高三年级数学(文科)第二次质量检测

高三年级数学〔文科〕第二次质量检测
本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部,共4页,总分值150分．测试用时120分钟．
第一局部 选择题〔共50分〕
一、选择题：本大题共10小题,每题5分,共50分．在每题给出的四个选项中,有且只
有一项为哪一项符合题目要求的． 1．)225sin(
-的值是
〔 〕
A ．
2
2 B ．2
2-
C ．
2
1 D ．
2
3 2．在复平面内,复数i
i
z 21-=
对应的点位于 〔 〕
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．以下函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 〔 〕
A ．)()2
1(R x y x
∈= B ．)0(1
≠=
x x
y C ．x y sin = D ．)(3
R x x y ∈-=
4．设0>r ,两圆()()22
2
31r y x =++-与162
2=+y x 可能 〔 〕
A ．相离
B ．相交
C ．外切或外离
D ．内切或内含或相交
5．在ABC ∆中,边a 、b 、c 所对角分别为A 、B 、
C ,且C
c
B b A a sin cos cos =
=,那么ABC ∆的形状为 〔 〕 A ．等边三角形 B ．有一个角为︒30的直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．有一个角为︒30的等腰三角形
6．等差数列}{n a 中,2,204106==+a a a ,那么12a 的值是 〔 〕
A ．26
B ．20
C ．18
D ．28
7．如果
x a x 2
1log ,121
=<<,那么 〔 〕 A ．22a a a >> B ．22a a a >> C ．22a a a >> D ．22a a a >> 8. 函数sin()y A x B ωϕ=++的一局部图像如以下图所示, 如果0,0,2
A π
ωϕ>><
,那么
〕 A ．4A = B ．1ω= C ．6
π
ϕ= D ．4B =
9. 假设一个几何体的三视图如右图〔三角形均为边长是2的等
边三角形,俯视图是正方形〕,那么它的体积为 〕 A ．
3
3
4 B ．34 C ．
332 D ．3
2
10．设函数,0,20
,)(2⎩
⎨⎧>≤+-=x x c bx x x f 假设2)2(),0()4(-=-=-f f f ,那么函数
x x f x g -=)()(的零点的个数为 〔 〕
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
俯视图
第二局部 非选择题〔共100分〕
二、填空题：本大题共4小题,每题5分,共20分．
11．函数x x f 21)(-=的定义域为 ． 12．α是第四象限角,12
cos 13
α=
,那么sin α= ． 13．点(),P x y 的坐标满足条件4,,1.x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩
那么22
x y +的最大值为 ．
14．极坐标系中,点)3
2,2(π
M 到圆θρcos 4=上动点的距离的最小值为 ．
三、解做题：本大题6小题,共80分．解容许写出文字说明、演算步骤或推理过程．
15．〔本小题总分值12分〕
A 、
B 、
C 三点的坐标分别为A 2sin (x -,)2sin x ,B 2(sin x
,)2
cos 2x -,
C )0,2
(cos x
．
〔1〕设BC AC x f ⋅=)(,求)(x f 的最小正周期； 〔2〕求当12[
π
∈x ,
]6
5π
时,)(x f 的最大值及最小值．
16．〔本小题总分值12分〕
函数),()(2
3
R b a b ax x x f ∈++-=. 〔1〕 假设0>a ,求函数)(x f 的单调区间；
〔2〕 假设1a =,函数()f x 的图像能否总在直线y b =的下方？说明理由．
17．〔本小题总分值14分〕
ABCD 是矩形,4,2AD AB ==,E 、F 分别
是线段AB 、BC 的中点,PA ⊥面ABCD . 〔1〕证实：FD PF ⊥；
〔2〕在PA 上找一点G ,使得//EG 平面PFD . 18．〔本小题总分值14分〕
圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线0443=+-y x 与圆C 相切． 〔1〕求圆C 的方程；
〔2〕过点)3,0(-Q 的直线l 与圆C 交于不同的两点A 、B ,当3=⋅OB OA 〔O 为坐标原点〕时,求AOB ∆的面积． 19．〔本小题总分值14分〕
公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为),(2
3
2
R q p q n pn S n ∈++=,n ∈*N ． 〔1〕求q 的值；
〔2〕假设139a a a 、、成等比数列,n b 满足23log n n a b =,求数列{}n
n
a b 的前n 项和． 20．〔本小题总分值14分〕
设二次函数2
()f x x ax a =++,方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<． 〔1〕求实数a 的取值范围； 〔2〕试比拟(0)(1)(0)f f f -与1
16
的大小,并说明理由．
C
D
B
A
P
E
F
2022届高三年级第二次质量检测数学〔文科〕答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细那么．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续局部的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该局部正确解容许得分数的一半；如果后续局部的解答有较严重的错误,就不再给分．
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每题5分,总分值50分．
二、填空题：本大题每题5分(第13题前空2分,后空3分),总分值20分． 11．]0,(-∞． 12．13
5
-
． 13．10． 14．232-．
三、解做题：本大题总分值80分． 15．〔本小题总分值12分〕 解：〔1〕AC =2sin
2
(cos x x +,)2
sin x
-, BC =2sin 2(cos x
x -,)2
cos 2x ． …………………………………2分
BC AC x f ⋅=∴)(
= 2
cos
2)2sin ()2
sin 2(cos )2sin 2(cos x
x
x x x x ⋅-+-⋅+ …………3分 = 2
cos 2sin 22sin 2cos 22x x x x --
= x x sin cos - (5)
分
= )2
2sin 22(cos 2⋅-⋅
x x
=)4
cos(2π
+
x (7)
分
∴)(x f 的最小正周期π2=T ． …………………………………8分 〔2〕∵
≤
≤x 12π
65π, ∴12
1343π
ππ≤+≤x ．
∴ 当ππ=+4x ,即x =4
3π
时,)(x f 有最小值2-, ………………10分
当3
4
π
π
=
+
x ,即x =
12
π
时,)(x f 有最大值22． ……………12分
16．〔本小题总分值12分〕
解：〔1〕 2
()32f x x ax '=-+. ……………1分
∴320a
x <
<时,0)(>'x f , 当3
20a
x x ><或时,0)(<'x f ………………………3分
∴的)(x f 单调递增区间是)3
20(a ，,
单调递减区间是)0,(-∞,),3
2(
∞+a
………………………6分 〔2〕 1a =时,2
()32f x x x '=-+,令2
()320f x x x '=-+=
得：0,x =2,3x =
由于(0)f b =,24
()327
f b b =+>,
所以函数()f x 的图像不能总在直线y b =的下方. ………………………………12分
17．〔本小题总分值14分〕 解：(1) 证实：连结AF ,
∵在矩形ABCD 中,
4,2AD AB ==,F 是线段BC 的中点,
C
D
B
A
P
E F
∴FD AF ⊥. …………………………………………………………………3分 又∵⊥PA 面ABCD ,∴FD PA ⊥. …………………………………4分 ∴⊥FD 平面PAF . …………………………………………………………6分 ∴FD PF ⊥. …………………………………………………………………7分 (2) 过E 作FD EH //交AD 于H ,那么//EH 平面PFD 且AD AH 4
1
=. …………9分
再过H 作DP HG //交PA 于G ,那么//HG 平面PFD 且AP AG 4
1
=. ……………11分
∴平面EHG 平面PFD .
∴//EG 平面PFD . ……………………………………………………………………………………………13分
从而满足AP AG 4
1
=的点G 为所找. …………………………………………………………14分
注：也可以延长DF 、AB 交于R ,然后找PR EG //进行处理) 18．〔本小题总分值14分〕
解：〔1〕设圆心为4)(),0)(0,(2
2
=+->y a x C a a C 的方程为则圆, ……1分 由于圆C 与0443=+-y x 相切,
所以
10|43|,24
3|43|2
2
=+=++a a 即,
解得3
14
2-
==a a 或〔舍去〕, …………3分 所以圆C 的方程为.4)2(2
2
=+-y x
…………4分
〔2〕显然直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为3-=kx y ,
由09)64()1(4
)2(3
222
2=++-+⎩⎨⎧=+--=x k x k y x kx y 得, …………5分
∵直线l 与圆相交于不同两点
12
5,09)1(4)64(22>
>⨯+-+=∆∴k k k 解得, …………6分
设),(),,(2211y x B y x A ,那么
2
2122119
,164k
x x k k x x +=++=
+, ① 9)(3)3)(3(212122121++-=--=x x k x x k kx kx y y ,
…………8分
,
06)(3)1(.3,321212
2121=++-+=+=⋅x x k x x k y y x x OB OA 即所以因为
将①代入并整理得0542
=-+k k , 解得1=k 或5-=k 〔舍去〕, 所以直线l 的方程为.3-=x y
…………10分
圆心C 到l 的距离2
2
2
|32|=
-=
d , ,2
2
323,,142
1
22||,2==
∆=-
⋅=∆h AB AOB l O AB ACB 上的高底边即的距离到直线原点中在
.2
732231421||21=⋅⋅=⋅=
∴∆h AB S AOB …………14分
19．〔本小题总分值14分〕
〔1〕当1n =时,113
2a S p q ==+
+, 当2n ≥时,22
133(1)(1)22n n n a S S pn n q p n n q -=-=++-----322
pn p =-+.
{}n a 是等差数列,
33
222
p q p p ∴++=-+, 0q ∴= …………………………………………………4分
〔2〕∵2319a a a = ∴2
333(5)()(17)222
p p p +=++
∴3()02
p p -= ∴ 0=p 或3
2
p =
…………………………………………………6分 当0=p 时,数列的公差为0与矛盾,所以3
2
p =,∴ 3n a n =
∵23log n n a b = ∴2n
n b = …………………………………………………8分
∴
32n n n a n b =, ∴2332322
2n n
n
S ⨯=+++
…………………………………………………10分 ∴ n S =323123()2222
n
n
+
+++ 12n S =32341123()2222
n n +++++ 上式相减得2111123()22222n n n n
S +=+++-
∴6362n n
n
S +=- …………………………………………………14分
20．〔本小题总分值14分〕
解法一：〔1〕令2
()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+,
那么由题意可得01012
(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪
<
<⎪⎨⎪
>⎪
>⎪⎩，
，，， 01133a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪
<
->+⎩，， ……………………5分
03a ⇔<<-
故所求实数a 的取值范围是(03-，
． …………………………………………………7分 〔2〕(0)(1)(0)f f f -2
2)1()0(a g g ==,令2
()2h a a =． …………………………9分
当0a >时,()h a 单调增加,
∴当03a <<-,
20()(32(32(17h a h <<-=-=- ……………………………………11分
16
1
2
121712<
+⨯
=, …………………………………………………13分 即(0)(1)(0)f f f -16
1
<
． …………………………………………………14分 解法二：〔1〕同解法1． 〔2〕
2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==, …………………………9分
由〔1〕知03a <<-,
1170-<<∴．又10+>，于是 ……………………………………11分
22111
2(321)1)0161616a a -
=-=-+<,…………………………………13分 即2
12016a -<,故1(0)(1)(0)16f f f -<． ……………………………………14分。