初中数学人教版八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题
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①求点F的坐标； ②设点P在抛物线上，在y轴上是否存在点H，使以N，F，H，P为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说 明理由．
城里有一位久负盛名的学
者，名叫海伦．有一天，
B B
AA
l
l
一位将军专程拜访海伦， 求教一个百思不得其解的 问题，精通数学、物理学 的海伦稍加思索，利用轴 对称的知识回答了这个问
题．这个问题后来被称为
“将军饮马问题”．
分析：
B
B
A
A
l
l
C
转化为数学问题
当点C在直线 l 的什么位置时，AC+CB的和最小？
探究点一归纳
B
转化为数学问题
B
A l
A
C
l
解决实 际问题
联想旧知
B
A
用旧知解决新知
C
l
A
C
l
B′
B
提示：本题也可作A点关于直线l的对称点
拓展延伸
拓展延伸
变式一：背景为等腰三角形
如图,已知在等腰△ABC 中, ∠ABC=120o,P
是底边AC上的一个动点, M、N分别是AB、BC
的中点,若PM+PN的最小值为2，求△ ABC的周
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
乌苏市第四中学 王秀梅
白日登山望烽火 黄昏饮马傍交河
--李颀《古从军行》
将军饮马问题
如图，将军从马棚A牵马到河边 l 饮水，然
后再到帐蓬B．问：在河边的什么地方饮水，可使
所走的路径最短？
古希腊亚历山大里亚
拓展延伸
变式三：背景为圆形
如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是AN的 中点，点P 是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1 ，则PA+PB的最小值为 。
A
B
PP
M
O
N
C
拓展延伸
变式四：背景为抛物线形
如图，抛物线与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C点，且A(－
1，0)．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
长.
B
M
N
A
p
C
M
拓展延伸
变式二：背景为长方形、正方形
如图所示，四边形OABC为正方形，边长为3，点A ，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D 的坐标为（1，0），P是OB上的一动点，则“求 PD+PA和的最小值”要用到的数理依据是（ ）
A．“两点之间，线段最短” B．“轴对称的性质” C．“两点之间，线段最短” 以及“轴对称的性质” D．以上答案都不正确
（2）判断的形状，证明你的结论；
（3）点M是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的
值．
y
1
A
O
1
B
x
C
D
（2014•乌鲁木齐）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2x与x轴正 半轴交于点A，顶点为B． （1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）； （2）已知点C（0，﹣2），直线AC与BO相交于点D，与该抛物线对称轴 交于点E，且△OCD≌△BED，求m的值； （3）在由（2）确定的抛物线上有一点N（n，﹣ ）， N在对称轴的左 侧，点F，G在对称轴上，F在G上方，且FG=1，当四边形ONGF的周长 最小时：
城里有一位久负盛名的学
者，名叫海伦．有一天，
B B
AA
l
l
一位将军专程拜访海伦， 求教一个百思不得其解的 问题，精通数学、物理学 的海伦稍加思索，利用轴 对称的知识回答了这个问
题．这个问题后来被称为
“将军饮马问题”．
分析：
B
B
A
A
l
l
C
转化为数学问题
当点C在直线 l 的什么位置时，AC+CB的和最小？
探究点一归纳
B
转化为数学问题
B
A l
A
C
l
解决实 际问题
联想旧知
B
A
用旧知解决新知
C
l
A
C
l
B′
B
提示：本题也可作A点关于直线l的对称点
拓展延伸
拓展延伸
变式一：背景为等腰三角形
如图,已知在等腰△ABC 中, ∠ABC=120o,P
是底边AC上的一个动点, M、N分别是AB、BC
的中点,若PM+PN的最小值为2，求△ ABC的周
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
乌苏市第四中学 王秀梅
白日登山望烽火 黄昏饮马傍交河
--李颀《古从军行》
将军饮马问题
如图，将军从马棚A牵马到河边 l 饮水，然
后再到帐蓬B．问：在河边的什么地方饮水，可使
所走的路径最短？
古希腊亚历山大里亚
拓展延伸
变式三：背景为圆形
如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是AN的 中点，点P 是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1 ，则PA+PB的最小值为 。
A
B
PP
M
O
N
C
拓展延伸
变式四：背景为抛物线形
如图，抛物线与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C点，且A(－
1，0)．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
长.
B
M
N
A
p
C
M
拓展延伸
变式二：背景为长方形、正方形
如图所示，四边形OABC为正方形，边长为3，点A ，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D 的坐标为（1，0），P是OB上的一动点，则“求 PD+PA和的最小值”要用到的数理依据是（ ）
A．“两点之间，线段最短” B．“轴对称的性质” C．“两点之间，线段最短” 以及“轴对称的性质” D．以上答案都不正确
（2）判断的形状，证明你的结论；
（3）点M是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的
值．
y
1
A
O
1
B
x
C
D
（2014•乌鲁木齐）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2x与x轴正 半轴交于点A，顶点为B． （1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）； （2）已知点C（0，﹣2），直线AC与BO相交于点D，与该抛物线对称轴 交于点E，且△OCD≌△BED，求m的值； （3）在由（2）确定的抛物线上有一点N（n，﹣ ）， N在对称轴的左 侧，点F，G在对称轴上，F在G上方，且FG=1，当四边形ONGF的周长 最小时：