数字信号处理证明题(往年题目都能在里面找到哦)

∑ [x(n) + x( N − 1 − n)]
n =0
N −1 2
n =0 N −1 −1 2 n =0
∑ [x(n) − x(n)] = 0
N −1 −1 2 n =0 N −1 −1 2
n =0
N −1 2
∑ x ( n) + ∑ x ( N − 1 − n) + x (
N −1 )+ 2
N −1 ) 2
= ∑ x [k ] x[ k ] = ∑ x[ k ]
5．
x(k )和X (n)
是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性：
1 X ( k ) ⇔ x (− n) N
证明略。
6． x(n) 长为N的有限长序列，
xe (n), xo (n)
分别为
x (n) 的圆周共轭偶部及奇部，也即
1 x e (n) = xe * ( N − n) = [ x(n) + x * ( N − n)] 2 1 xo (n) = − xo * ( N − n) = [ x(n) − x * ( N − n)] 2
答案 证: 由 IDFT 定义式：
x ( n) 1 N
X (k )W
k 0
N 1
kn N
n 0, 1, , N 1
可知：
x(0)
1 N 1 X (k ) N k 0
题干
证明 : 若 x(n) 为实序列， X ( K ) DFT [ x(n)]N 则 X(k) 为共轭对称序列， 即
则X( 解
N )=0 2
nk X (k ) = ∑ x(n)W N n =0 N −1 2 n =0 N −1
（1）
0 X (0) = ∑ x(n)W N = ∑ x ( n) = n =0 n =0
N −1
N −1
∑ x ( n) −
∑ x ( N − 1 − n)
n= N 2
N −1
令 N −1− n = m
证明：
DFT [ xe (n)] = Re[ X ( K )] DFT [ xo (n)] = j Im[ X ( K )]
证
1 1 xe (n) = x e * ( N − n) = [ x(n) + x * ( N − n)] = [ x(n) + x * ((− n)) N ] 2 2
1 ↔ [ X (k ) + X * (k )] = Re[ X (k )] 2
∑W
k =0
N −1
k (− r −n) N
=
0
（ l 为整数）
− r − n ≠ lN 1 ~ 1 ~ 所以 IDFS [~ x (k )] = 2 X (−lN − n) ⋅ N = X (− n) N N 1 1 ~ 于是 IDFT [x(k )] = X (− n) R N (n) = X ((− n) N ) R N (n) N N 9．令 X (k ) 表示 N 点序列 x(n) 的 N 点 DFT，试证明： （a） 如果 x( n) 满足关系式 x( n) = − x( N − 1 − n) ，则 X (0) = 0 。 N （b） 当 N 为偶数时，如果 x( n) = x( N − 1 − n) ，则 X ( ) = 0 。 2
证：
1 N
∑
N −1
2
X [ m] =
= 1 N
N −1 k =0
1 N
∑ X [ m] X * [ m]
N −1 k =0 mk * N
N −1
m =0
∑ X [m](∑ x[k ]W
1 N
N −1 m=0
)
= ∑ x * [k ]
N −1 k =0 *
∑ X [m]W
N −1 k =0
− mk N 2
又因为 x(n) 为实偶对称,所以 x(0) = x( N ) = 0 ，所以
( N −k )0 ( N −k ) m ( N −k )0 x(0)W N = x( N )W N + x(0)W N N
m= N
∑ x(m)W
1
( N −k ) m N
可将上式写为
( N −k )m ( N −k )0 X (k ) = ∑ x(m)W N + x(0)W N ( N −k ) m = ∑ x(m)W N ( N −k ) m ( N −k ) N = ∑ x(m)W N − x( N )W N ( N −k ) m = ∑ x(m)W N m =0 m =0 N −1 m =0 N m =1 N
由于：
W
n 0
N 1
n ( mk ) N
N 0
m N k m N k , 0 m N 1
k=0, 1, …, N－1
所以：DFT［X(n)］=Nx(N－k)
题干 如果 X(k)=DFT［x(n)］ ， 证明 DFT 的初值定理： x(0)
1 N 1 X (k ) N k 0
X (K ) X (N k ) 。
*
答案
证: 由 DFT 的共轭对称性。 将 x(n)表示为 x(n)=xr(n)+jxi(n) 则：X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k) 其难： Xep(k)=DFT ［xr(n)］ ，是 X(k)的共轭对称分量； Xop(k)=DFT ［jxi(n)］ , 是 X(k)的共轭反对称分量。 所以： 如果 x(n)为实序列， 则 Xop(k)=DFT ［jxi(n)］ =0， 故 X(k)=DFT ［x(n)］ =Xep(k)，即 X ( K ) X ( N k ) 。
N −1 N −1 n N n （b）当 N 为偶数： X ( ) = ∑ x( n)W N 2 = ∑ x(n)(−1) 2 n =0 n =0 N
= =
∑ x(n)(−1)
n =0
N −1 2
n
+ ∑ x( N − 1 − n)(−1) N −1− n
n =0
N −1 2
∑ x(n)(−1)
n =0 n
nk 证： X (k ) = ∑ x(n)W N n =0 N −1
(k = 0,1,..., N − 1)
（a） X (0) =
∑ x (n)
n =0
N −1
N 为偶数： X (0) =
∑ x ( n) + ∑ x ( N − 1 − n)
n =0 n =0
N −1 2
N −1 2
= =
N 为奇数： X (0) =
因为 所以
− k ( N −n) nk WN = WN − kn Nx( N − n) = ∑ X (k )W N = DFT [ X (k )] k =0 N −1
11．证明：若 x( n) 为实偶对称，即 x( n) = x( N − n) ，则 X ( k ) 也为实偶对称。 【解】 根据题意
《数字信号处理》课程复习：证明题
1．设 X (k ) 表示长度为 N 的有限长序列 x( n) 的 DFT。
（1） 则 X ( 0) （2） 证明如果 x ( n) 满足关系式
x ( n) = − x ( N − 1 − n)
=0
证明当 N 为偶数时，如果
x ( n) = x ( N − 1 − n)
X (0) =
显然可得 （2） X (
∑ x ( n) − ∑ x ( m)
n =0 n= N −1 2
N −1 2
0
X ( 0) = 0
N −1 N −1 N ) = ∑ x( n)e jkπ = ∑ x (n)(−1) n （将 n 分为奇数和偶数两部分表示） 2 n =0 n =0
=
= ∑ x(2r ) − ∑ x(2r + 1)
= x( = x(
∑ [x ( n ) + x ( N − 1 − n ) ]
N −1 ) + ∑ [x ( n ) − x ( n ) ] 2 n =0 N −1 N −1 = x( ) + 0 = x( ) 2 2
而 x( n) 中间的一项应当满足：
N −1 −1 2
N −1 N −1 n −1 ) = − x( N − 1 − ) = − x( ) 2 2 2 n −1 X( )=0 因此必然有 2 这就是说，当 N 为奇数时，也有 X (0) = 0 。 x(
N −1 nk X (k ) = ∑ x(n)W N n =0 N −1
∑ x( N − n)W ∑ x( N − n)W
n =0 n =0 N −1
( − n )( − k ) N
nk 再利用W N 的周期性质
( N − n )( N − k ) N
下面我们令 N − n = m 进行变量代换，则 X ( k ) =
N −1 k =0
8．若 x( n) = IDFT [ X ( k )] ，求证 IDFT [x(k )] =
1 证： IDFS [~ x (k )] = N = 1 N
x (k )W ∑~
N −1
− kn N
而
⎡ 1 N −1 ~ − kn − rk ⎤ ∑ ⎢ N ∑ X (r )W N ⎥W N k =0 ⎣ r =0 ⎦ N −1 N −1 1 ~ k ( − r −n) = 2 ∑ X ( r )∑ W N N r =0 r =0 N − r − n = lN
所以
( N −k ) m X (k ) = ∑ x(m)W N = X (N − k) m =0
N −1
即证。 注意：若 x( n) 为奇对称，即 x( n) = − x( N − n) ，则 X (k Байду номын сангаас 为纯虚数并且奇对称，证明方法同上。
题干
证明 DFT 的对称定理， 即假设 X(k)=DFT［x(n)］ ， 证明：DFT［X(n)］=Nx(N－k)
=
∑ x(2r + 1) − ∑ x(2r + 1)
k= N 2 r =0
N −1 2
显然可得
X(
N )=0 2
2．试证N点序列 x(n ) 的离散傅立叶变换 X (k ) 满足Parseval恒等式
∑
k =0
N −1
1 x[n] = N
m=0
2
m =0
∑ X [k ]
m =0 N −1
N −1
2
答案 证：因为： X (k )
x(n)W
n 0
N 1 n 0
N 1
kn N
所以： DFT[ X (n)]
N 1
X (n)W
N 1 n 0
kn N
N 1 N 1 mn kn x(m)WN WN n 0 m 0
n ( m k ) x(m)WN m0
1 1 [ x( n) − x * ( N − n)] = [ x (n) − x * ((− n)) N ] 2 2 1 ↔ [ X (k ) − X * (k )] = j Im[ X (k )] 2 7．若 DFT [ x ( n )] = X ( k ), 求证 DFT [ X ( n )] = Nx (( − k )) N xo ( n ) = − xo * ( N − n ) =
N −1
（这应该是反变换公式）
1 N −1 kn Nx ( k )W N （用 − k ′代替 k ，且求和取主值区） ∑ N k =0 1 N −1 − k ′n = ∑ Nx (−k ′)W N N k =0 =
与（1）比较 所以
X (n) ↔ Nx ((− k )) N
1 X ((−n) N ) R N (n) 。 N
r =0 N −1 2
∑ x(2r )(−1)
N −1 2 r =0
N −1 2
2r
+ ∑ x(2r + 1)(−1) 2 r +1
r =0
N −1 2
= ∑ x( N − 1 − 2r ) − ∑ x(2r + 1)(令N − 1 − 2r = 2k + 1)
r =0
0
r =0 N −1 2
N −1 2 r =0
N −1 2
n
+ (−1) N −1 ∑ x(n)(−1) − n
n =0 N −1
N −1 2
当 N 为偶数时， N − 1 为奇数，故 ( −1)
= −1 ；又由于 (−1) − n = (−1) n , 故有
N X( ) = 2
∑ x(n)(−1)
n =0
N −1 2
− ∑ x(n)(−1) n = 0
证：
1 x ( n) = N
∑ X (k )W
k =0
N −1
− kn N
（1）
kn X (k ) = ∑ x(n)WN k =0
N −1
（2）
kn 由（2） X ( k ) = ∑ x ( n)W N ，将 k与n 互换，则有 kn X ( n) = ∑ x (k )WN n =0 k =0 N −1
n =0
N −1 2
10．设 DFT [x( n)] = X ( k ) ，求证 DFT [ X ( k ) = Nx ( N − n)] 。 【解】因为 根据题意
− k ( N −n) nk WN = WN
x ( n) =
1 N
∑ X (k )W
k =0 N −1 k =0
N −1
− nk N
−k ( N −n) Nx( N − n) = ∑ X (k )W N