轴向载荷作用下角接触球轴承静态承载能力校核方法

ＤＯＩ：１０．１９５３３／ｊ．ｉｓｓｎ１０００－３７６２．２０２０．０７．００２
轴向载荷作用下角接触球轴承静态承载
能力校核方法
宋晓东１，刘胜超２，徐海利２
（１．河南科技大学，河南　洛阳　４７１００３；２．洛阳轴承研究所有限公司，河南　洛阳　４７１０３９）
摘要：针对角接触球轴承在较大瞬时轴向载荷下的静态承载能力校核问题，分析了导致内、外圈发生接触椭圆截断的极限轴向载荷及该载荷下球与内、外圈沟道最大接触应力的计算方法，并以某型设备轴系所选７００８Ｃ／Ｐ４角接触球轴承为例，给出了校核的求解过程。

关键词：滚动轴承；角接触球轴承；静态；承载力；校核；轴向载荷；接触应力
中图分类号：ＴＨ１３３．３３＋２；ＴＶ２２３．２＋
１ 文献标志码：Ｂ 文章编号：１０００－３７６２（２０２０）０７－０００５－０４
ＣｈｅｃｋｉｎｇＭｅｔｈｏｄｆｏｒＳｔａｔｉｃＬｏａｄＣａｐａｃｉｔｙｏｆＡｎｇｕｌａｒＣｏｎｔａｃｔ
ＢａｌｌＢｅａｒｉｎｇＵｎｄｅｒＡｘｉａｌＬｏａｄ
ＳＯＮＧＸｉａｏｄｏｎｇ１，ＬＩＵＳｈｅｎｇｃｈａｏ２，ＸＵＨａｉｌｉ
２（１．ＨｅｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌｕｏｙａｎｇ４７１００３，Ｃｈｉｎａ；２．ＬｕｏｙａｎｇＢｅａｒｉｎｇＲｅｓｅａｒｃｈ
ＩｎｓｔｉｔｕｔｅＣｏ．，Ｌｔｄ．，Ｌｕｏｙａｎｇ４７１０３９，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｍｅｄａｔｃｈｅｃｋｉｎｇｏｆｓｔａｔｉｃｌｏａｄｃａｐａｃｉｔｙｏｆａｎｇｕｌａｒｃｏｎｔａｃｔｂａｌｌｂｅａｒｉｎｇｕｎｄｅｒａｌａｒｇｅｉｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓａｘｉａｌｌｏａｄ，ｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｉｓａｎａｌｙｚｅｄｆｏｒｕｌｔｉｍａｔｅａｘｉａｌｌｏａｄｔｈａｔｃａｕｓｅｓｃｏｎｔａｃｔｅｌｌｉｐｓｅｔｒｕｎｃａｔｉｏｎｏｆｉｎｎｅｒａｎｄｏｕｔｅｒｒｉｎｇｓａｎｄｍａｘｉｍｕｍｃｏｎｔａｃｔｓｔｒｅｓｓｂｅｔｗｅｅｎｂａｌｌｓａｎｄｉｎｎｅｒａｎｄｏｕｔｅｒｒｉｎｇｒａｃｅｗａｙｓｕｎｄｅｒｕｌｔｉｍａｔｅａｘｉａｌｌｏａｄ．Ｔａｋｉｎｇｔｈｅ７００８Ｃ／Ｐ４ａｎｇｕｌａｒｃｏｎｔａｃｔｂａｌｌｂｅａｒｉｎｇｓｅｌｅｃｔｅｄｆｏｒａｃｅｒｔａｉｎｔｙｐｅｏｆｅｑｕｉｐｍｅｎｔａｓａｎｅｘａｍｐｌｅ，ｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｏｆｃｈｅｃｋｉｎｇｉｓｇｉｖｅｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒｏｌｌｉｎｇｂｅａｒｉｎｇ；ａｎｇｕｌａｒｃｏｎｔａｃｔｂａｌｌｂｅａｒｉｎｇ；ｓｔａｔｉｃ；ｌｏａｄｃａｐａｃｉｔｙ；ｃｈｅｃｋｉｎｇ；ａｘｉａｌｌｏａｄ；ｃｏｎｔａｃｔｓｔｒｅｓｓ
一般工况下，轴向载荷相对角接触球轴承的承载力都较小，不需要校核，仅在有较大瞬时轴向载荷工况下，需校核轴承在轴向载荷作用下的静态承载能力。

当轴承承受较大瞬时轴向载荷时，需校核在套圈挡边处是否会发生接触椭圆截断（接触椭圆爬越挡边）以及球与套圈沟道之间的接触应力是否会超过材料应力极限。

当发生椭圆截断时，承载区域不完整，应力集中易导致轴承过早失效；当接触应力超过材料应力极限时，接触区域发生塑性变形，轴承精度丧失且易失效。

文献［１－３］对上述校核进行了阐述，但计算方法均进
收稿日期：２０１８－１０－２４；修回日期：２０２０－０１－１７基金项目：国家重点研发计划（２０１８ＹＦＢ２０００５０２）作者简介：宋晓东（１９８３—），男，河南焦作人，硕士，主要从事精密仪器测量技术研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｄｏｎｇｌｉ６８６８＠ｓｉｎａ．ｃｏｍ。

行了简化，且对轴承钢以外材料的轴承以及计算方法也未详尽阐述，故有必要对轴向载荷作用下角接触球轴承静态承载能力进行分析。

１　理论分析
　极限轴向载荷
接触椭圆截断指接触椭圆超出轴承挡边边缘
的状态。

假设外圈、内圈刚好不发生接触椭圆截断时的极限轴向载荷分别为Ｆａ１和Ｆａ２，需分别考虑内、外圈挡边的状态，计算出２个极限轴向载荷，二者中较小的轴向载荷即为轴承的极限轴向载荷。

　外圈
外圈沟道与球刚好不发生接触椭圆截断时的
极限状态如图１所示。

ＩＳＳＮ１０００－３７６２ＣＮ４１－１１４８／ＴＨ　轴承　２
０２０年７期Ｂｅａｒｉｎｇ２０２０，Ｎｏ．７
５－８
图１　外圈极限状态
Ｆｉｇ．１　Ｕｌｔｉｍａｔｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｏｕｔｅｒｒｉｎｇ
文献［１－３］根据图１给出外圈沟道与挡边交
点处夹角θｅ的近似值，
即θｅ＝ａ
ｒｃｃｏｓ１－Ｄｅ－Ｄ２
Ｄ()
ｗ
，（１）式中：Ｄｅ为外圈沟底直径；Ｄ２为外圈挡边直径；Ｄｗ
为球直径。

（
１）式计算误差较大，由图１几何关系可知，较为准确的关系式为
θｅ＝ａ
ｒｃｃｏｓ１－Ｄｅ－Ｄ２
２Ｒ()
ｅ
，（２）
式中：Ｒｅ为外圈沟道半径。

由于接触椭圆尺寸较小，外圈接触椭圆长轴２ａｅ中点处半径可近似取Ｄｗ／
２，则ｓｉｎ ｅ≈２ａｅ／Ｄｗ，即ｓｉｎ（θｅ－αｅ）≈２ａｅ／Ｄｗ
，（３）式中： ｅ为外圈接触椭圆中心与外圈挡边之间的夹角（图１）；αｅ为实际接触角。

根据赫兹接触理论，接触椭圆长半轴ａｅ为［４］
ａｅ＝ａ
ｅ
３Ｑｅ
２∑ρｅ
１－ν２
ｂ
Ｅｂ
＋１－ν
２ｒ
Ｅ()[]ｒ１／３
，（４）
∑ρｅ
＝１Ｄｗ
４－１ｆｅ
－２Ｄｗ
ｃｏｓαｅ
Ｄｐｗ
＋Ｄｗ
ｃｏｓα
()ｅ
，式中：ａ
ｅ为主曲率差函数Ｆ（ρ）ｅ的函数［１］；∑ρｅ
为外圈曲率和；Ｑｅ为外圈法向载荷；Ｅｂ和Ｅｒ分别为球和套圈材料弹性模量；νｂ和νｒ分别为球和套
圈材料的泊松比；ｆｅ为外圈沟曲率系数；Ｄｐｗ为球组节圆直径。

主曲率差函数Ｆ（ρ）ｅ为
Ｆ（ρ）ｅ
＝１ｆｅ－２Ｄｗｃｏｓαｅ
Ｄｐｗ＋Ｄｗｃｏｓαｅ
４－１ｆｅ－
２Ｄｗｃｏｓαｅ
Ｄｐｗ＋Ｄｗｃｏｓαｅ。

（５）
令Ａ＝３２１－ν２ｂＥｂ＋
１－ν２
ｒ
Ｅ()[
]
ｒ
１／３
，由（４）式可得
ａｅ＝ａ
ｅ
ＡＱｅ
∑ρ()
ｅ
１／３。

（６）
在轴向载荷作用下，外圈法向载荷Ｑｅ与轴向
载荷Ｆａ１
的关系为［１］
Ｑｅ＝
Ｆａ１
Ｚｓｉｎαｅ
，
（７）
式中：Ｚ为球数。

联合（３），（６），（７）式可得
Ｆａ１＝Ｚｓｉｎαｅ∑ρｅＤｗｓｉｎ（θｅ－αｅ
）２Ａａ
[]
ｅ
３。

（８）外圈实际接触角与轴向载荷之间的关系为［１］
ＦａＺＤ２
ｗＫ＝ｓｉｎαｅｃｏｓα０
ｃｏｓαｅ
－()
１１．５
，（９）
Ｋ＝－４．５４１２×１０６Ｇ５＋２．９２５２×１０６Ｇ４－７．５２６３×１０５Ｇ３＋１．２７２２×１０５Ｇ２
＋１４８７７Ｇ＋
６．５０３７，
Ｇ＝ｆｉ＋ｆｅ－
１，式中：α０为初始接触角；
Ｋ为与总曲率Ｇ有关的轴向位移常数［５］
；ｆｉ为内圈沟曲率系数。

由（８），（９）式可得
ｓｉｎ（θｅ－αｅ）＝２Ａａ ｅＫ１
／３（ｃｏｓα０ｃｏｓαｅ
－１）０．５（Ｄｗ
∑ρｅ）１／３
，（
１０）（１０）式是外圈实际接触角αｅ的非线性方程，采用牛顿迭代、弦截法等数值方法，借助计算机编程可以迭代获得αｅ，然后根据（８）式可求得Ｆａ１。

内圈
内圈分析方法同外圈。

内圈沟道与球刚好不
发生接触椭圆截断时的极限状态如图２
所示。

图２　内圈极限状态
Ｆｉｇ．２　Ｕｌｔｉｍａｔｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｉｎｎｅｒｒｉｎｇ
由图２可知内圈沟道与内圈挡边交点处夹角θｉ为
·６·《轴承》２０２０．№．７
θｉ＝ａ
ｒｃｃｏｓ１－ｄ２－ｄｉ
２Ｒ()
ｉ
，　（１１）
式中：ｄ２为内圈挡边直径；ｄｉ为内圈沟道直径；Ｒｉ
为内圈沟道半径。

其他参数的计算同外圈，不再赘述。

最后可得
Ｆａ２ＺＤ２
ｗＫ＝ｓｉｎαｉｃｏｓα０
ｃｏｓαｉ
－()
１１．５
，（１２）
ｓｉｎ（θｉ－αｉ）＝２Ａａ ｉ
Ｋ１／３
ｃｏｓα０
ｃｏｓαｉ
－()
１
０．５
（Ｄｗ∑ρｉ
）１／３。

（１３）
（１３）式与（１０）式计算方法相同，求出αｉ后，
即可求得Ｆａ２。

小结
分别求得Ｆａ１，Ｆａ２
，较小者即为轴承刚好不发生接触椭圆截断的极限轴向载荷。

要求ｍｉｎ［Ｆａ１，Ｆａ２］大于瞬时轴向载荷Ｆａｐ。

最大接触应力瞬时轴向载荷Ｆａｐ
作用在轴承上时，需要校核球与内、外圈沟道之间的最大接触应力是否超过套圈材料应力极限。

由
ＦａｐＺＤ２
ｗ
Ｋ＝ｓｉｎαｃｏｓα０
ｃｏｓα－()
１１．５
，（１４）
可求得实际接触角α，根据Ｑ＝Ｆａｐ
Ｚｓｉｎα
求得法向载
荷Ｑ，内、外圈沟道法向载荷相等。

根据赫兹接触理论，法向载荷引起的外、内圈最大接触应力为
σｍａｘ＿ｅ＝３Ｑ
２πａｅｂｅ
，（１５）σｍａｘ＿ｉ＝３Ｑ
２πａｉｂｉ
，（１６）
ｂｅ＝ｂ
ｅ
３Ｑ２∑ρｅ
（１－ν２
ｂ
Ｅｂ＋１－ν
２ｒ
Ｅｒ[]
）１／３
＝
ｂ
ｅＡ
Ｑ
∑ρ()
ｅ
１／３
，
ｂｉ＝ｂ
ｉ
３Ｑ２∑ρｉ
（１－ν２
ｂ
Ｅｂ＋１－ν
２ｒ
Ｅｒ[
]
）１／３
＝
ｂ
ｉＡ
Ｑ
∑ρ()
ｉ
１／３
，
式中：ｂｅ，ｂｉ分别为外、
内圈接触椭圆的短半轴［１］。

分别计算出外圈、内圈最大接触应力后，选取
σｍａｘ＿ｅ和σｍａｘ＿ｉ
中较大者为瞬时轴向载荷作用下轴承的最大接触应力。

通常情况下ＧＣｒ１５轴承钢的接触应力极限选取４２００ＭＰａ，需满足ｍａｘ［σｍａｘ＿ｅ，σｍａｘ＿ｉ］＜４２００ＭＰａ，轴承接触应力才满足工况要求。

２　校核实例
某型设备轴系配置如图３所示，选用７００８Ｃ／Ｐ４角接触球轴承，背靠背安装。

７００８Ｃ／Ｐ４主要结构参数见表１，已知其瞬时轴向载荷Ｆａｐ＝
１５ｋＮ。

图３　轴系配置图Ｆｉｇ．３　Ｓｈａｆｔｉｎｇｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ
表１　７００８Ｃ／Ｐ４角接触球轴承主要结构参数Ｆｉｇ．１　ＭａｉｎＳｔｒｕｃｔｕｒａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆ７００８Ｃ／Ｐ４ａｎｇｕｌａｒｃｏｎ
ｔａｃｔｂａｌｌｂｅａｒｉｎｇ
参数
数值内径ｄ／ｍｍ
４０外径Ｄ／ｍｍ６８宽度Ｂ／ｍｍ１５α０
１５°Ｄｗ／ｍｍ７．９３８Ｚ
１６
参数
数值Ｒｉ／ｍｍ４．２１Ｒｅ／ｍｍ４．１３ｄｉ／ｍｍ４６．０４６Ｄｅ／ｍｍ６１．９５２ｄ２／ｍｍ４９．４Ｄ２／
ｍｍ５９．１
　极限轴向载荷
对于外圈，需先求解载荷作用下的接触角αｅ。

由于牛顿迭代法需对方程求导，且对初值选取要
求较高，初值选取不当易造成方程无法收敛，故采用弦截法求解。

弦截法迭代公式为
ｘｋ＋１＝ｘｋ
－ｆ（ｘｋ）（ｘｋ－ｘｋ－１
）ｆ（ｘｋ）－ｆ（ｘｋ－１）。

（１７）
编制的ＭＡＴＬＡＢ程序为ｗｈｉｌｅｉ＜＝１０００００
ｘ２＝ｘ１－ｆ（ｘ１）／（ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ０）） （ｘ１－ｘ０
）；　ｉｆ　ａｂｓ（ｘ０－ｘ１）＞ｕ； ｘ０＝ｘ１； ｘ１＝ｘ２； ａｌｐｈａ＝ｘ２；　ｅｌｓｅｂｒｅａｋ　ｅｎｄ
·
７·宋晓东，等：轴向载荷作用下角接触球轴承静态承载能力校核方法
ｉ＝ｉ＋１；ｅｎｄ
程序中的ａｌｐｈａ即迭代求解的载荷作用下的接触角。

对于（１０）式
ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（θｅ－ｘ）－２Ａａ ｅＫ１
／３（ｃｏｓα０ｃｏｓｘ
－１）０．５（Ｄｗ∑ρｅ）１／３。

首先给定ｘ０，ｘ１的初值，通常取方程解所在区间临界点附近，文中选取初值为ｘ０＝α０＋０．００１，ｘ１＝θｅ（由（２）式求得），代入（１７）式得到ｘ２，循环求得ｘ３，ｘ４，…，直至ｘｋ－ｘｋ－１
≤ｕ（设定的误差，文中取ｕ＝１０－１０
）。

计算机程序迭代求得αｅ＝２９．０６６５°，代入（８）式得Ｆａ１＝１６７９３Ｎ。

同理可得αｉ＝２９．４６１３°，代入（１２）式可得Ｆａ２＝
１８０４９Ｎ。

轴承不发生接触椭圆截断的极限轴向载荷为ｍｉｎ［Ｆａ１，Ｆａ２］＝１６７９３Ｎ＞Ｆａｐ。

故在１５ｋＮ轴向载荷下，沟道接触区域不会发生椭圆截断。

极限接触应力
根据（１４）式计算实际接触角α，文献［１－３］等利用牛顿迭代法进行求解，但在轴向载荷较大
时易出现方程不收敛的情况。

在此采用二分法进行编程求解，二分法计算步骤如下：
１）计算函数ｆ（ｘ）在有根区间［ｘａ，ｘｂ
］端点处的值ｆ（ｘａ），ｆ（ｘｂ
）。

２）计算ｆ（ｘ）在区间中点（ｘａ＋ｘｂ
）／２处的值ｆ［（ｘａ＋ｘｂ
）／２］。

３）若ｆ［（ｘａ＋ｘｂ）／２］＝０，则（ｘａ＋ｘｂ
）／２即为根，计算结束；否则检验：若ｆ［（ｘａ＋ｘｂ）／２］与ｆ（ｘａ）异号，则根位于区间［ｘａ，（ｘａ＋ｘｂ）／２］内，以（ｘａ＋ｘｂ）／２代替ｘｂ重复进行以上步骤；若ｆ［（ｘａ＋ｘｂ）／２］与ｆ（ｘａ）同号，则根位于区间［（ｘａ＋ｘｂ）／２，ｘｂ］内，以（ｘａ＋ｘｂ）／２代替ｘａ重复进行以上步骤，直至允许误差满足要求。

上述过程较为复杂，在此给出ＭＡＴＬＡＢ程序为
ｗｈｉｌｅ　ａｂｓ（ｘｂ－ｘａ）＞ｕ；％ｕ＝１０
－１０
ｉｆ　ｆ（ｘｍ） ｆ（ｘｂ）＜０ ｘａ＝ｘｍ；ｅｌｓｅ
ｘｂ＝ｘｍ；ｅｎｄ
ｘｍ＝（ｘａ＋ｘｂ）／２；ｘ＿ｆｉｎａｌ＝ｘｍ；ｅｎｄ
程序中最终迭代求得的ｘ＿ｆｉｎａｌ即实际接触角α。

对于（１２）式，ｆ（ｘ）＝
ＦａｐＺＤ２
ｗ
Ｋ－ｓｉｎｘ（ｃｏｓα０
ｃｏｓｘ－１）１．５
，有根区间为［ｘａ，ｘｂ］＝［α０＋０．００１，ｍｉｎ（θｅ
，θｉ）］。

可求得α＝２８．４６３３°，Ｑ＝１９６７．１Ｎ，σｍａｘ＿ｅ＝
３４５１．７ＭＰａ，σｍａｘ＿ｉ＝
２７５１．６ＭＰａ。

瞬时轴向载荷作用下，轴承最大接触应力为ｍａｘ［σｍａｘ＿ｅ，σｍａｘ＿ｉ］＝３４５１．７ＭＰａ＜４２００ＭＰａ，故接触区域不发生接触疲劳。

３　结束语
针对角接触球轴承较大瞬时轴向载荷的使用工况，分析了导致外、内圈发生接触椭圆截断的极限轴向载荷和瞬时轴向载荷作用下球与内、外圈沟道之间的最大接触应力的计算方法，并以某型设备轴系配置用７００８Ｃ／Ｐ４角接触球轴承的校核计算，说明了此方法的正确性。

参考文献：
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罗继伟，马伟，杨咸启，等译．北京：机械工业出版社，２００９．
［２］　万长森．滚动轴承的分析方法［Ｍ］．北京：机械工业
出版社，
１９８７．［３］　邓四二，贾群义．滚动轴承设计原理［Ｍ］．北京：中国
标准出版社，
２００８．［４］　ＨＥＲＴＺＨ．Ｏｎｔｈｅｃｏｎｔａｃｔｏｆｅｌａｓｔｉｃｓｏｌｉｄｓ［Ｊ］．Ｊ．Ｒｅｉｎｅ
ａｎｄＡｎｇｅｗ．Ｍａｔｈ，１８８１，９２：１５６－１７１．
［５］　刘胜超，徐海利，刘志恒，等．轴向载荷作用下角接触
球轴承轴向位移分析［Ｊ］．轴承，２０１６（１）：５－８．
（编辑：钞仲凯櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃櫃殭
殭
殭
殭
）
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·８·《轴承》２０２０．№．７。