空间向量的基本定理及坐标表示

求
解:
a b , a b ,8a。
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9)
8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40)
例2：P80例2.
base vectors. 空间任何三个 e1 , e 2 , e 3 都叫做 基向量
特别地, 设e1 , e 2 , e 3为有公共起点 O的三个两 两垂直的单位向量 ( 我们称它们为单位正交 基底) , 以 e1 , e 2 , e 3 的公共起点O为原点, 分别 以e1 , e 2 , e 3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向 建立空间直角坐标系 Oxyz. 那么, 对于空间任 意一个向量 p, 一定可以把它平移, 使它的起
基本定理：
间任一向量 p, 存在唯一的有序实数组 x, y, z,
定理： 如果三个向量e1 , e 2 , e 3不共面, 那么对空
使得p xe1 ye 2 ze 3 .
定理告诉我们，若三向 量不共面， 则空间任一向量都可由 他们线性表示 我们把e1 , e 2 , e 3 叫做空间的一个基底base , 不共面的向量都可构成 空间的一个基底 .
空间向量的基本定理及坐标表示
我们知道, 平面内任意一 个向量p都可以用两个不 共线的向量a, b来表示(平 面向量基本定理 ).对于空 间任意一个向量, 有没有 类似的结论呢? 如图3.1 15, 设i, j, k是空
i
z
P
k
O
j
Q
y
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图3.1 15
间三个两两垂直的向量, 且有公共起点O.对于空间 任意一个向量 p OP , 设点Q为点P在i, j所确定的 平面上的正投影,由平面向量基本定理可知, 在OQ , k所确定的平面上, 存在实数z , 使得OP OQ zk.
如果知道有向线段的起点和终点的坐标, 那么有向线段表示的向量坐标怎样求? 结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
注：空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
点与原点O 重合, 得到向量 OP p .由空间向 x, y, z, 使 量基本定理可知 , 存在有序实数组 得p xe1 ye 2 ze 3 .我们把 x, y, z称作向量p 在单位正交基底 e1 , e 2 , e 3下的坐标, 记作p x, y, z .
此时向量p的坐标恰恰也是点P在空间直角坐
小结： 1.空间向量的基本定理
2.推论
3.空间向量的坐标表示及坐 标运算
标系Oxyz 的坐标 x, y, z (想一想, 为什么?) .这样, 我们就有了从正交基底到直角坐标系的转换. 由空间向量基本定理可 知, 空间任意一个向量都 可以用三个不共面的向 量表示出来, 这能为解决 问题带来方便 .
空间向量基本定理推论 :
设O，A, B, C是不共面的四点，则对空间任意一 点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z）使得 OP xOA yOB z OC


1 2 1 2 1 1 OA ON OA OA OB OC 2 3 2 3 2 6
1 1 1 OA OB OC ; 6 3 3
O
OQ OM MQ
1 1 OA MN 2 3 1 1 OA ON OM 2 3 1 1 1 OA ON OA 2 3 2
A
M
Q
P N B C


图3.1 16
1 1 1 1 1 1 OA OB OC OA OB OC . 3 3 2 3 6 6


空间向量运算的坐标规律: 设 a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 ) , 则
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
而在i, j所确定的平面 上,由平面向量基本定 理可知, 存在有序实 数 对 x, y , 使得
i
z
P
k
O
j
Q
y
OQ xi yj.
x
图3.1 15
从而OP OQ zk xi yj zk.
由此可知, 如果i, j, k是空间三个两两垂直的向量. 那么, 对于空间任一向量p, 存在一个有序实数组
例1 如图 3.1 16, M , N分 别是四面体OABC 的边OA, BC 的中点, P, Q是MN的三 等分点.用向量OA, OB , OC 表示OP和OQ.
A P M
O
Q
C N B
解 OP OM MP
图3.1 16
1 2 1 2 OA MN OA ON OM 2 3 2 3
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a ( a1 , a2 , a3 )( R)
a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R)
例1:已知
a (2,3,5),b (3,1,4),
x, y, z, 使得p xi yj zk.
我们称 xi, yj, zk 为向量 p 在 i, j, k 上的分向量.
探究 在空间中 , 如果用任意三个不共面 向量 a, b, c 代替两两垂直的向量 i, j, k , 你能得出类 似的结论吗? 类似于平面向量基本定理, 我们有空间向量