
4．【答案】B
【分析】解：由题意，长方形的面积为2×1=2，半圆面积为，因此暗影部分的面积为2﹣，由几何概型公式可得该点取自暗影部分的概率是；
应选：B．
【评论】此题考察了几何概型公式的运用，重点是明确几何测度，利用面积比求之．
5．【答案】D
【分析】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，
222
∵a4?a8=2a5，∴a6=2a5，
2
∴q=2，∴q=，
∵a2=1，∴a1==．
应选：D
第6页，共16页
优选高中模拟试卷
6．【答案】A
【分析】解：令f（x）=x3﹣，
∵f′x
）=3x2
﹣ln=3x
2
ln2＞0，
（+
∴f（x）=x3﹣在R上单一递加；
又f（1）=1﹣=＞0，
f（0）=0﹣1=﹣1＜0，
∴f（x）=x3﹣的零点在（0，1），
∵函数y=x3y=x x00
与（）的图象的交点为（，y），
x0所在的区间是（0，1）．故答案为：A．
7．【答案】B
【分析】解：若方程+=1表示椭圆，
则知足，即，
即1＜m＜3且m≠2，此时1＜m＜3建立，即必需性建立，
当m=2时，知足1＜m＜3，但此时方程+=1等价为为圆，不是椭圆，不知足条件．即充分性不建立
故“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的必需不充足条件，
应选：B
【评论】此题主要考察充足条件和必需条件的判断，依据椭圆的定义和方程是解决此题的重点．
8．【答案】C
【分析】解：∵a=2，b=6，A=30°，
第7页，共16页
优选高中模拟试卷
∴由正弦定理可得：sinB===，
∵B∈（0°，180°），
∴B=120°或60°．
应选：C．
9．【答案】C
【分析】解：sin（﹣510°）=sin（﹣150°）=﹣sin150°=﹣sin30°=﹣，
应选：C．
10．【答案】C
【分析】解：设四周体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
因此四周体的体积等于以O为极点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四周体的体积为
∴R=
应选C．
【评论】类比推理是指依照两类数学对象的相像性，将已知的一类数学对象的性质类比迁徙到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相像性或许一致性．②用一类事物的性质去推断另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
11．【答案】A
【分析】a k a1a2a3a77a176
d21d a1(221)d，2
第8页，共16页
优选高中模拟试卷
∴k22．
12．【答案】A
【分析】解：∵
∴，即△PF1F2是P为直角极点的直角三角形．∵Rt△PF1F2中，，
∴=，设PF21
=t，则PF=2t
∴=2c，
又∵依据椭圆的定义，得2a=PF12
+PF=3t
∴此椭圆的离心率为e====
应选A
【评论】此题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，依据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，侧重考察了椭圆的基本观点和简单几何性质，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】①②．
【分析】解：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即，（x＞0）．
对于①，联立，消y得7x2﹣18x﹣153=0，
∵△=（﹣18）2﹣4×7×（﹣153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．
对于②，联立，消y得x2=，∴y=2是“单曲型直线”．
对于③，联立，整理得144=0，不建立．∴不是“单曲型直线”．
对于④，联立，消y得20x2+36x+153=0，
∵△=362﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．
第9页，共16页
优选高中模拟试卷
故切合题意的有①②．
故答案为：①②．
【评论】此题考察“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要仔细审题，注意双曲线定义的合理运用．
14．【答案】．
【分析】解：∵=2，由正弦定理可得：，即c=2a．
b=2a，
∴==．
cosB=．
故答案为：．
【评论】此题考察了正弦定理与余弦定理，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．【答案】（﹣1，﹣]∪[，）．
【分析】解：当﹣2≤x＜﹣1时，[x]=﹣2，此时f（x）=x﹣[x]=x+2．
当﹣1≤x＜0时，[x]=﹣1，此时f（x）=x﹣[x]=x+1．
当0≤x＜1时，﹣1≤x﹣1＜0，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1+1=x．
当1≤x＜2时，0≤x﹣1＜1，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1．
当2≤x＜3时，1≤x﹣1＜2，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣1=x﹣2．当3≤x＜4时，2≤x﹣1＜3，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣2=x﹣3．设g（x）=ax，则g（x）过定点（0，0），
坐标系中作出函数y=f（x）和g（x）的图象如图：
当g（x）经过点A（﹣2，1），D（4，1）时有3个不一样的交点，当经过点B（﹣1，1），C（3，1）时，有2个不一样的交点，
则OA的斜率k=，OB的斜率k=﹣1，OC的斜率k=，OD的斜率k=，
故知足条件的斜率k的取值范围是或，
故答案为：（﹣1，﹣]∪[，）
第10页，共16页
优选高中模拟试卷
【评论】此题主要考察函数交点个数的问题，利用函数零点和方程之间的关系转变为两个函数的交点是解决本
题的依据，利用数形联合是解决函数零点问题的基本思想．
16．【答案】(1,2)，(,5).
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，(x1)2(y2)25m，∴圆心坐标(1,2)，
而5m0m5，∴m的范围是(,5)，故填：(1,2)，(,5).
17．【答案】①③④
【分析】解：①“p∧q为真”，则p，q同时为真命题，则“p∨q为真”，
当p真q假时，知足p∨q为真，但p∧q为假，则“p∧q为真”是“p∨q为真”的充足不用要条件正确，故①正确；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，
③设正三棱锥为P﹣ABC，极点P在底面的射影为O，则O为△ABC的中心，∠PCO为侧棱与底面所成角
∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=
∵侧棱长为2，∴
在直角△POC中，tan∠PCO=
∴侧棱与底面所成角的正切值为，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，
④如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣2，0）和定圆的圆心B（2，0）的距离之和恰巧等于定圆半径，
即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆，故④正确，
故答案为：①③④
第11页，共16页
18．【答案】．
【分析】解：∵复数==i﹣1的模为=．
故答案为：．
【评论】此题考察了复数的运算法例、模的计算公式，属于基础题．三、解答题
19．【答案】
【分析】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x+，
∴f（1）=1，
∴切点为（1，1）
∵f′（x）=﹣1﹣=，
∴f′（1）=﹣2，
∴切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1），
即2x+y﹣3=0；
（Ⅱ）f（x）的定义域是（0，+∞），
第12页，共16页
f′（x）=，
若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，
则g（x）=ax2﹣x+2在（0，+∞）2个解，
故，
解得：0＜a＜．
20．【答案】
【分析】解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f′（x）=1+lnx
令f′（x）=1+lnx=0，可得
0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0
时，函数获得极小值，也是函数的最小值
∴f（x）min===﹣．
【评论】此题考察导数知识的运用，考察函数的最值，考察学生剖析解决问题的能力，属于中档题．21．【答案】
【分析】解：（1）由直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切，∴=b，解得b=．联立解得a=，c=1．
∴椭圆的方程是C1：．
（2）由椭圆的右焦点（1，0），抛物线y2=2px的焦点，
∵有公共的焦点，∴，解得p=2，故抛物线C2的方程为：y2=4x．
易知Q（0，0），设R（，y1），S（，y2），
第13页，共16页
永济市高中2018年2019年学年高中高二上学期第一次月考试卷习题数学
优选高中模拟试卷
∴
=（ ，y 1）， = ，
由 ?
=0，得
，
∵y 1≠y 2，∴
，
∴ =64，当且仅当 ，即y 1=±4时等号建立．
又| |=
=
=
，
当 =64，即y 2=±8 时，||min=8 ，
故|
|的取值范围是[8
，+∞）．
【评论】此题考察了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、
向量的数目积运算和基本不等式的性质、
点到直线的
距离公式等基础知识与基本技术方法，考察了推理能力和计算能力，属于难题．
22．【答案】（1）b n 2n1
2 ；（2）S n
2n2
(n 2 n
4)．
【分析】
试题剖析：（ 1）已知递推公式 b
n1
2b n 2，求通项公式，一般把它进行变形结构出一个等比数列，由等比
数列的通项公式可得
b n ，变形形式为b n1
x2(b n
x)；（2）由（1）可知a n
a n1
b n 2n 2(n2)， 这是数列{a n }的后项与前项的差，要求通项公式可用累加法，即由 a n (a n a n
1
)(a
n1
a n2)
(a 2 a 1)a 1求得．
试题分析：（ 1）b n
1
2b n
2
b n12
2(b n 2)，∵
b n1
2 2，
b n
2
又b 1
2a 2 a 1 2 4，
第14页，共16页
∴a n(222232n)2n22(2n1)2n22n12n.
2n)21
4(1n(22n)
2n2(n2n4).
∴S n
22
1
考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式，等比数列的前项和．累加法求通项公式．23．【答案】
【分析】解：（Ⅰ）设F（c，0），M（c，y1），N（c，y2），
则，得y1=﹣，y2=，
MN=|y1﹣y2|==b，得a=2b，
椭圆的离心率为：==．
（Ⅱ）由条件，直线AP、AQ斜率必定存在，
设过点A且与圆x2+y2=4相切的直线方程为y=kx+b，转变为一般方程kx﹣y+b=0，因为圆x2+y2=4内切于△APQ，因此r=2=，得k=±（b＞2），
即切线AP、AQ对于y轴对称，则直线PQ平行于x轴，
∴y Q=y P=﹣2，
不如设点Q在y轴左边，可得x Q=﹣x P=﹣2，
第15页，共16页
则=，解得b=3，则a=6，
∴椭圆方程为：．
【评论】此题考察了椭圆的离心率公式，点到直线方程的距离公式，内切圆的性质．
24．【答案】
【分析】解：（Ⅰ）∵{a n}为等比数列，a1=1，a6=243，
1×q5=243，解得q=3，
∴．
S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35．
∴5×3+d=35，解得d=2，
b n=3+（n﹣1）×2=2n+1．
（Ⅱ）∵T n=a1b1+a2b2+ +a n b n，
∴
①
②
①﹣②得：
，
整理得：．
【评论】此题考察数列的通项公式的求法，考察数列的前n项和的求法，解题时要仔细审题，注意错位相减法的合理运用．
第16页，共16页。