高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第3讲 定积分与微积分基本定理练习 理 北师大版

第3讲 定积分与微积分基本定理
一、选择题
1.(2017·西安调研)定积分⎠⎛0
1(2x ＋e x
)d x 的值为( )
A.e ＋2
B.e ＋1
C.e
D.e －1
解析 ⎠⎛0
1(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪1
0)＝1＋e 1
－1＝e.故选C.
答案 C
2.若⎠⎛1a ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )
A.2
B.3
C.4
D.6
解析 ⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a
1＝a 2
＋ln a －1，
∴a 2
＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2. 答案 A
3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.1
2
g B.g
C.32
g D.2g
解析 电视塔高h ＝⎠⎛1
2
gt d t ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12gt 22
1＝32g . 答案 C
4.如图所示，曲线y ＝x 2
－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( ) A.⎠⎛0
2|x 2
－1|d x
B.⎪⎪⎪⎪
⎠⎛02（x 2
－1）d x C.⎠⎛02(x 2
－1)d x
D.⎠⎛0
1(x 2－1)d x ＋⎠⎛1
2(1－x 2
)d x
解析 由曲线y ＝|x 2
－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛0
2
|x 2
－1|d x .
答案 A
5.若S 1＝⎠⎛1
2x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x
d x ，S 3＝⎠⎛1
2e x
d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )
A.S 1<S 2<S 3
B.S 2<S 1<S 3
C.S 2<S 3<S 1
D.S 3<S 2<S 1
解析
S 2＝⎠⎛1
21
x d x ＝ln 2，S 3＝⎠
⎛1
2e x d x ＝e 2－e ，
∵e 2
－e ＝e(e －1)＞e ＞73＞ln 2，
∴S 2＜S 1＜S 3. 答案 B 二、填空题
6.已知t >0，若⎠⎛0
t (2x －2)d x ＝8，则t ＝________.
解析 由⎠⎛0
t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x ) ⎪⎪⎪t
0＝t 2
－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去).
答案 4
7.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________.
解析 根据f (x )的图像可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0). 因为f (x )的图像过(0，1)点， 所以－a ＝1，即a ＝－1.
所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2
. 所以S ＝⎠⎛－11(1－x 2
)d x ＝2⎠⎛0
1(1－x 2)d x
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪1
0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝4
3
. 答案 43
8.(2017·合肥模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为
a 2，则a ＝________.
解析 封闭图形如图所示，则⎠⎛0
a x d x ＝
＝23
a 3
2－0＝a 2，解得a ＝4
9.
答案 49
三、解答题 9.计算下列定积分：
(1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x d x ； (2)⎠⎛0
2－x 2
＋2x d x ；
(3)
2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋π4
d x ；
(4)⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3
＋1)d x ；
(5)⎠⎛－2
2|x 2
－2x |d x .
解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪2
1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 1＝3
2
－ln 2；
(2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x ＝0，x ＝2，y ＝－x 2
＋2x ，以及x 轴围成的图像的面积，即圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的一半，∴⎠
⎛0
2－x 2
＋2x ＝π2；
(3)原式＝ (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )
＝⎝
⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－ (－cos 0＋sin 0)＝2；
(4)原式＝⎠⎛－11(x 2
tan x ＋x 3
)d x ＋⎠⎛－1
11d x ＝0＋x ⎪⎪⎪
1
-1＝2；
(5)∵|x 2
－2x |＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
－2x ，－2≤x <0，
－x 2
＋2x ，0≤x ≤2， ∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛0
2(－x 2
＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪2
0＝8.
10.求曲线y ＝x 2
，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积.
解 作出曲线y ＝x 2
，直线y ＝x ，y ＝3x 的图像，所求面积为图中阴影部分的面积.
解方程组⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝x 2
，y ＝x ，得交点(1，1)，
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，
y ＝3x ，得交点(3，9)，
因此，所求图形的面积为
S ＝⎠⎛0
1(3x －x )d x ＋⎠⎛1
3(3x －x 2)d x
＝⎠⎛01
2x d x ＋⎠⎛1
3
(3x －x 2
)d x ＝x 2
⎪⎪
⎪
1
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32
x 2－13x 3⎪⎪⎪3
1
＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝13
3
.
11.若f (x )＝x 2
＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛0
1f (x )d x ＝( )
A.－1
B.－13
C.1
3
D.1
解析 由题意知f (x )＝x 2
＋2⎠⎛0
1f (x )d x ，
设m ＝⎠⎛0
1f (x )d x ，∴f (x )＝x 2
＋2m ，
⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛0
1
(x 2
＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪1
0 ＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－1
3. 答案 B
12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t
的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A.1＋25ln 5 B.8＋25ln 11
3
C.4＋25ln 5
D.4＋50ln 2
解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－8
3(舍去)，
∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝
⎛⎭
⎪⎫
7－3t ＋
251＋t d
t
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪4
＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m). 答案 C
13.(2017·郑州调研)⎠⎛－1
1(1－x 2
＋e x
－1)d x ＝________.
解析 ⎠⎛－11(1－x 2
＋e x
－1)d x ＝⎠⎛－1
1
1－x 2d x ＋⎠⎛－1
1(e x
－1)d x .
因为⎠⎛－1
11－x 2
d x 表示单位圆的上半部分的面积，
则⎠⎛－1
1
1－x 2d x ＝π2，又⎠
⎛－1
1(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1
＝(e 1－1)－(e －1
＋1)＝e －1e
－2，
所以⎠
⎛－1
1(1－x 2＋e x
－1)d x ＝π2＋e －1e －2.
答案
π2＋e －1
e
－2
14.在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2
.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值.
解 S 1面积等于边长分别为t 与t 2
的矩形面积去掉曲线y ＝x 2
与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠
⎛0
t x 2
d x ＝23t 3.
S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 的
面积，即S 2＝⎠
⎛t
1x 2d x －t 2
(1－t )＝23t 3－t 2＋13.
所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋1
3(0≤t ≤1).
令S ′(t )＝4t 2
－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12.
t ＝0时，S (t )＝1
3；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23
.
所以当t ＝12时，S (t )最小，且最小值为1
4
.。